루이스의 사소한 결과

확률의 수학적 이론에서 데이빗 루이스의 사소한 결과는 조건부 확률 $P{\displaystyle (B}$ ${\displaystyle \mid }$ A$){\displaystyle P(B\mid$ A$)}$를 소위 조건부 사건 확률 $A{\displaystyle }$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\오른쪽$ 화살표 $B}$과 체계적으로 동일시하는 불가능성에 대한 정리다$.$

조건부 확률 및 조건부 사건

"$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$, $B{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ B$}$이($가$$)$ 20%일 확률"은 사건 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 발생하는$$ 결과의 20%에서 사건 B ${\displaystystyle$ B$}$이(가) 발생할 것으로 예상할 수 있음을 의미한다$$.The standard formal expression of this is ${\displaystyle P(B\mid A)=0.20}$, where the conditional probability ${\displaystyle P(B\mid A)}$ equals, by definition, ${\displaystyle P(A\cap B)/P(A)}$.

Beginning in the 1960s, several philosophical logicians—most notably Ernest Adams and Robert Stalnaker—floated the idea that one might also write ${\displaystyle P(A\rightarrow B)=0.20}$, where ${\displaystyle A\rightarrow B}$ is the conditional event "If ${\displaystyle A}$, then ${\displaystyle$B}그건, 사건 한{A\displaystyle}와 B{B\displaystyle}, 그런은 P(A→ B){P(A\rightarrow B)\displaystyle} 같은 P(B∣ A){P(B\mid A)\displaystyle}에, P한(A)을 역할이 커질 수 있는 행사, A→ B{A\rightarrow B\displaystyle}, 실패할 거라고 생각할지도 모릅니다;0.[1]{.\disp$레이스타일 P(A)>0}$.

이 움직임의 매력 중 일부는 더 복잡한 구조 안에 조건부 표현을 내장할 수 있는 가능성이다.One could write, say, ${\displaystyle P(A\cup (B\rightarrow C))=0.75}$, to express someone's high subjective degree of confidence ("75% sure") that either ${\displaystyle A}$, or else if ${\displaystyle B}$, then ${\displaystyle C}$. Compound constructions containing conditional expressions자동화된 의사결정 시스템의 프로그래밍에도 유용할 수 있다.^[2]

어떻게 그러한 관습이 표준 확률 이론과 결합될 수 있을까?표준 이론의 가장 직접적인 확장은 $A{\displaystyle }$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\rightarrow B}$을 다른 사건, 즉 결과 집합으로$$ 취급하는 것이다.Adding ${\displaystyle A\rightarrow B}$ to the familiar Venn- or Euler diagram of ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ would then result in something like Fig. 1, where ${\displaystyle s,t,\ldots ,z}$ are probabilities allocated to the eight respective regions, such that ${\displaystyle s+t+\cdots +z=1}$$[\displaystyle s+t+\cdots +z=1$

For ${\displaystyle P(A\rightarrow B)}$ to equal ${\displaystyle P(B\mid A)}$ requires that ${\displaystyle t+v+w+y=(s+t)/(s+t+x+y)}$, i.e., that the probability inside the ${\displaystyle A\rightarrow B}$ region equal the ${\displaystyl$$e{\displaystyle }$ $A\cap B}$ 지역의$$ A ${\displaystyle A}$ 영역$$ 내 확률에 비례하는 비율In general the equality will of course not be true, so that making it reliably true requires a new constraint on probability functions: in addition to satisfying Kolmogorov's probability axioms, they must also satisfy a new constraint, namely that ${\displaystyle P(A\rightarrow B)=P(B\mid A)}$ for any events ${\displaystyle A}$$$> $(\displaystyle P(A)>0}$과 $같은{\displaystyle }$ $[\displaystyle A}$ 및$$ B ${\displaystyle B$

루이스의 결과

루이스(1976)는 위 제안에 대해 치명적일 것으로 보이는 문제를 지적했다.비극적인 일련의 사건을 가정할 때, 새로운 제한 $등급$의 P ${\$$디스플레이$ $스타일 P}$ -기능$$ $P$를 $새로운$ ${\displaystyle {기능}_{}}$ $P{\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\cdot }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (\cdot }$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle C}$)로$$ 바꾸는 연산, 조건화 하에서는 폐쇄되지 않을 것이다$.$$Playstyle$ P_{C}(\$cdot )=P(\cdot \mid C)},$ 이벤트 $C{\displaystyle }$ ${\$displaystyle $C}$의$$발생에 사전 설정됨$.$That is, if ${\displaystyle P(A\rightarrow B)=P(B\mid A)}$, it will not in general be true that ${\displaystyle P_{C}(A\rightarrow B)=$$P_{C}(B\mid A)}$ > 0 ${\displaystyle$ P$(C)>0}$만큼$$ 이것은 만약 합리성이 올바른 행동의 확률 함수를 필요로 한다면, 완전한 이성적인 사람(또는 계산 시스템)이 단순히 임의 사건 $C{\displaystyle }$ ${\displaysty C}$이 일어났다는$$ 것을 배운다는 이유만으로 비합리적이 될 것임을 암시한다.바스 반 프라센은 이 결과를 "진정한 폭탄선언"(1976, 페이지 273)이라고 불렀다.

