오일러 도표

오일러 도표(/əəl/r/, OY-l)r)는 집합과 그 관계를 나타내는 도표 수단이다.복잡한 계층 구조 및 중복 정의를 설명하는 데 특히 유용합니다.이들은 또 다른 세트 다이어그램 기술인 벤 다이어그램과 유사합니다.서로 다른 집합 사이의 모든 가능한 관계를 보여주는 벤 다이어그램과 달리, 오일러 다이어그램은 관련된 관계만 보여줍니다.

"울레리아 원"의 첫 번째 사용은 스위스 수학자 레온하르트 오일러 (1707–1783년)에 기인한다.미국에서, 벤과 오일러 다이어그램은 1960년대의 새로운 수학 운동의 일부로서 집합론 교육의 일부로 통합되었다.그 이후로, 그들은 단체와 기업뿐만 아니라 읽기와 같은^[1] 다른 커리큘럼 분야에서도 채택되었다.

오일러 다이어그램은 각각 집합이나 범주를 묘사하는 2차원 평면에서의 단순한 닫힌 도형으로 구성됩니다.이러한 도형이 겹치는 방법 또는 여부는 집합 간의 관계를 나타냅니다.각 곡선은 평면을 두 영역 또는 "존"으로 나눕니다. 즉, 세트의 요소를 상징적으로 나타내는 내부와 세트의 구성원이 아닌 모든 요소를 나타내는 외부입니다.겹치지 않는 곡선은 공통 요소가 없는 분리된 집합을 나타냅니다.겹치는 두 원곡선은 교차하는 세트를 나타내며, 두 원곡선 내부의 구역은 두 세트에 공통되는 요소 세트(세트의 교차점)를 나타냅니다.다른 곡선의 내부가 완전히 다른 곡선의 부분집합입니다.

벤 다이어그램은 오일러 다이어그램의 더 제한적인 형태이다.벤 다이어그램은 구성 세트의 포함/제외의 모든 조합을 나타내는 n개의 곡선 사이에 논리적으로 가능한 중복 구역 2개를 모두 포함해야ⁿ 한다.세트의 일부가 아닌 영역은 오일러 다이어그램과 대조적으로 검은색으로 색칠하여 나타냅니다. 오일러 다이어그램에서는 세트의 구성원은 색상뿐만 아니라 겹침으로 표시됩니다.

역사

오른쪽 그림에서 보듯이, 윌리엄 해밀턴 경은 그의 사후에 출판된 형이상학과 논리에 관한 강의 (1858–60)에서 원의 원래 사용은 "감각화"하기 위해 잘못되었다고 주장한다."논리의 추상화" (p.180)는 레온하르트 폴 오일러 (1707–1783)가 아니라 1712년에 사후에 등장한 그의 핵 논리학에서 크리스찬 와이즈 (^[2][3]1642–1708)였지만, 후자의 책은 사실 바이즈가 아닌 요한 크리스티안 랑게에 의해 쓰여졌다.그는 오일러의 편지를 독일 공주에게 언급했다[Partie II, Lettre XXXV, 1791년 2월 17일 ed.Cournot (1842), 페이지 412–417. – ED]^{[nb 1]}

해밀턴의 그림에서 그림 A, E, I 및 O로 상징되는 삼단논법으로 발생할 수 있는 네 가지 범주형 명제는 다음과 같다.^[4]

• A: Universal Agremative, 예: "모든 금속은 원소입니다."
• E: 유니버설 네거티브, 예: "금속은 복합물이 아닙니다."
• I: 특정 찬성론, 예: "일부 금속은 부서지기 쉽습니다."
• O: 특정 부정, 예: "일부 금속은 부서지기 쉬운 것이 아닙니다."

존 벤(1834–1923)은 1881년 기호논리 제5장 "도표현"에서 오일러 다이어그램의 현저한 보급률에 대해 다음과 같이 논평했다.

