레르치 제타 함수

수학에서, 레르흐 제타 함수는 때때로 허위츠-라고 불린다.레르치 제타 함수(Lerch zeta function, Lerch zeta function)는 허위츠 제타 함수(Hurwitz zeta function)와 폴리로그리템을 일반1887년 이 기능에 관한 논문을 발표한 체코 수학자 마티아스 레흐의 이름을 따서 지은 것이다.^[1]

정의

Lerch zeta 함수는 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle L(\lambda ,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\inflit }{\frac {e^{2\pi i\lambda n}{{{n+\alpha )^{s}}}}}.}$

관련 함수인 레르흐 초월성은 에 의해 주어진다.

${\displaystyle \Phi(z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\inflit }{\frac {z^{n}}{{(n+\alpha )^{s}}}}.}$

두 사람은 서로 관계가 있다.

${\displaystyle \,\Phi(e^{2\pi i\lambda },s,\alpha )=L(\lambda ,s,\alpha).}$

적분표현

Lerch 초월체는 다음과 같은 필수적인 표현을 가지고 있다.

${\displaystyle \Phi(z,s,a)={\frac {1}{{1}{0}^{0}^{0}{\int _{0}^{\frac {t^{s-1}e^{-t}}}}{1-z^{-t}}}}\,dt}$

증명은 감마 함수의 적분 정의를 사용하여 작성한 것에 기초한다.

${\displaystyle \Phi(z,s,a)\감마(s)=\sum _{n=0}^{\n=0}^{\frac{z^{n}}{{n+a)^{s}}}}}\int _{0}^{{0}^{\x^{-x}{-x}}{\frac {dx}}}}}=\sum _{n=0}^{n=0}}{0}^{n}z^{n+a}}}}{\frac {dt}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{dt}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고 합계와 적분을 교환한다.The resulting integral representation converges for ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus [1,\infty ),}$ Re(s) > 0, and Re(a) > 0. This analytically continues ${\displaystyle \Phi (z,s,a)}$ to z outside the unit disk.정수식은 z = 1, Re(s) > 1 및 Re(a) > 0인 경우에도 유지된다. Hurwitz zeta 함수를 참조한다.^[2][3]

등고선 적분 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle \Phi(z,s,a)=-{\frac {\gamma(1-s)}{2\pi i}\int_{C}{\frac {(-t)^{s-1e^{-1}{1-ze^{-t}}}\,dt}$

여기서 C는 양의 실제 축을 중심으로 시계 반대 방향으로 한클 등고선으로, 통합의 극인 $t{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle \log }$(${\displaystyle }$z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ 2 ${\displaystyle \mathrm{k}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle$ t$=\log(z)+2k\pi i}($정수 k) 중 어느 것도 포함하지 않는다.적분은 Re(a) > 0을 가정한다.^[4]

기타 적분 표현

에르미테와 같은 적분 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle \Phi(z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}+\int_{0}^{\frac{z^{t}{(a+t)^{s}}}}\,dt+{\frac {2}{a^{s-1}\int _{0}^{0}{0}{\infrac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z)}}}{{{{+t^{2\pi at}}\,dt}}$

을 위해

${\displaystyle \Re (a)0\wedge z <1}$

그리고

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {\log ^{s-1}(1/z)}{z^{a}}}\Gamma (1-s,a\log(1/z))+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}}\,dt}$

을 위해

$[\displaystyle \Re (a)]0.}$

유사한 표현은 다음을 포함한다.

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t\log z)\sin {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}-\sin(t\log z)\cos {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}}{{\big (}a^{2}+t^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}\tanh \pi t}\,dt,}$

그리고

${\displaystyle \Phi (-z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t\log z)\sin {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}-\sin(t\log z)\cos {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}}{{\big (}a^{2}+t^{2}}{\big )}^{\frac {s}{2}}\\sinh \pi t}\,dt,}$

포지티브 z(그리고 더 일반적으로 통합이 수렴되는 곳)를 위한 홀딩.더 나아가

${\displaystyle \Phi(e^{i\varphi }s,a)=L{\big (}{\tfrac {\varphi }{2\pi }},s,a{\big )}={\frac {1}{a^{s}}}+{\frac {1}{2\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}{\big (}e^{i\varphi }-e^{-t}{\big )}}{\cosh {t}-\cos {\varphi }}}\,dt,}$

마지막 공식은 립스키츠 공식으로도 알려져 있다.

특례

Lerch zeta 기능과 Lerch는 다양한 특수 기능을 일반화한다.