루이스의 증거는 다음과 같다.된다면 서로 together 모든 가능성을 배타적이다 P(A∩ B)0{\displaystyl 초기 조향 순간 두가지 가능한 행사, 한{A\displaystyle}과 B{B\displaystyle}. 그래서 P을(A);0{\displaystyle P(A)>0}, P(B)>0{\displaystyle P(B)>0}가 포함되어 있으며, 일련의 사건들은 하자.eP(A\cap B)=0}, P(A∪ B)<1{\displaystyle P(A\cup B)< 1}.두 사건의 존재는 행사의 존재를 한∪ B{A\cup B\displaystyle}을 사용하며, 만약 조건부 행사 인정되는 것이고, 그 사건(A∪ B)→{\displaystyle(A\cup B)\rightarrow}. 그 증거는 가정톤에서 모순이 파생된다는 것을 암시한다.그러한 최소한의 비결정적인 일련의 사건들이 존재한다.

1. $({\displaystyle A}$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle B}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{조건}}$ 조정$$ 후 (A$\displaystyle (A\cup$ B$)\오른쪽$ 화살표 $A},$ $먼저{\displaystyle }$ A ${\displaystyle$ A$},$ 그$$ 대신 $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ A$'}$의 확률을 고려하십시오$.$
   • Conditioning on ${\displaystyle A}$ gives ${\displaystyle P_{A}((A\cup B)\rightarrow A)=P(((A\cup B)\rightarrow A)\cap A)/P(A)}$. But also, by the new constraint on ${\displaystyle P}$-functions, ${\displaystyle P_A((A\cup B)\to A)=P_A((A\cup B)\cap A)/P_{}}$${\displaystyle P_{A}((A\컵$$P_{A}((A\cup B)\cap A)/P_{A}(A\cup B)=}$ ${\displaystyle P((A\cup B)\cap A\mid A)/P(A\cup B\mid A)=1/1=1}$. Therefore, ${\displaystyle P(((A\cup B)\rightarrow A)\cap A)=P(A)}$.
   • Conditioning on ${\displaystyle A'}$ gives ${\displaystyle P_{A'}((A\cup B)\rightarrow A)=P(((A\cup B)\rightarrow A)\cap A')/P(A')}$. But also, ${\displaysty$$르 P_{A'}((A\컵 B)\오른쪽 화살표 A)=$$P_{A'}((A\cup B)\cap A)/P_{A'}(A\cup B)=}$ ${\displaystyle P((A\cup B)\cap A\mid A')/P(A\cup B\mid A')=0/P(A\cup B\mid A')=0}$. (The mutual exclusivity of ${\displaystyle B}$ and ${\displaystyle A}$ ensures that ${$$\디스플레이$ 스타일 $P(A\컵 B\mid$ A$')\neq 0}$따라서 $P{\displaystyle }$(${\displaystyle }$( ${\displaystyle (A}$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle B}$)${\displaystyle }$→ A${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle {}^{}{\prime }^{}}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle P(((A\컵 B)\오른쪽 화살표$ A$)\cap$ A$')=0$
2. Instantiate the identity ${\displaystyle P(X\cap Y)+P(X\cap Y')=P(X)}$ as ${\displaystyle P(((A\cup B)\rightarrow A)\cap A)+P(((A\cup B)\rightarrow A)\cap A')=}$ ${\displaystyle P((A\cup B)\rightarrow A)}$. By the results from Step 1, the left side reduces to ${\displaystyle P(A)}$, while the right side, by the new constraint on ${\displaystyle P}$-functions, equals ${\displaystyle P((A\cup B)\cap A)/P(A\cup B)=P(A)/P(A\cup B)}$.Therefore, ${\displaystyle P(A)=P(A)/P(A\cup B)}$, which means that ${\displaystyle P(A\cup B)=1}$, which contradicts the stipulation that ${\displaystyle P(A\cup B)<1}$. This completes the proof.