"지난 세기 동안 출판된 최초의 60여 개의 논리논문 중 어느 정도 이 목적을 위해 참조되었다:-어느 정도 무작위로, 가장 쉽게 접근할 수 있었기 때문에:- 34개가 다이어그램의 도움을 호소하는 것으로 보였고, 이들 거의 모두가 오일러 체계를 사용했다." (각주 1페이지 100)

그러나 그럼에도 불구하고, 그는 "진짜 일반적인 논리학을 위한 이 계획의 적용 불가능"(100페이지)을 주장했고 101페이지에서 "그것은 일반적으로 적용되는 공통 논리학의 네 가지 명제에도 들어맞지만 좋지 않다"고 관찰했다.Venn은 아래의 예에서 설명한 관찰로 장을 끝맺습니다.이 예들은 엄격한 알고리즘 연습이 아니라 연습과 직관에 기초하고 있습니다.

"사실...이러한 도표는 설명에 사용되는 일반적인 명제 체계와 맞지 않을 뿐만 아니라 일관되게 관련될 수 있는 명제 체계도 없는 것으로 보인다." (p.124–125)

마지막으로, XX장에서 벤은 결정적인 비판(아래 인용문에 인용)을 받습니다. 해밀턴의 그림에서 O(특정 부정)와 I(특정 긍정)가 단순히 회전하는 것을 관찰합니다.

"우리는 이제 오일러의 유명한 서클을 찾아왔습니다. 오일러의 서클은 그의 불안한 왕자님(Letres a ununune d'Alemagne, 102~105)에서 처음 묘사되었습니다.이들 약점은 우리가 명제를 통해 소유하거나 전달하고자 하는 이러한 관계에 대한 불완전한 지식보다는 계급 간의 실제 관계를 엄격히 설명한다는 사실에 있다.따라서 그들은 공통 논리의 명제에는 맞지 않지만 적절한 기본 명제의 새로운 그룹의 구성을 요구할 것이다.이 결점은 특정 긍정과 부정의 경우 첫 번째에서 발견되었을 것입니다.같은 도표가 일반적으로 양쪽 모두를 나타내기 위해서 사용되고 있습니다.이것은 무관심하게 잘 되어 있습니다.(이탈릭 추가: 424페이지)

(샌디퍼 2003은 오일러도 그런 관측을 한다고 보고한다; 오일러는 그의 그림 45(단순한 두 원의 교차점)에 4가지 해석이 있다고 보고한다.)어떤 경우든, 이러한 관찰과 비판으로 무장한 벤은 어떻게 그가 벤 도표로 알려지게 된 것을 "...옛날 오일러 도표"에서 도출했는지 (100-125페이지) 설명한다.특히 왼쪽의 예를 들 수 있다.

1914년까지, 루이 쿠투라 (1868–1914)는 오른쪽 그림에 표시된 것과 같은 용어에 라벨을 붙였습니다.게다가 그는 외부 지역(a'b'c'로 표시)도 표시했다.그는 이 그림의 사용법을 간결하게 설명하고 있다.소멸할 지역을 삭제해야 한다.

"VENN의 방법은 모든 구성 요소를 나타내는 기하학적 다이어그램으로 번역됩니다. 따라서 결과를 얻으려면 문제의 데이터에 의해 지워진 구성 요소만 삭제하면 됩니다."(이탈릭 추가 페이지 73).

따라서 벤의 할당이 주어졌을 때, 원 내부의 음영 처리되지 않은 영역을 합산하여 벤의 예에 대해 다음과 같은 방정식을 얻을 수 있습니다.

"No Y is Z, ALL X is Y: 따라서 No X is Y"는 원 내부의 음영 처리되지 않은 영역에 대해 x'yz' + xyz' + x'y'z 방정식을 가집니다(단, 이는 완전히 올바른 것은 아닙니다. 다음 단락 참조).

벤 0항에서는 원을 둘러싼 배경인 x'y'z'가 나타나지 않는다.그것은 어디에도 논의되거나 라벨이 붙어있지 않지만 쿠투라는 그의 그림에서 이것을 정정한다.올바른 방정식은 굵은 글씨로 표시된 다음 음영 처리되지 않은 영역을 포함해야 합니다.

