선형안정성

수학에서, 미분방정식과 동적계통의 이론에서, 비선형 시스템에 대한 특정한 정지 또는 정분법 용액은 이 해법에서 방정식의 선형화가 ${\frac {dr}{dt}}=Ar$ r ${\frac {dr}{dt}}=Ar$ ${\frac {dr}{dt}}=Ar$ ${\frac {dr}{dt}}=Ar$ = A ${\frac {dr}{dt}}=Ar$ ${\\frac{dr}{dt}=Ar$ 의 형태를 갖는다면 선형적으로 불안정한 것으로 불린다 ${\frac {dr}{dt}}=Ar$ 여기서 r은 에 대한 섭동이다.안정 상태, A는 스펙트럼이 양의 실제 부품을 갖는 고유값을 포함하는 선형 연산자다.모든 고유값이 음의 실제 부분을 갖는다면, 그 용액을 선형적으로 안정적이라고 한다.선형 안정성을 위한 다른 이름에는 첫 번째 근사치 측면에서 지수 안정성 또는 안정성이 포함된다.^[1]^[2]실제 부분이 0인 고유값이 존재한다면 안정성에 대한 질문은 첫 번째 근사치에 근거하여 해결될 수 없으며 우리는 소위 "중심적이고 집중적인 문제"^[3]에 접근한다.

예 1: ODE

미분 방정식

{\frac {dx}{dt}=x-x^{2}

고정(시간 독립) 솔루션 2개: x = 0 및 x = 1x = 0의 선형화 ${\frac {dx}{dt}}=x$ 은 ${\frac {dx}{dt}}=x$ ${\frac {dx}{dt}}=x$ d ${\frac {dx}{dt}}=x$ = x ${\displaystyle$ {\ $frac$ {dx $}{dt}=x}$ 입니다 ${\frac {dx}{dt}}=x$ 선형화된 연산자는 A = 1이다₀.유일한 고유값은 $\lambda =1$ = $\lambda =1$ ${\displaystyle \lambda =$ 1 $}$ 입니다 $\lambda =1$ 이 방정식의 해법은 기하급수적으로 증가한다. 정지점 x = 0은 선형적으로 불안정하다.

x = 1에서 선형화를 도출하려면 ${\frac {dr}{dt}}=(1+r)-(1+r)^{2}=-r-r^{2}$ ${\frac {dr}{dt}}=(1+r)-(1+r)^{2}=-r-r^{2}$ d ${\frac {dr}{dt}}=(1+r)-(1+r)^{2}=-r-r^{2}$ = ${\frac {dr}{dt}}=(1+r)-(1+r)^{2}=-r-r^{2}$ ( ${\frac {dr}{dt}}=(1+r)-(1+r)^{2}=-r-r^{2}$ + ${\frac {dr}{dt}}=(1+r)-(1+r)^{2}=-r-r^{2}$ ) ${\frac {dr}{dt}}=(1+r)-(1+r)^{2}=-r-r^{2}$ - ${\frac {dr}{dt}}=(1+r)-(1+r)^{2}=-r-r^{2}$ ( 1 ${\frac {dr}{dt}}=(1+r)-(1+r)^{2}=-r-r^{2}$ + ${\frac {dr}{dt}}=(1+r)-(1+r)^{2}=-r-r^{2}$ ) ${\frac {dr}{dt}}=(1+r)-(1+r)^{2}=-r-r^{2}$ = ${\frac {dr}{dt}}=(1+r)-(1+r)^{2}=-r-r^{2}$ - r ${\frac {dr}{dt}}=(1+r)-(1+r)^{2}=-r-r^{2}$ - ${\frac {dr}{dt}}=(1+r)-(1+r)^{2}=-r-r^{2}$ - ${\frac {dr}{dt}}=(1+r)-(1+r)^{2}=-r-r^{2}$ ${\$ frac { $d}{dt}=(1+r)-(1+r)^{2}=-r-r^{$ 2}}, $여기$ 서 r = x - 1을 쓴다 ${\frac {dr}{dt}}=(1+r)-(1+r)^{2}=-r-r^{2}$ 선형화된 방정식은 ${\frac {dr}{dt}}=-r$ d ${\frac {dr}{dt}}=-r$ = - ${\frac {dr}{dt}}=-r$ ${\dplaystyle {\frac {\dr}{dt}=-r};$ 선형화된 연산자는 A₁ = -1, 유일한 고유값은 $\lambda =-1$ = $\lambda =-1$ - $\lambda =-1$ ${\displaystyle \lambda =-1$ 이므로 이 정지점은 선형적으로 안정적이다.