후르비츠 제타 기능은 특별한 경우다^[5].

${\displaystyle \zeta (s,\alpha )=L(0,s,\alpha )=\Phi(1,s,\alpha )=\sum _{n=0^{\inflt }{\frac {1}{{n+\alpha )^{s}}}}}.}$

다변량도 또 다른 특별한 경우다.^[5]

${\displaystyle {\textrm{Li}_{s}(z)=z\Phi(z,s,1)=\sum _{n=1}^{n1}{n^}}.}$

리만 제타 함수는 위 두 가지 모두의 특수한 경우다.^[5]

${\displaystyle \zeta(s)=\Phi(1,s,1)=\sum _{n=1}^{n=1}{n^{s}}.}$

그 밖의 특별한 경우는 다음과 같다.

• 디리클레 에타 함수:^[5]

${\displaystyle \eta=\Phi(-1,s,1)=\sum _{n=1}^{n1}^{n-1}^{n-1}:{n-1}:{n^{s}}}}}}$

• 디리클레 베타 함수:^[5]

${\displaystyle \beta=2^{-s}\Phi(-1,s,1/2)=\sum _{k=0}^{\frac {(-1)^{2k+1}:{2k+1}:{s.}}}}$

• Legendre ki 함수:^[5]

${\displaystyle \chi _{s}=2^{-s}z\Phi(z^{2},s,1/2)=\sum _{k=0}^{\frac {z^{2k+1}:{2k+1}:{s}}}}}$

• 다감마 함수:^{[citation needed]}

${\displaystyle \cHB ^{(n)}(\cHB )=(-1)^{n+1}n!\Phi(1,n+1,\alpha )}$

정체성

λ 이성에게 있어서, 합계(${\displaystyle \mathrm{summand}}$)는 단결의 뿌리로서, 따라서 L${\displaystyle }$( ${\displaystyle ,}$ ,${\displaystyle s}$ , $){\displaystyle$ L$(\lambda ,s,\alpha )}$은 허위츠 제타 함수에 걸쳐 유한 합으로 표현될 수 있다$$.${\displaystyle ,}$ =$p\frac{}{}$ $\frac{q}{}$ ${\$ ${\displaystyle q\mathbb{}}$, ${\displaystyle \backslash }$ Z$${\$displaystyle p,q\in \mathb {Z}$ 및$$ > ${\displaysty q>0}$을($으{\displaystyle }$)로 가정해 보십시오그러면 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle \Omega }$= ${\displaystyle {}^{}}$ 2 ${\displaystyle {\pi \frac{}{}}^{}}$ i ${\displaystyle p^{}}$ ${\displaystyle {\frac{q}{}}^{}}$ ${\$ z$=\omega={2\pi$ i${\frac{p}{q}}}}$ 및$$ $\Omega {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle q^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \omega$^{$q}=1$

${\displaystyle \Phi (\omega ,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}=\sum _{m=0}^{q-1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{qn+m}}{(qn+m+\alpha )^{s}}}=\sum _{m=0}^{q-1}\omega ^{m}q^{-s}\zeta (s,{\frac {m+\alpha }{q}})}$

다양한 신원에는 다음이 포함된다.

${\displaystyle \Phi(z,s,a)=z^{n}\Phi(z,s,a+n)+\sum _{k=0}^{n-1}{\frac{z^{k}}{(k+a)^{s}}}}}$

그리고

${\displaystyle \Phi(z,s-1,a)=\왼쪽(a+z{\frac {\partial }{\partial z}}\오른쪽)\Phi(z,s,a)}$

그리고

${\displaystyle \Phi(z,s+1,a)=-{\frac {1}{s}{\frac {\partial }{\partial a}}}\Phi(z,s,a)}$

시리즈 표현

Lerch 초월체에 대한 일련의 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle \Phi(z,s,q)={\frac {1}{1-z}\sum _{n=0}^{\flt({\frac {-z}{1-z}\오른쪽)^{n}\sum _{k=0}^{n(1)^{k}{\binom{n}{n}}{k}}(q+k)^{-s}.}$

$(({\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{k}{}}$) ${\$은(는) 이항 계수임을 유의하십시오.)

시리즈는 모든 s에 유효하며, Re(z)<1/2가 있는 복합 z에 유효하다.Hurwitz zeta 함수에 대한 유사한 시리즈 표현과 일반적으로 유사하다는 점에 유의하십시오.^[6]

첫 번째 매개 변수의 테일러 시리즈는 에르델리이에 의해 주어졌다.다음과 같은 시리즈로 쓸 수 있으며, 유효하다^[7].