"No Y는 Z, ALL X는 Y: 따라서 No X는 Z"라는 방정식은 x'yz' + xyz' + x'y'z + x'y'z'이다.

현대의 용법에서 벤 다이어그램은 모든 원을 둘러싼 상자를 포함합니다; 이것은 담론의 세계 또는 담론의 영역이라고 불립니다.

Couturat는 이제 직접 알고리즘(공식적이고 체계적인) 방식으로는 축소된 부울 방정식을 도출할 수 없으며 "X는 Z"라는 결론에 도달하는 방법을 보여주지 않는다는 것을 관찰한다.Couturat는 이 프로세스가 "논리적인 문제를 해결하기 위한 방법으로서... 심각한 불편이 있다"고 결론지었다.

"특정 성분을 취소함으로써 데이터가 어떻게 표시되는지 보여주지도 않고, 원하는 결과를 얻기 위해 나머지 성분을 결합하는 방법도 보여주지도 않습니다.간단히 말해서, 그것은 논쟁에서 단 하나의 단계, 즉 문제의 방정식을 보여주는 역할을 한다. 즉, 이전 단계, 즉 "문제를 방정식으로 던지는 것"과 전제 조건의 변형, 그리고 후속 단계, 즉 다양한 결과를 초래하는 결합을 고려하지 않는다.따라서 구성 요소는 평면 영역뿐만 아니라 대수 기호로도 나타낼 수 있고, 이 형태로 다루기가 훨씬 쉽기 때문에 거의 쓸모가 없다."(75페이지)

따라서 이 문제는 1952년 모리스 카노(1924–)가 에드워드 W가 제안한 방법을 채택하고 확장하기 전까지는 해결되지 않을 것이다. Beitch; 이 연구는 Emil Post의 1921년 박사 논문 "기본 명제의 일반 이론 입문"과 (다른 것들 중에서) Claude Shannon, George Stibitz 및 Alan ^{[nb 2]}Turing에 의한 전환 논리에 대한 명제 논리의 적용에 정확하게 정의된 진실 표 방법에 의존할 것입니다.예를 들어, "부울 대수" 장에서 힐과 피터슨(1968, 1964)은 섹션 4.5ff "부울 대수학의 예로서 이론을 설정"을 제시하고, 그 안에서 그들은 음영과 모든 것을 포함한 벤 도표를 제시한다.이 예에서는 스위칭 회선의 문제를 해결하기 위한 벤 다이어그램의 예를 제시하지만, 마지막에 다음과 같은 문구가 표시됩니다.

"3개 이상의 변수에 대해 벤 다이어그램의 기본적인 예시는 불충분합니다.확장은 가능하지만, 그 중 가장 편리한 것은 6장에서 논의되는 카노 지도입니다." (64페이지)

6장 섹션 6.4 "부울 함수의 카노 지도 표현"에서 다음과 같이 시작합니다.

"카노¹ 지도[¹카노 1953]는 논리 디자이너의 레퍼토리에서 가장 강력한 도구 중 하나입니다.카르노 지도는 진실 표의 그림 형태 또는 벤 다이어그램의 확장으로 간주할 수 있다." (p.103–104)

카노가 그의 "차트" 또는 "지도" 방법을 개발한 역사는 불분명하다.1953년 카노우는 바이치 1951을, 바이치는 클로드 E를 언급했다. Shannon 1938(본질적으로 Shannon의 M.I.T 석사 논문)과 Shannon은 차례로 논리 텍스트의 다른 작가들 중에서 Couturat 1914를 언급했다.Veitch의 방법에서 변수는 직사각형 또는 정사각형으로 배열됩니다. Karnaugh 지도에서 설명한 바와 같이, Karnaugh는 하이퍼 큐브라고 알려진 것에 대응하도록 변수의 순서를 변경했습니다.