그래픽 버전

그 증거의 그래픽 버전 그림과 함께 시작되었다. 2, A{A\displaystyle}과 B{B\displaystyle}에서 그림 1현재 해체되다, A→ B{A\rightarrow B\displaystyle}이에(A∪ B)→{\displaystyle(A\cup B)\rightarrow}.[3]으로써 가정 A{A\displaystyle}, B {\dIsplaystyle B}, x+y>0{\displaystyle x+y>0}, 그리고 당신은+v>0{\displaystyle u+v>0}. 영원할 것이라는 가정을 A{A\displaystyle}과 B{B\displaystyle}together지 않는다 모든 가능성, v+x+y<>u+1{\displaystyle u+v+x+y< 1}. 그리고 새로운 제약 조건이 가능하다.확률functions, ${\displaystyle P((A\cup B)\rightarrow A)=P(A\mid A\cup B)=}$ ${\displaystyle P(A\cap (A\cup B))/P(A\cup B)=P(A)/P(A\cup B)}$, which means that

(1) $y{\displaystyle }$+ ${\displaystyle v}$+ ${\displaystyle w}$= ${\displaystyle \frac{x}{}}$+ x +${\displaystyle \frac{}{}}$ + y +${\displaystyle \frac{u}{}}$ + v${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle y+v+w={\frac$ {$x+y}{x+y+u+v},},}$

사건 조건화에는 사건 영역 외부의 확률을 0으로 설정하고 공통 척도 인자에 의해 지역 내부의 확률을 증가시키는 것이 포함된다.여기서, $A{\displaystyle }${\$displaystyle A}$의 조건화는 ${\displaystyle u,}$ v ${\displaystyle u,v}$ $및$ w ${\displaystyle w}$을(를) 0으로 만들고 x ${\$ $x}$ $및$ y ${\displaysty$ y$}$을$($를)로 스케일업한다$$$.$$A$$}$ 및 ${\displaystyle y_{}}$ ${\$ 스타일 $y_{$$A}$ $,$ , , , 등

(2) ${\displaystyle y_{}}$A + 0${\displaystyle }$+${\displaystyle 0}$ = ${\displaystyle \frac{x_{}{A}_{}}{}}$ + y ${\displaystyle \frac{x_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}}}$+ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{0}{}}$ + ${\displaystyle \frac{0}{}}$ ${\displaystyle y_{A}+0={\frac {x_{$x_{\frac}{$A}+y_{A}}{x_{}$${\displaystyle A_{}}$$}+y_{A}+0+0},$ 이렇게 하면$$ y${\displaystyle {}_{}}$= 1${\displaystyle y_{$$A}=1$.$}$

$대신{\displaystyle {}^{}}$ A ${\displaystyle {▼}^{}}$ ${\$에 대한 조건 조정으로 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및 $y$ ${\displaystyle y}$이(가) 0이 되고 $u{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u,$$v$$}$ 및 w ${\displaystystyle w}$등이 스케일업됨$$

(3) $0{\displaystyle \mathrm{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {A{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\prime }^{}}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {A{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\prime }^{}}_{}}$= ${\displaystyle 0\frac{\mathrm{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{0}{}}$ +${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{A_{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{A_{}}{}}$ ${\displaystyle 0+v_{$$A'}+w_{A'}={\frac {0+0}{0+0+u_{{}$$A$$}+v_{A}}},$ v ${\displaystyle {A{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\prime }^{}}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {A{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\prime }^{}}_{}}$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle v_{A'}+w_{{}}.$$A'}=0.}$

(2)부터는 ${\displaystyle \mathrm{x}}$ A${\displaystyle {}_{}}$= 0 ${\displaystyle x_{$$A}=0}$및 이후 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\$$A}}$ is the scaled-up value of ${\displaystyle x}$, it must also be that ${\displaystyle x=0}$. Similarly, from (3), ${\displaystyle v=w=0}$. But then (1) reduces to ${\displaystyle y=y/(y+u)}$, which implies that ${\displaystyle y+u=1}$, which contradicts the stipulation 해당 + + + < ${\displaystyle u+v+x+y<1$

후기 개발

In a follow-up article, Lewis (1986) noted that the triviality proof can proceed by conditioning not on ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle A'}$ but instead, by turns, on each of a finite set of mutually exclusive and jointly exhaustive events ${\displaystyle A,C,D,E,\ldots \,.}$ He also gave a var$전체{\displaystyle }$ 컨디셔닝이 아닌$,$ A {\$displaystyle A}$ 또는$$ $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$의 확률을$$ 1로 설정하고 부분 컨디셔닝(즉, Jeffrey conditioning)하여 확률을 $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$$displaystytle A$$'$에서 A$}($으)로$$ 점진적으로 이동시킨다$.$

