여과 대수

수학에서 필터링된 대수학은 등급화된 대수학의 개념을 일반화한 것이다.수학의 많은 분야, 특히 호몰로지 대수학과 표현 이론에서 예가 나타난다.

A filtered algebra over the field $k$ is an algebra $(A,\cdot )$ over $k$ that has an increasing sequence ${\displaystyle \{0\}\subseteq F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \cdots \subseteq F_{i}\subseteq \cdots \subseteq A$ $A$ $A$ 의 하위 스페이스 중 $}$ 개 $\{0\}\subseteq F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \cdots \subseteq F_{i}\subseteq \cdots \subseteq A$ $A$ :

A=\bigcup _{i\in \mathb {N} }F_{i}}

그리고 그것은 다음과 같은 의미에서 곱셈과 호환된다.

\forall m,n\in \mathb {N},\qquad F_{m}\cdot F_{n}\subseteq F_{n+m}

연관등급대수학

일반적으로 여과된 대수에서 등급이 매겨진 대수학을 생산하는 다음과 같은 구조가 있다.

$A$ $A$ 이 $A$ (가) 필터링된 ${\mathcal {G}}(A)$ 경우 관련 등급 대수 G ${\mathcal {G}}(A)$ ( ${\mathcal {G}}(A)$ ) ${\mathcal {G}(A)$ 을(를) 다음과 같이 정의한다 ${\mathcal {G}}(A)$ .

벡터 공간으로서
${\mathcal {G}(A)=\bigoplus _{n\in \mathb {N}}}G_{n}\}$

어디에

$G_{0}=F_{0},$ $G_{0}=F_{0},$ = $G_{0}=F_{0},$ $G_{0}=F_{0},$ ${\displaystyle G_{0}=F_{0},$ 그리고 $G_{0}=F_{0},$

$\forall n]0,\quad G_{n}=F_{n}/F_{n-1}\...$
곱셈은 에 의해 정의된다.
${\displaystyle (x+F_{n-1})(y+F_{m-1}=x\cdot y+F_{n+m-1})$

for all $x\in F_{n}$ and $y\in F_{m}$ . (More precisely, the multiplication map ${\mathcal {G}}(A)\times {\mathcal {G}}(A)\to {\mathcal {G}}(A)$ is combined from the maps

$(F_{n}/F_{n-1})\times (F_{m}/F_{m-1})\to F_{n+m}/F_{n+m-1},\ \ \ \ \ \left(x+F_{n-1},y+F_{m-1}\right)\mapsto x\cdot y+F_{n+m-1}$
$n\geq 0$ n $n\geq 0$ $n\geq 0$ ${\displaystyle n\geq$ 0 $}$ 및 $n\geq 0$ $m\geq 0$ $m\geq 0$ $m\geq 0$ ${\displaystyle m\geq$ 0 $}$ 에 대해. $m\geq 0$

The multiplication is well defined and endows ${\mathcal {G}}(A)$ with the structure of a graded algebra, with gradation $\{G_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }.$ Furthermore if $A$ is associative then so is ${\displaystyle {\mathcal$ ${G}(A$ 또한 $A$ 가 F ${\$ 에 $F_{0}$ 있을 정도로 A $A$ 이 $A$ (가) 단위가 단위가 되면 G ${\mathcal {G}}(A)$ ${\mathcal{G}(A)$ 도 단위가 단위가 된다 ${\mathcal {G}}(A)$ .

As algebras $A$ and ${\mathcal {G}}(A)$ are distinct (with the exception of the trivial case that $A$ is graded) but as vector spaces they are isomorphic. (One can prove by induction that $\bigoplus _{i=0}^{n}G_{i}$ is is벡터 공간으로 $F_{n}$ $F_{n}$ $F_{n}$ ${\$ 에 대한 오모르픽).

예

Any graded algebra graded by $\mathbb {N}$ , for example ${\textstyle A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$ , has a filtration given by ${\textstyle F_{n}=\bigoplus _{i=0}^{n$ $}}A_{i}}}$ .

An example of a filtered algebra is the Clifford algebra $\operatorname {Cliff} (V,q)$ of a vector space $V$ endowed with a quadratic form $q.$ The associated graded algebra is $\bigwedge V$ , the exterior algebra of ${\displ$ $aystyle V.}$

아핀 공간의 이중에서 대칭대수는 다항식의 여과 대수다. 벡터 공간에서는 대신 등급화된 대수학(graded 대수학)을 얻는다.

리 대수 ${\mathfrak {g}}$ ${\$ 의 범용 포락 대수 또한 자연적으로 필터링된다 ${\mathfrak {g}}$ .PBW 정리에서는 관련 등급 대수는 $\mathrm {Sym} ({\mathfrak {g}})$ $\mathrm {Sym} ({\mathfrak {g}})$ $\mathrm {Sym} ({\mathfrak {g}})$ $\mathrm {Sym} ({\mathfrak {g}})$ ( g $\mathrm {Sym} ({\mathfrak {g}})$ ) ${\displaystyle \mathrm {Sym}({\mathfrak {g$ 이라고 명시하고 있다.

다지관 $M$ $M$ 의 스칼라 차동 연산자는 여과가 미분 연산자의 정도에 의해 주어지는 여과 대수학을 형성한다 $M$ .관련 등급 대수학은 투영 $\pi \colon T^{*}M\rightarrow M$ : $\pi \colon T^{*}M\rightarrow M$ $\pi \colon T^{*}M\rightarrow M$ $\pi \colon T^{*}M\rightarrow M$ → $\pi \colon T^{*}M\rightarrow M$ ${\$ $displaystyle T^{*}M}$ 의 $T^{*}M$ 섬유들을 따라 다항식인 등각형 $T^{*}M$ T $T^{*}M$ m $T^{*}M$ {\ $displaystyle \colon T^{*}M\rightarrow M}$ 의 부드러운 기능의 역 대수다 $\pi \colon T^{*}M\rightarrow M$

길이함수를 가진 집단의 집단대수는 여과된 대수다.

참고 항목

참조

Abe, Eiichi (1980). Hopf Algebras. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0.

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