오일러와 벤의 관계

벤 다이어그램은 오일러 다이어그램의 더 제한적인 형태이다.벤 다이어그램은 구성 세트의 포함/제외의 모든 조합을 나타내는 n개의 곡선 사이에 논리적으로 가능한 중복 구역 2개를 모두 포함해야ⁿ 한다.세트의 일부가 아닌 영역은 오일러 다이어그램과 대조적으로 검은색으로 색칠하여 나타냅니다. 오일러 다이어그램에서는 세트의 구성원은 색상뿐만 아니라 겹침으로 표시됩니다.집합의 수가 3개 이상으로 증가하면 벤 다이어그램은 시각적으로 복잡해지고, 특히 해당 오일러 다이어그램과 비교됩니다.오일러와 벤 다이어그램의 차이는 다음 예에서 볼 수 있습니다.3종류의 세트를 준비합니다.

• ${\displaystyle A=\{1,2,5\}}$
• ${\displaystyle B=\{1,6\}}$
• ${\displaystyle C=\{4,7\}}$

이들 집합의 오일러 및 벤 다이어그램은 다음과 같습니다.

• 

  오일러 도표

• 

  벤도

논리적인 환경에서는, 이론적인 모델적 의미론을 사용하여 담론의 세계 안에서 오일러 도표를 해석할 수 있다.아래의 예에서, 오일러 다이어그램은 대응하는 곡선이 분리되기 때문에 집합 동물과 미네랄이 분리되고 집합 네 다리가 집합 동물들의 집합의 부분 집합임을 나타낸다.동일한 범주의 동물, 광물 및 네 개의 다리를 사용하는 벤 다이어그램은 이러한 관계를 캡슐화하지 않습니다.전통적으로 벤 다이어그램 세트의 공허함은 지역의 음영으로 표현된다.오일러 다이어그램은 음영 또는 영역의 부재로 공허함을 나타냅니다.

종종 일련의 양호한 형태 조건이 부과됩니다. 이는 다이어그램의 구조에 부과되는 위상적 또는 기하학적 제약 조건입니다.예를 들어, 구역의 연결성이 적용되거나 곡선의 접선 교차로처럼 곡선 또는 여러 점의 동시성이 금지될 수 있습니다.인접한 다이어그램에서 작은 벤 다이어그램의 예는 변환 시퀀스에 의해 오일러 다이어그램으로 변환됩니다. 중간 다이어그램의 일부는 곡선의 동시성을 가집니다.그러나 음영이 있는 벤 도표를 음영이 없는 오일러 도표로 변환하는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다.비평면 이중 그래프가 있어야 하기 때문에 원하지 않는 구역을 생성하지 않고 단순 닫힌 곡선을 사용하여 그릴 수 없는 9개의 집합이 있는 오일러 다이어그램의 예가 있다.

예:오일러-벤-다이어그램과 카르노 지도

이 예는 "No X are Zs"라는 추론을 도출하고 검증하는 오일러 및 벤 다이어그램과 카노 지도를 보여줍니다.그림 및 표에서는 다음과 같은 논리 기호가 사용됩니다.

• 1은 "참", 0은 "거짓"으로 읽을 수 있습니다.
• ~는 NOT의 경우이며, 예를 들어 x' =_defined x가 아닌 경우 '로 약칭됩니다.
• + 부울 OR의 경우 (부울 대수: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 1)
• 명제 사이의 & (논리 AND); mintems에서 AND는 산술 곱셈과 유사한 방식으로 생략됩니다. 예: x'y'z =_defined ~x & ~y & z (부울 대수에서: 0·0 = 0, 0·1 = 0, 1·0, 1 = 1에서 "·"이 표시됩니다.)
• →(논리적인 의미): 마치...그러면 ... 또는 "의미", P → Q = P 또는 Q가 아님

"No X is a Z"와 같은 제안된 결론이 주어진다면, 진실 표를 이용하여 정확한 추론인지 여부를 테스트할 수 있다.가장 쉬운 방법은 왼쪽에 시작 공식(P로 줄임말)을 놓고 오른쪽에 (가능한) 연역(Q로 줄임말)을 놓고 논리적인 의미와 함께 이 둘을 연결하는 것입니다.P → Q, IF P THEN Q로 읽힌다. 진실 표의 평가에서 암시 부호(→, 이른바 주요 연결사)에서 모든 1이 나온다면 P → Q는 동음이의어이다.이 사실을 감안할 때 오른쪽 공식(약칭 Q)은 진실 표 아래에 설명된 방식으로 "해부"할 수 있습니다.