$\displaystyle \left \log(z)\right <2\pi ;s\neq 1,2,3,\a\neq 0,-1,-2,\reason }$

${\displaystyle \Phi(z,s,a)=z^{-a}\좌측[\감마(1-s)]\좌측(-\log(z)\{k-1++\sum _{k=0}^{k=0}^{k,a){\frac(z){k!}}\오른쪽]}$

n이 양의 정수인 경우

${\displaystyle \Phi(z,n,a)=z^{-a}\좌측\{\sum_{k=0}\atop k\neq n-1}^{\infit }\jeta(n-k,a){\frac {\log ^{k}{k}{k!}}}+\왼쪽[\n)-\buffer (a)-\logfrag\log(z)\right]{\frac {\log ^{n-1(z)}{(n-1)!}}}\right\}$

여기서 $\psi {\displaystyle }$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \psi (n)}$은 digamma 함수다.

세 번째 변수의 Taylor 시리즈는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \Phi(z,s,a+x)=\sum _{k=0}^{\nothy}\Phi(z,s+k,a)_{k}{\frac {(-x)^{k}}{k!}}}; x <\Re (a),}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서${\displaystyle }$( s${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle k_{}}$ ${\$는 Pochhammer 기호다.

a = -n에서의 영상 시리즈 제공자:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {z^{k}}{(a+k)^{s}}}+z^{n}\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\operatorname {Li} _{s+m}(z){\frac {(a+n)^{m}}{m!}}};\ a\오른쪽 화살표 -n}$

n = 0의 특별한 경우는 다음과 같은 시리즈를 가진다.

${\displaystyle \Phi(z,s,a)={\frac {1}{a^{s}+\sum _{m=0}^{{m=0}^{{m}}{m}\operatorname {Li} _{s+m}(z){s+m}{a^{m}{m!}}}; a <1,}$

여기서 ${\displaystyle {\mathrm{Li}}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}$은(는) 다각측량이다.

$s{\displaystyle }$→ -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle s\rightarrow$ -$\infully$}에 대한 점증상 시리즈

${\displaystyle \Phi(z,s,a)=z^{-a}\감마(1-s)\sum _{k=-\infit }^{{k\pi i-\log(z)}^{s-1e^{2k\pi ai}}$

; < ; z (- , 0) ${\displaystyle a <1;\Re (s)<0;z\notin(-\infuly ,0$$)]$ 및

${\displaystyle \Phi(-z,s,a)=z^{-a}\감마(1-s)\sum _{k=-\infit }^{{k=-\infit }}}}[(2k+1)\pi i-\log(z)]^{s-1e^{(2k+1)\pi ai ai ai}}}}}}}}}}}$

;(() < ; ( ,) .{\$displaystyle a$ <$1;\Re$(s$)<0;z$\notin ($0,\fully)>$에 대하여.$}$

불완전 감마함수의 점증상 직렬

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {1}{z^{a}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{-2\pi i(k-1)a}\Gamma (1-s,a(-2\pi i(k-1)-\log(z)))}{(-2\pi i(k-1)-\log(z))^{1-s}}}+{\frac {e^{2\pi ika}\Gamma (1-s,a(2\pi ik-\log(z)))}{(2\pi ik-\log(z))^{1-s}}}}$

< ; ()< ${\displaystyle$ a $<1;\Re(s)>0.$$}$

일반화된 초기하 함수의 표현은^[8]

${\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )={\frac {1}{\alpha ^{s}}}{}_{s+1}F_{s}\left({\begin{array}{c}1,\alpha ,\alpha ,\alpha ,\cdots \\1+\alpha ,1+\alpha ,1+\alpha ,\cdots \\\end{array}}\mid z\right).}$

점근팽창

다로그 함수 $L{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ i ${\displaystyle n{}_{}}$( z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm {Li} _{n}(z)}$은(는) 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle \mathrm {Li} _{0}(z)={1-z},\qquad \mathrm {Li} _{n}=z{d}}}\mathrm {Li} _{1-n}(z).}$

내버려두다

${\displaystyle \Oomega _{a}\equiv {\begin{case}\mathb {C}\setminus [1,\infit }}}{{z\in \mathb {C}, z <1}&{\text}}}}}}}}}\re a\leq 0.\end{case}}}$

