라인군

선 그룹은 선을 따라 이동하는 것과 관련된 대칭을 수학적으로 설명하는 방법이다.이러한 대칭은 그 선을 따라 반복하여 그 선을 1차원 격자로 만드는 것을 포함한다.단, 선 그룹은 둘 이상의 차원을 가질 수 있으며 등각도 또는 대칭 변환에 그러한 차원을 포함할 수 있다.

공간 전체 치수의 점 그룹을 취하여 선 그룹을 구성한 다음, 선에 따라 번역 또는 오프셋을 각 점 그룹의 요소에 추가하여 우주 그룹을 구성한다.이러한 간격띄우기에는 각 원소에 대해 하나의 분율인 반복측정값과 반복측정값의 일부가 포함된다.편의상, 분수는 반복실험의 크기로 크기가 조정된다. 따라서 분수는 선의 단위 셀 세그먼트 안에 있다.

일차원

2개의 1차원 선군이 있다.이 값은 이산형 2차원 점 그룹_n C와_n D의 무한 한계값이다.

공증				설명	예
인틀	오비폴드	콕시터	P.G.	설명	예
p1	∞∞	[∞]⁺	C_∞	번역.추가 중인 정수인 추상 그룹 Z	... --> --> --> --> ...
p1m	*∞∞	[∞]	D_∞	반사추상 그룹 디흐_∞, 무한 이음 그룹	... --> <-- --> <-- ...

이차원

선에 따른 반사, 선에 수직인 반사, 2차원의 180° 회전을 포함하는 7개의 프리제 그룹이 있다.

7 그룹 표기 및 도표 작성
IUC	오비폴드	쇤플라이스	콘웨이	콕시터
p1	∞∞	C_∞	C_∞	[∞,1]⁺
p1m1	*∞∞	C_∞v	CD_2∞	[∞,1]
p11g	∞x	S_2∞	CC_2∞	[∞⁺,2⁺]
p11m	∞*	C_∞h	±C_∞	[∞⁺,2]
p2	22∞	D_∞	D_2∞	[∞,2]⁺
p2mg	2*∞	D_∞d	DD_4∞	[∞,2⁺]
p2mm	*22∞	D_∞h	±D_2∞	[∞,2]

입체

축방향 3차원 점군 7개 무한 계열에서 파생된 ^[1]3차원 선군집단의 무한가족은 13개다.일반적으로 공간 그룹과 마찬가지로 점 그룹이 같은 선 그룹은 상쇄의 다른 패턴을 가질 수 있다.각 가문은 순서가 n인 축을 중심으로 한 회전을 기본으로 한다.그룹들은 헤르만-마우갱 표기법, 포인트 그룹의 경우 쇤파리 표기법으로 나열되어 있다.선 그룹에는 비교할 만한 표기법이 없는 것으로 보인다.이러한 집단은 3차원 점군이나 프리제군처럼 원통을 n번 감싸고 실린더의 축을 따라 무한히 반복하는 벽지군의^[2] 패턴으로도 해석할 수 있다.다음 그룹의 표:

점군					라인군
H-M		쇤프.	궤도를 돌다.	콕스.	H-M		오프셋 유형	벽지			콕시터 [_h1998,2,p_v]
even n	홀수 n	쇤프.	궤도를 돌다.	콕스.	even n	홀수 n	오프셋 유형	IUC	오비폴드	도표	콕시터 [_h1998,2,p_v]
n		C_n	nn	[n]⁺	PN_q		헬리컬: q	p1	o		[⁺1998,2,n⁺]
2n	n	S_2n	n×	[2⁺,2n⁺]	P2n	PN	없음	p11g, pg(h)	××		[(재벌,2),⁺2n⁺]
n/m	2n	C_nh	n*	[2,n⁺]	Pn/m	P2n	없음	p11m, pm(h)	**		[⁺1998,2,n]
2n/m		C_2nh	(2n)*	[2,2n⁺]	P2n_n/m		지그재그	c11m, cm(h)	*×		[⁺1998,2⁺,n]
nmm	nm	C_nv	*nn	[n]	Pnmm	Pnm	없음	p1m1, pm(v)	**		[1998,2,n⁺]
nmm	nm	C_nv	*nn	[n]	pncc	Pnc	없음	p1g1, pg(v)	××		[⁺1998, (2,n)]⁺
2nmm		C_2nv	*(2n)(2n)	[2n]	P2n_nmc		지그재그	c1m1, cm(v)	*×		[1998,2⁺,n⁺]
n22	n2	D_n	n22	[2,n]⁺	Pn_q22	Pn_q2	헬리컬: q	p2	2222		[1998,2,n]⁺
2n2m	nm	D_nd	2*n	[2⁺,2n]	P2n2m	Pnm	없음	p2gm, pmg(v)	22*		[(재벌,2),⁺2n]
2n2m	nm	D_nd	2*n	[2⁺,2n]	P2n2c	Pnc	없음	p2gg, pgg	22×		[(∞,⁺ (2)n)]⁺
n/dv	2n2m	D_nh	*n22	[2,n]	Pn/mmm	P2n2m	없음	p2mm, pmm	*2222		[1998,2,n]
n/dv	2n2m	D_nh	*n22	[2,n]	Pn/mcc	P2n2c	없음	p2mg, pmg(h)	22*		[1998, (2,n)]⁺
2n/190		D_2nh	*(2n)22	[2,2n]	P2n_n/mcm		지그재그	c2mm, cmm	2*22		[1998,2⁺,n]