위의 예에서 오일러와 벤 다이어그램의 공식은 다음과 같습니다.

"No Ys are Zs" 및 "All Xs are Ys": (~(y & z) & (x → y)) =_defined P

그리고 제안된 공제 항목은 다음과 같습니다.

"X는 Z" 없음: (~ (x & z)) =_defined Q

따라서 이제 평가할 공식은 다음과 같이 축약할 수 있습니다.

( ~(y & z) & (x → y ) → ( ~ (x & z)): P → Q

IF ( "No Ys are Zs" 및 "All Xs are Ys") 다음 ("No Xs are Zs")

진실 표는 (~(y & z) & (x → y) ) → (~ (x & z) )라는 공식은 노란색 열에 있는 모든 1s에서 알 수 있듯이 쌍방향성이라는 것을 보여준다.

정사각형 #	벤, 카르노 주		x	y	z		(~	(y)	&	z)	&	(x)	→	y)	→	(~	(x)	&	z)
0	x'y'z'		0	0	0		1	0	0	0	1	0	1	0	1	1	0	0	0
1	x'y'z		0	0	1		1	0	0	1	1	0	1	0	1	1	0	0	1
2	x'yz'		0	1	0		1	1	0	0	1	0	1	1	1	1	0	0	0
3	x'yz		0	1	1		0	1	1	1	0	0	1	1	1	1	0	0	1
4	xy'z'		1	0	0		1	0	0	0	0	1	0	0	1	1	1	0	0
5	xy'z		1	0	1		1	0	0	1	0	1	0	0	1	0	1	1	1
6	xyz'		1	1	0		1	1	0	0	1	1	1	1	1	1	1	0	0
7	xyz		1	1	1		0	1	1	1	0	1	1	1	1	0	1	1	1

이 시점에서 위의 의미인 P → Q(즉, ~(y & z) & (x → y) ) → ~(x & z)는 여전히 공식이며, P → Q 중 Q의 "분리"인 추론은 일어나지 않았다.그러나 P → Q가 동질성이라는 것을 입증할 때, 이제 단계는 모듈 포넨을 사용하여 Q: "No Xs are Zs"에 대한 절차를 사용하도록 설정되었고 왼쪽에 ^{[nb 3]}있는 항을 사용합니다.

Modus ponens(또는 ^[5]"추론의 기본 규칙")는 종종 다음과 같이 쓰여진다.왼쪽에 있는 두 개의 용어인 P → Q와 P는 전제(쉼표로 연결된 관례에 의해)라고 불리며, 기호 θ는 논리적인 추론(논리적인 추론)의 의미로 "추정"을 의미하며, 오른쪽에 있는 용어는 결론이라고 불린다.

P → Q, P q Q

모드 포넨이 성공하려면 전제 P → Q와 P가 모두 참이어야 합니다.위에서 설명한 바와 같이, P → Q는 반복론이기 때문에, "진실"은 x, y, z가 어떻게 평가되든 항상 해당되지만, "진실"은 P가 "참"으로 평가될 때 P의 경우에만 해당된다(예: 0 또는 1 또는 2 또는 6:xy'y'z +y' xyz').

P → Q , P q Q

• 예: ( ~ (y & z) & (x → y ) → ( ~ (x & z ) , ( ~(y & z) & (x → y) ) ⊢ ( ~ (x & z) )
• 예: "No Ys" 및 "All Xs"의 경우 "No Xs"는 "Zs", "No Ys는 Zs", "All Xs는 Ys" » "No Xs는 Zs"

이제 "X는 Z가 아니다"라는 결론을 자유롭게 "상세"할 수 있으며, 후속 추론에 사용할 수도 있다(또는 화제로 사용).