Arg(를)<>;π, s∈ C{\displaystyle \mathrm{아르지닌}(를)<>\pi ,s\in \mathbb{C}}와 z∈}는{\displaystylez\in \Omega_{}Ω,Φ(z, s,){\displaystyle \Phi(z,s,a)}의 큰{\displaystyle}에 대한 점근 전개와 s고정{s\displaystyle}과 z{\displayst.zyle}$$ 에 의해 주어지다

${\displaystyle \Phi(z,s,a)={\frac {1}{1}{1-z}}{\frac {1}{a^{s}}+\sum _{n=1}^{n-1}{\frac {(-1)^{n}\mathrm {Li}{-n}{n}{n}{n!}}{\frac {s)_{n}{a^{n+s}}+O(a^{-N-s}})}$

$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$$}$의 경우, ${\displaystyle {여기}_{}}$서${\displaystyle }$( s${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle n{}_{}}$= s${\displaystyle }$( s${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \cdots }$(${\displaystyle s}$+${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle (s)_{n}=s+1)\cdots (s+n-1$)는$$Pochhammer 기호다.^[9]

내버려두다

${\displaystyle f(z,x,a)\equiv {\frac {1-(ze^{-x})^{1-a}{1-ze^{-x}}}}}$

${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle z}$,${\displaystyle }$) ${\displaystyle C_{n}(z,a)}$을(를) $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ x$=0$의 테일러 계수가 되도록 한다.그런 다음 고정 N , > 1 ${\displaystyle N\in \mathb {N},\Re>1}$및 > ${\displaysty \Re>0$

${\displaystyle \Phi(z,s,a)-{\frac {\mathrm {Li}{s}{z^{a}}}=\sum _{n=0}^{n-1}C_{n1}(z,a){n}}{a^{n+}+}+}+}+}O\왼쪽((\Re a)^{1-N-s}+아즈^{-\re a}\오른쪽),}$

$as{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle a}$ →${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \re\to \infit$ $\}.$^[10]

소프트웨어

레르치 초월체는 메이플과 매스매티카에서는 레르치파이(LerchPhi), mpmath와 symPy에서는 레르치피(LerchPi)로 구현된다.

참조

• Apostol, T. M. (2010), "Lerch's Transcendent", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.
• Bateman, H.; Erdélyi, A. (1953), Higher Transcendental Functions, Vol. I (PDF), New York: McGraw-Hill(§ 1.11 "기능 ψ(z,s,v)", 페이지 27 참조)
• Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich; Geronimus, Yuri Veniaminovich; Tseytlin, Michail Yulyevich; Jeffrey, Alan (2015) [October 2014]. "9.55.". In Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Table of Integrals, Series, and Products. Translated by Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Academic Press. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276.
• Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008), "Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent", The Ramanujan Journal, 16 (3): 247–270, arXiv:math.NT/0506319, doi:10.1007/s11139-007-9102-0, MR 2429900, S2CID 119131640. (소개서에 다양한 기본 정체성 포함)
• Jackson, M. (1950), "On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series ₂ψ₂", J. London Math. Soc., 25 (3): 189–196, doi:10.1112/jlms/s1-25.3.189, MR 0036882.
• Johansson, F.; Blagouchine, Ia. (2019), "Computing Stieltjes constants using complex integration", Mathematics of Computation, 88 (318): 1829–1850, arXiv:1804.01679, doi:10.1090/mcom/3401, MR 3925487, S2CID 4619883.
• Laurinčikas, Antanas; Garunkštis, Ramūnas (2002), The Lerch zeta-function, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-1014-9, MR 1979048.

외부 링크

• Aksenov, Sergej V.; Jentschura, Ulrich D. (2002), C and Mathematica Programs for Calculation of Lerch's Transcendent.
• Ramunas Garunkstis, 홈 페이지(2005) (수많은 참조 자료와 프리프린트 자료 제공)
• Garunkstis, Ramunas (2004). "Approximation of the Lerch Zeta Function" (PDF). Lithuanian Mathematical journal. 44 (2): 140–144. doi:10.1023/B:LIMA.0000033779.41365.a5.
• Kanemitsu, S.; Tanigawa, Y.; Tsukada, H. (2015). "A generalization of Bochner's formula". Kanemitsu, S.; Tanigawa, Y.; Tsukada, H. (2004). "A generalization of Bochner's formula". Hardy-Ramanujan Journal. 27. doi:10.46298/hrj.2004.150.
• Weisstein, Eric W. "Lerch Transcendent". MathWorld.
• Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., eds. (2010), "Lerch's Transcendent", NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248