오프셋 유형은 다음과 같다.

없음. 축을 따라 간격띄우기는 축을 중심으로 한 단위 셀의 반복 범위 내에서 간격띄우기를 포함하지 않는다.
헬리컬 오프셋 및 헬리컬 q.축을 따라 단위 오프셋의 경우, 그 주위에 q의 오프셋이 있다.상쇄가 반복된 지점은 나선형을 추적할 것이다.
지그재그 오프셋.축 주위의 단위 셀에 상대적인 1/2의 헬리컬 오프셋.

배경화면 그룹은 pm, pg, cm, pmg 두 번 나타나므로 주의하십시오.각 외형은 선군 축에 상대적인 다른 방향을 가지고 있다; 반사는 평행(h) 또는 수직(v)이다.다른 그룹은 그러한 방향을 가지고 있지 않다: p1, p2, pmm, pgg, cmm.

점 그룹이 결정학적 점 그룹, 즉 어떤 3차원 격자의 대칭으로 구속되는 경우, 결과 선 그룹을 로드 그룹이라고 한다.75개의 로드 그룹이 있다.

Coxeter 표기법은 직사각형 벽지 그룹을 기반으로 하며, 수직 축은 대칭 순서 n 또는 2n의 실린더로 포장된다.

연속체 한계에 도달하면, n ~ ∞으로 가능한 점군은_∞ C, C_∞h, C_∞v, D_∞, D가_∞h 되고, 선군은 지그재그만 제외하고 적절한 상쇄가 가능하다.

헬리컬 대칭

보어디크-콕시터 나선은 정수의 회전이 없이 나선형 대칭을 보여주며 원래의 방향을 반복한다.

C_n(q)와 D_n(q) 그룹은 나선형 객체의 대칭을 표현한다.C_n(q)는 같은 방향의 n 나선형이며, D_n(q)는 n 비방향의 나선형과 교대방향의 2n 나선형이다.q의 기호를 반대로 하면 나선형의 처짐이나 손놀림을 반대로 하여 거울 이미지가 생성된다.

핵산, DNA와 RNA는 나선 대칭으로 잘 알려져 있다.핵산은 방향이 잘 정해져 있어₁ 단 가닥 C(q)를 낸다.이중 가닥은 방향이 반대고 나선축의 반대쪽에 있어 D₁(q)를 준다.

참고 항목

참조

^ Damnjanovic, Milan; Milosevic, Ivanka (2010), "Line Groups Structure" (PDF), Line Groups in Physics: Theory and Applications to Nanotubes and Polymers (Lecture Notes in Physics), Springer, ISBN 978-3-642-11171-6
^ Rassat, André (1996), "Symmetry in Spheroalcanes, Fullerenes, Tubules, and Other Column-Like Aggregates", in Tsoucaris, Georges; Atwood, J.L; Lipkowski, Janusz (eds.), Crystallography of Supramolecular Compounds, NATO Science Series C: (closed), vol. 480, Springer, pp. 181–201, ISBN 978-0-7923-4051-5 (books.google.com [1])

[1] Damnjanovic, Milan; Milosevic, Ivanka (2010), "Line Groups Structure" (PDF), Line Groups in Physics: Theory and Applications to Nanotubes and Polymers (Lecture Notes in Physics), Springer, ISBN 978-3-642-11171-6

[2] Rassat, André (1996), "Symmetry in Spheroalcanes, Fullerenes, Tubules, and Other Column-Like Aggregates", in Tsoucaris, Georges; Atwood, J.L; Lipkowski, Janusz (eds.), Crystallography of Supramolecular Compounds, NATO Science Series C: (closed), vol. 480, Springer, pp. 181–201, ISBN 978-0-7923-4051-5 (books.google.com [1])

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