선형분리

수학에서 k의 $\Omega$ 일부 필드 확장자 $\Omega$ $\Oomega$ 에 있는 필드 k에 대한 알헤브라스 A, B는 다음과 같은 동등한 조건이 충족될 경우 k에 대해 선형적으로 분리된다고 한다.

$i)$ ( $(x,y)\mapsto xy$ , $(x,y)\mapsto xy$ )에 의해 $A\otimes _{k}B\to AB$ 유도된 $A\otimes _{k}B\to AB$ A $A\otimes _{k}B\to AB$ B $A\otimes _{k}B\to AB$ → $A\otimes _{k}B\to AB$ ${\$ $displaystyle$ $A\otimes _{$ $k}$ $B\$ $to AB$ $}$ 는 주입식이다 $(x,y)\mapsto xy$ $.$
(ii) A의 모든 k-basis는 B에 대해 선형적으로 독립된 상태를 유지한다.
(iii) $u_{i},v_{j}$ $u_{i},v_{j}$ , v $u_{i},v_{j}$ ${\$ 이(가) A, B에 대한 k-bases인 경우 $u_{i},v_{j}$ , $u_{i}v_{j}$ v v $u_{i}v_{j}$ {\ $displaystyle u_{i}v_{j}}}}$ 제품이 k에 대해 선형 독립적이다 $u_{i}v_{j}$ .

$\Omega$ $\Oomega$ 의 모든 하위 게이지가 도메인이기 $\Omega$ 때문에 (i) $A\otimes _{k}B$ $A\otimes _{k}B$ $A\otimes _{k}B$ $A\otimes _{k}B$ $A\otimes _{k}B$ 는 도메인(특히 감소됨)임을 $A\otimes _{k}B$ 의미한다.반대로 A와 B가 필드이고 A 또는 B가 k의 대수적 확장자이고 $A\otimes _{k}B$ $A\otimes _{k}B$ $A\otimes _{k}B$ $A\otimes _{k}B$ ${\displaystyle$ A $\otimes _{k}B}$ 가 도메인이라면 $A\otimes _{k}B$ 그것은 필드이고 A와 B는 선형적으로 분리된다.그러나 $A\otimes _{k}B$ ⊗ $A\otimes _{k}B$ $A\otimes _{k}B$ $A\otimes _{k}B$ 가 도메인이지만 $A\otimes _{k}B$ A와 B가 선형적으로 분리되지 않는 예도 있다. 예를 들어 A = B = k(t)는 k에 대한 합리적 기능의 영역이다.

하나는 다음과 같다: A, B는 $A,$ $B$ $A,B$ 에 $\Omega$ $A,B$ 의해 생성된 $\Omega$ $\Oomega$ 의 하위 필드가 k. (cf)에 대해 선형적으로 분리되는 경우에만 k에 대해 선형적으로 분리된다.필드의 텐서 제품)

A, B가 k에 대해 선형적으로 분리된다고 가정하자. $A'\subset A$ $A'\subset A$ $A'\subset A$ $A'\subset A$ {\ $displaystyle A'\subset$ A $A'\subset A$ $B'\subset B$ $B'\subset B$ ′ B $B'\subset B$ 이 $B'\subset B$ (가) 하위골격이라면 $A$ $'$ ${\$ A $'}$ 및 B $'$ ${\$ 은 $A'$ k에 대해 선형적으로 분리된다 $B'$ .반대로, 알헤브라스 A, B의 미세하게 생성된 하위 알헤브라가 선형적으로 분리된 경우, A, B는 선형적으로 분리된다(조건은 유한한 원소 집합만을 포함하기 때문이다).