바키토프-콜로콜로프 안정성 기준

The Vakhitov–Kolokolov stability criterion is a condition for linear stability (sometimes called spectral stability) of solitary wave solutions to a wide class of U(1)-invariant Hamiltonian systems, named after Soviet scientists Aleksandr Kolokolov (Александр Александрович Колоколов) and Nazib Vakhitov (Назиб Галиевич Вахитов).단독파 ${\displaystyle {}_{}(x}$, ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= =${\displaystyle {}_{}\Omega }$( ${\displaystyle x_{}}$ ) ${\displaystyle e^{}}$- ${\displaystyle {\mathrm{i\Omega }}^{}}$t {\$displaystyle u(x,$t)=\$phi _${\$omega }e$$^{\displaystyle \omega$ t$}}}$의 선형안정성 조건은 주파수 $\Omega$으로 하는$$ 형식을 가지고$$ 있다.

${\displaystyle {\frac {d}{d\omega}Q(\omega)<0,}$

여기서 $Q{\displaystyle }$(${\displaystyle \Omega }$) ${\$ Q$(\$${\displaystyle \mathrm{omega}}$ $)\,}$은(는) 시스템의 U(1)-invience로 인해 노에더의 정리에 의해 보존된 단독파 ${\displaystyle {\Omega }_{}({}_{}}$x${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {\Omega }^{}}$t {\$displaystyle \pi _${\$omega ^{-i\omega t}$의 전하(또는 운동량력)이다$.$

오리지널 제형

원래 이 기준은 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 얻었다.

${\displaystyle i{\frac {\frac}{\frac(x,t)=-{\frac(x,t){\frac({\frac){2}}:{\frac(x,t)+g(u(x,t) ^{2}u,t),}$

여기서 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ x$\in \$$mathb$${R$$}},$ $t{\displaystyle }${ ${\displaystyle R\mathbb{}}${\$displaystyle$ t$\in {R$ $g{\displaystyle }$c ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$∞${\displaystyle {}^{}}$($R$ g$\in{\infty$}(\$mathb {R}$)은 부드러운 실제 값 함수다.솔루션 $u{\displaystyle (x}$, t${\displaystyle }$) ${\$은(는) 복합값으로 가정한다$$.Since the equation is U(1)-invariant, by Noether's theorem, it has an integral of motion, ${\displaystyle Q(u)={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} } u(x,t) ^{2}\,dx}$, which is called charge or momentum, depending on the model under consideration.For a wide class of functions ${\displaystyle g}$, the nonlinear Schrödinger equation admits solitary wave solutions of the form ${\displaystyle u(x,t)=\phi _{\omega }(x)e^{-i\omega t}}$, where ${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$ and ${\displaystyle \phi$$_{\omega }(x)$ 대형 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 대한 데시즈$$($$종종 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \phi _{\omega _}}}}}$이(가) Sobolev 공간 $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}{\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystysty H^1}(\mathb {R}{n}}})$에 속해야 함).$$일반적으로 그러한 솔루션은 실제 라인의 간격 또는 간격의 집합에서$$ $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega$}에 대해 존재한다.바히토프-콜로콜로프 안정성 기준,^[1][2][3][4]

${\daystyle {\frac {d}{d\omega}Q(\phi _{\omega })<0,}$

단독 파동 용액의 스펙트럼 안정 조건이다.즉, 이 조건이 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega$ $\}$의 특정 값에서 충족되면 이 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$을(를) 가진 단독 파형의 선형화는 오른쪽 반면에 스펙트럼이 없다$$.

이 결과는 블라디미르 자카로프의 앞선 작품에^[5] 바탕을 두고 있다.

일반화

이 결과는 U(1) 인바이어런스를 가진 해밀턴 시스템을 추상화하기 위해 일반화되었다.^[6]다소 일반적인 조건에서 Vakhitov-Kolokolov 안정성 기준은 스펙트럼 안정성은 물론 단독 파동의 궤도 안정성을 보장하는 것으로 나타났다.

안정조건은 형태상의 일반화된 Korteweg-de Vries 방정식에 대한 이동파 솔루션으로 일반화되었다^[7].

${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle x_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ +${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ x ${\displaystyle {}_{}}$ ($u$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\$

안정조건은 보다 일반적인 대칭군을 가진 해밀턴계에도 일반화되었다.^[8]

참고 항목

• 데릭의 정리
• 선형안정성
• 랴푸노프 안정성
• 비선형 슈뢰딩거 방정식
• 궤도안정성

참조