동시접속적 의미는 "No Xs are Zs" 외에 다른 가능한 연산이 존재한다는 것을 의미한다. 성공적인 연산의 기준은 오른쪽의 하위접속사 아래의 1이 왼쪽의 하위접속사 아래의 모든 1을 포함한다는 것이다(주요접속사는 동시접속적 결과가 되는 의미이다).예를 들어, 진실 표에서는 암시의 오른쪽(→, 줄자 연결 기호)에서 줄자 연결 기호 " ~ " 아래의 굵게 표시된 열에는 왼쪽 줄자 연결 & (0, 1, 2, 6 행) 아래의 굵게 표시된 것과 동일한 1s와 두 개의 추가(3 및 4 행)가 있습니다.

갤러리

• 

  벤 다이어그램은 가능한 모든 교차로를 보여줍니다.

• 

  실제 상황, 다양한 초국가적 유럽 조직 간의 관계를 시각화하는 오일러 다이어그램.(클릭 가능한 버전)

• 

  오일러와 벤 도표를 비교하는 재미있는 도표.

• 

  이등변 삼각형이 (정확한 변이 아니라) 적어도 2개의 동일한 변을 갖는다는 정의를 사용하는 삼각형 유형의 오일러 다이어그램.

• 

  오일러의 영국 제도 용어 다이어그램.

• 

  3개의 원(위)과 대응하는 오일러 도표(
  아래)가 있는 22개의 (256개 중) 본질적으로 다른 벤 도표오일러 도표 중 일부는 전형적이지 않고, 일부는 벤 도표와 동등하다. 영역이 음영 처리되어 요소가 없음을 나타냅니다.

• 

  앙리 밀른 - 에드워드(1844)의 척추동물 관계 다이어그램으로 일련의 중첩 집합으로 설명.

「 」를 참조해 주세요.

• 레인보우 박스
• 스파이더 다이어그램 – 윤곽 교차로에 존재를 추가하는 오일러 다이어그램의 확장입니다.
• 벤도

메모들

레퍼런스

추가 정보

발행일 기준:

• William Hamilton 1860은 Henry Longueville Mansel과 John Veitch, William Blackwood and Sons, Edinburgh와 London에 의해 편집된 형이상학과 논리학을 강의한다.
• W. Stanley Jevons 1880 논리학 초등교육: 연역적, 귀납적. M. A. MacMillan and Co., London and New York의 풍부한 질문과 예, 논리 용어 어휘.
• Alfred North Whitehead and Bertrand Russell 1913 제1판, 1927년 제2판 Principia Mathematica ~ *56 Cambridge At The University Press (1962년판), 영국, ISBN 없음
• Louis Couturat 1914 논리 대수학: Lydia Gillingham Robinson의 영어번역(시카고 및 런던 오픈코트 출판사 Philip E. B. Jourdain의 서문 포함)을 승인했습니다.
• Emil Post 1921 "기본 명제의 일반 이론 입문" 장 반 하이제노르트에 의한 해설과 함께 전재된 1967 From Frege to Gödel: 수학 논리학의 소스 북, 1879-1931, 하버드 대학 출판부, 캠브리지, MA 0BN-32-44
• 클로드 E. Shannon 1938 "계전기 및 스위칭 회로의 상징적 분석", 트랜잭션 미국전기공학회 제57권, 471-495페이지.Claude Elwood Shannon: N.J.A.에 의해 편집된 Collected Papers에서 파생되었습니다.솔레인과 애런 D.와이너, IEEE 프레스, 뉴욕
• Hans Reichenbach 1947 기호논리의 요소 1980 도버 출판사, 뉴욕, ISBN 0-486-24004-5에 의해 재발행되었습니다.
• Veitch, Edward Westbrook (1952-05-03) [1952-05-02]. "A Chart Method for Simplifying Truth Functions". Transactions of the 1952 ACM Annual Meeting. ACM Annual Conference/Annual Meeting: Proceedings of the 1952 ACM Annual Meeting (Pittsburgh, Pennsylvania, USA). New York, USA: Association for Computing Machinery (ACM): 127–133. doi:10.1145/609784.609801. S2CID 17284651.
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외부 링크

• 오일러 도표영국 브라이튼(2004년).오일러 다이어그램이란?