Separately, Hájek (1989) pointed out that even without conditioning, if the number of outcomes is large but finite, then in general ${\displaystyle P(B\mid A)=P(A\cap B)/P(A)}$, being a ratio of two outputs of the ${\displaystyle P}$-function, will take on more values than any single output of the통조림을 하다So, for instance, if in Fig. 1 ${\displaystyle s,t,\ldots }$ are all multiples of 0.01 (as would be the case if there were exactly 100 equiprobable outcomes), then ${\displaystyle P(A\rightarrow B)}$ must be a multiple of 0.01, as well, but ${\displaystyle P(A\cap B)/P(A)}$ need not be. 그러한 경우 $P{\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$→ B$){\displaystyle P (A\rightarrow$ B$)}$은(는) $P{\displaystyle }$(${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mid }$ A$){\displaystyle P (B\mid A)}$과(와) 같도록 신뢰성 있게 만들 수 없다$$$.$

또한 Hahjek(1994)은 $조건{\displaystyle }$ P ${\displaystyle (A}$→ ${\displaystyle B}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle P}$(${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mid }$ $){\displaystyle P (A\rightarrow B)=P(B\mid$ A$)}$이 허용$$ 가능한 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$ -기능이$$ 믿을 수 없을 정도로 희박하고 서로 격리되었다고 주장했다.요점을 설명하기 위한 한 가지 방법: 표준적으로, 두 확률 함수의 가중 평균은 그 자체로 확률 함수로서, 두 $개$의 P ${\$$displaystyle P}$ - 기능$$ 사이에 가중 평균 $P{\displaystyle }$ ${\\$$displaystyle P$$}$ - 기능$$$$ 중 $하나$가 점진적으로 tracks가 되도록 한다.…이 되다그러나 추가된 $P{\displaystyle }$(${\displaystyle A}$→ ${\displaystyle B}$)${\displaystyle }$= P${\displaystyle }$(${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mid }$ A${\displaystyle }$){\$displaystyle P (A\rightarrow B)=P(B\mid$ A$)}$ 조건이$$ 부과되면 이러한 연속체는 사라진다.이제 일반적으로 두 개의 허용$$가능한 $P{\displaystyle }$ {\$displaystyle P}$ - 기능이$$ 허용 가능한 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$ - 기능이$$ 되지 않을 것이다.

재회인 가능성

$P{\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$→ B${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle P}$( B ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle P(A\rightarrow B)=P(B\mid A)}$이(가) 최소 비경쟁적 이벤트 집합에 대해$$ 보유한다고 가정하고$P{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ P$$$}$ - 함수는 모순으로 이어진다.따라서 $P{\displaystyle (}$ ${\displaystyle A}$→ ${\displaystyle B}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle P(B}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle P(A\rightarrow B)=P(B\mid A)}$은(는) $모든{\displaystyle }$ P ${\displaystyle P}$ - 사소한 사건 집합에 대해서만 유지할 수 있다$$.그러나 그 증거는 도전받을 수 있는 배경 가정에 의존한다.예를 들어, "${\displaystyle }$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\rightarrow$ B$\}"$와 같은 식의 참조 사건이 주어진 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 및 $B$ ${\displaystyle B}$에 대해 고정되지 않고 대신 확률 함수가 변경됨에 따라 변경되는 것이 제안될 수 있다$.$또는 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$에 대한 조절은 ${\displaystyle P_{}}$ $C{\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle \cdot }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle P}$( ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle C}$ $){\displaystyle P_{C}(\cdot )=P(\cdotmid C)}$ 이외의 규칙을 따라야 한다고$$ 제안할 수 있다$.$

그러나 $P{\displaystyle }$(${\displaystyle A}$→ ${\displaystyle B}$)${\displaystyle }$= P${\displaystyle }$(${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mid }$ A$){\displaystyle P (A\rightarrow$ B$)=P(B\mid A)}$ 조건의$$ 지지자들 사이에서 가장 일반적인 반응은 조건부 사건을 우주의 결과 집합의 하위 집합이 아닌 것으로 모형화하는 방법을 탐구하는 것이었다.루이스가 자신의 결과를 발표하기 전에도, 셰이(1968)는 조건부 사건을 순서 쌍의 결과물로 모델링했다.그러한 접근방법과 다른 것들과 같은 정신으로 조건부 사건들과 그것들의 관련 결합과 보완 연산은 표준 확률 이론의 일반적인 집합의 대수학보다는 조건부 사건 대수학이라고 알려진 더 이국적인 형태의 구조를 구성한다.

메모들

참조