선형상

선형 위상은 필터의 위상 반응이 주파수의 선형 함수인 필터의 속성이다. 그 결과 입력 신호의 모든 주파수 성분은 동일한 상수량(선형 함수의 기울기)으로 시간(일반적으로 지연)에 따라 이동하게 되는데, 이를 그룹 지연이라고 한다. 따라서 서로 상대적인 주파수의 시간 지연으로 인한 위상 왜곡은 없다.

이산 시간 신호의 경우 대칭 또는 반대칭 계수를 갖는 유한충동 응답(FIR) 필터로 완벽한 선형 위상을 쉽게 달성할 수 있다.^[1] 근사치는 계산적으로 더 효율적인 무한충동반응(IIIR) 설계로 달성할 수 있다. 몇 가지 기법은 다음과 같다.

• 최대 플랫 그룹 지연 근사 함수를 갖는 베셀 전송 함수
• 위상 이퀄라이저

정의

주파수 응답의 위상 성분이 주파수의 선형 함수인 경우 필터를 선형 위상 필터라고 한다. 연속 시간 애플리케이션의 경우 필터의 주파수 응답은 필터의 임펄스 응답의 푸리에 변환이며, 선형 위상 버전은 다음과 같은 형태를 가진다.

${\displaystyle H(\omega )=A(\omega )\ e^{-j\omega \tau}}$

여기서:

• A(Ω)는 실제 값 함수다.
• $【\displaystyle \tau$】}은$($는) 그룹 지연이다.

이산 시간 애플리케이션의 경우 선형 위상 임펄스 반응의 이산 시간 푸리에 변환은 다음과 같은 형식을 갖는다.

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )=A(\omega )\ e^{-j\omega k/2},}$

여기서:

• A(Ω)는 2π 주기가 있는 실제 값 함수다.
• k는 정수, k/2는 표본 단위에서 그룹 지연이다.

${\displaystyle H_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\pi }_{}}$(${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle H_{2\pi }}(\omega )$은 필터 임펄스 응답의 Z 변환이라는 측면에서도 표현할 수 있는 푸리에 시리즈다. 예:

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )=\왼쪽.{\widehat{H}(z)\,\right _{z=e^{j\omega}}={\widehat{H}(e^{j\omega }),}$

$여기$서 H${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$ 표기법은$$ Z 변환과 푸리에 변환을 구별한다.

예

사인파${\displaystyle }$, ${\displaystyle \sin }$sin${\displaystyle }$(${\displaystyle \Omega }$ t${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \theta }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle ,\\sin(\omega$ t$+\theta }),$ 상수 (주파수 독립) 그룹 지연${\displaystyle }\tau {\displaystyle }$, {\$displaysty \tau ,}$이(가) 있는 필터를 통과할$$ 때 결과는$$ 다음과 같다.

$\displaystyle A(\omega )\cdot \sin(\omega)(t-\tau )+\theta )=A(\omega )\cdot \sin(\omega t+\ta -\omega \tau),}$

여기서:

• ${\displaystyle A}$ (${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle$ A$(\omega )}$은 주파수 의존 진폭 승수다.
• 위상 편이 $\Omega {\displaystyle }$ {\$displaystyle \omega \tau}$은 각도 주파수 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$의 선형 함수$,$${\displaystyle }$- ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle -\tau }$은 기울기다$$.

복잡한 지수함수는 다음과 같다.

${\displaystyle e^{i(\omega t+\theta )}=\cos(\omega t+\theta )+i\cdot \sin(\omega t+\theta ),}$

다음과 같이 변환됨:

${\displaystyle A(\omega )\cdot e^{i(\omega(t-\tau )+\theta )}=e^{i(\omega t+\ta )}\cdot A(\omega)^{-i\omega \tau}}}}}}}$^{[주 1]}

대략적인 선형 위상의 경우, A(Ω)의 값이 상대적으로 큰 필터의 통과 대역에서만 해당 속성을 갖는 것으로 충분하다. 따라서 필터의 선형성을 검사하는 데는 규모 그래프와 위상 그래프(Bode 그림)가 모두 관습적으로 사용된다. "선형" 위상 그래프는 π 및/또는 2π 라디안의 불연속성을 포함할 수 있다. 작은 것은 A(Ω)가 기호를 바꾸는 곳에서 발생한다. A(Ω)는 음수가 될 수 없으므로 위상 그림에 변화가 반영된다. 2 Ω 불연속은 실제 값$$ 대신 ${\displaystyle \Omega }$,$${\$displaystyle \omega \tau$,}의 기본값을 플로팅하기 때문에 발생한다.

이산 시간 애플리케이션에서는 주기성과 대칭성 때문에 0과 나이키스트 주파수 사이의 주파수 영역만 검사한다. 주파수 단위에 따라 나이키스트 주파수는 실제 샘플링 속도의 0.5, 1.0, π 또는 ½일 수 있다. 선형 위상과 비선형 위상의 몇 가지 예는 다음과 같다.

선형 위상이 있는 이산 시간 필터는 대칭 또는 반대칭인 FIR 필터에 의해 달성될 수 있다.^[2] 필요하지만 충분하지 않은 조건은 다음과 같다.

$\displaystyle \sum _{n=-\nft }^{\nft }h[n]\cdot \sin(\omega \cdot(n-\cdot)(n-\cdot)+\nft;0}$

일부 $\alpha {\displaystyle }$ ,${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$^[3]$$.

일반화 선형 위상

일반화된 선형 위상이 있는 시스템에는 위상에 주파수 독립 상수 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$이(가) 추가된다$$. 예를 들어 이산 시간의 경우 주파수 응답은 다음과 같은 형식을 갖는다.

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )=A(\omega )\ e^{-j\omega k/2+j\beta }}}$

${\displaystyle \arg \left[]$$H_{2\pi }(\omega )\right]=\beta$ -$\omega k/2}$ for$$- < < < ${\displaystyle$ -$\pi <\omega <\pi }}$

이 상수 때문에, 시스템의 위상은 주파수의 엄밀한 선형 함수는 아니지만, 선형 위상 시스템의 많은 유용한 속성을 간직하고 있다.^[4]

참고 항목

• 최소 위상

메모들

인용구