예제 2: NLS

비선형 슈뢰딩거 방정식

i{\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-|u|^{2k}u

i{\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-|u|^{2k}u

i{\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-|u|^{2k}u

i{\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-|u|^{2k}u

= -

i{\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-|u|^{2k}u

- 2

i{\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-|u|^{2k}u

u 2 -

i{\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-|u|^{2k}u

2 k

i{\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-|u|^{2k}u

u u u u u

{\frac i{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}- ^{2k}u

여기서 u ∈ 및 k > 0,

has solitary wave solutions of the form $\phi (x)e^{-i\omega t}$ .^[4] To derive the linearization at a solitary wave, one considers the solution in the form $u(x,t)=(\phi (x)+r(x,t))e^{-i\omega t}$ . $r(x,t)$ ( $r(x,t)$ , $r(x,t)$ ) $r(x,t)$ 에 대한 선형화된 방정식은 다음에 의해 주어진다 $r(x,t)$ .

{\frac {\partial t}{\begin{bmatrix}{\text{Re}\,r\\text{Im}\,r\end{bmatrix}=A{\begin{bmatrix}{\text{Re}\,r\\\text{Im}\,r\end{bmatrix},

어디에

A={\begin{bmatrix}0&L_{0}\\-L_{1}&0\end{bmatrix},

와 함께

L_{0}=-{\frac {\partial }{\partial x^{2}}-k\phi ^{2}-\omega }

그리고

L_{1}=-{\frac {\partial }{\partial x^{2}}-(2k+1)\phi ^{2}-\omega

차등 연산자바키토프-콜로콜로프 안정성 기준에 따르면 ^[5]k > 2일 때 A의 스펙트럼은 양의 점 고유값을 가지므로 선형화 방정식이 선형적으로(우수적으로) 불안정하며, 0 < k ≤ 2의 경우 A의 스펙트럼은 순수하게 가상적이므로 그에 상응하는 단독파가 선형적으로 안정적이다.

선형 안정성이 자동적으로 안정을 의미하는 것은 아니며, 특히 k = 2일 때는 단독파가 불안정하다는 점을 언급해야 한다.반면 0 < k < 2>의 경우 외딴 파동은 선형적으로 안정적일 뿐만 아니라 궤도적으로도 안정적이다.^[6]

참고 항목

참조

^ V.I. 아놀드, 일반 미분 방정식.MIT 프레스, 캠브리지, MA (1973)
^ P. 글렌디닝, 안정성, 불안정성 및 혼돈: 비선형 미분방정식의 이론 소개.케임브리지 대학 신문, 1994.
^ V.V. 네미츠키, V.V. 스테파노프, "미분방정식의 질적 이론", 프린스턴 유니브.누름(1960)
^ H. Berestycki and P.-L. Lions (1983). "Nonlinear scalar field equations. I. Existence of a ground state". Arch. Rational Mech. Anal. 82 (4): 313–345. Bibcode:1983ArRMA..82..313B. doi:10.1007/BF00250555.
^ N.G. Vakhitov and A.A. Kolokolov (1973). "Stationary solutions of the wave equation in the medium with nonlinearity saturation". Radiophys. Quantum Electron. 16 (7): 783–789. Bibcode:1973R&QE...16..783V. doi:10.1007/BF01031343.
^ Manoussos Grillakis, Jalal Shatah, and Walter Strauss (1987). "Stability theory of solitary waves in the presence of symmetry. I". J. Funct. Anal. 74: 160–197. doi:10.1016/0022-1236(87)90044-9.{{cite journal}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크)

[1] V.I. 아놀드, 일반 미분 방정식.MIT 프레스, 캠브리지, MA (1973)

[2] P. 글렌디닝, 안정성, 불안정성 및 혼돈: 비선형 미분방정식의 이론 소개.케임브리지 대학 신문, 1994.

[3] V.V. 네미츠키, V.V. 스테파노프, "미분방정식의 질적 이론", 프린스턴 유니브.누름(1960)

[4] H. Berestycki and P.-L. Lions (1983). "Nonlinear scalar field equations. I. Existence of a ground state". Arch. Rational Mech. Anal. 82 (4): 313–345. Bibcode:1983ArRMA..82..313B. doi:10.1007/BF00250555.

[5] N.G. Vakhitov and A.A. Kolokolov (1973). "Stationary solutions of the wave equation in the medium with nonlinearity saturation". Radiophys. Quantum Electron. 16 (7): 783–789. Bibcode:1973R&QE...16..783V. doi:10.1007/BF01031343.

[6] Manoussos Grillakis, Jalal Shatah, and Walter Strauss (1987). "Stability theory of solitary waves in the presence of symmetry. I". J. Funct. Anal. 74: 160–197. doi:10.1016/0022-1236(87)90044-9.{{cite journal}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크)

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