필드의 텐서 제품

수학에서 두 분야의 텐서 산물은 공통의 하위 분야를 넘어 알제브라로서 텐서 산물이다.명시적으로 하위 필드가 지정되지 않은 경우, 두 필드의 특성이 동일해야 하며 공통 하위 필드가 상위 하위 필드여야 한다.

두 필드의 텐서 제품은 때로는 밭이며, 종종 밭의 직접적인 산물이다. 어떤 경우에는 0이 아닌 영점 원소를 포함할 수 있다.

두 필드의 텐서 제품은 하나의 구조로 두 필드를 공통 확장 필드에 삽입하는 다른 방법을 표현한다.

장편합성

첫째, 분야 구성의 개념을 규정한다.이 구조는 현장 이론에서 자주 발생한다.이 합성물의 이면에 있는 아이디어는 다른 두 개의 분야를 포함하는 가장 작은 분야를 만드는 것이다.합성을 정식으로 정의하기 위해서는 먼저 밭의 탑을 지정해야 한다.k를 필드로 하고 L과 K를 k의 두 확장자로 한다.그 합성물은 K로 표시되어 있다.L은 $K.L=k(K\cup L)$ $K.L=k(K\cup L)$ = $K.L=k(K\cup L)$ ( $K.L=k(K\cup L)$ $K.L=k(K\cup L)$ L $){\displaystyle K$ 로 정의된다 $.$ 오른쪽이 K와 L에 의해 생성된 확장을 나타내는 $L$ L $)}$ 이는 K와 L을 모두 포함하는 일부 필드를 가정한다는 점에 유의하십시오.주변 필드를 식별하기 쉬운 상황에서 시작하거나(예를 들어 K와 L이 모두 복잡한 숫자의 하위 필드인 경우), K와 L(이형성 사본으로)을 충분히 큰 필드에 둘 다 배치할 수 있는 결과를 증명한다.

많은 경우에 K를 식별할 수 있다.L은 벡터 공간 텐서 제품으로 K와 L의 교차점인 필드 N을 인수한다.예를 들어, 한 필드가 22를 합리적 $\mathbb {Q}$ Q ${\$ 에 결합하여 $\mathbb {Q}$ K를 얻고, 33을 L을 얻는다면, 필드 M이 K로 얻은 것은 사실이다.L 복잡한 $\mathbb {C}$ C $\mathbb {C}$ {\ $displaystyle \mathb {C} }$ 안에 (이형성까지) 있음 $\mathbb {C}$

K\otimes _{\mathb {Q} }L

$\mathbb {Q}$ ${\$ 에 대한 벡터 공간으로서 $\mathbb {Q}$ (이러한 유형의 결과는 일반적으로 대수적 수 이론의 래미화 이론을 사용하여 확인할 수 있다.

M의 하위 필드 K와 L은 다음과 같은 방식으로 자연 N-선형 지도가 있을 때 선형적으로 분리된다(하위 필드 N에 걸쳐).

K\otimes _{N}L

K.^[1]L은 주입식이야자연적으로 충분히 이것이 항상 그렇지는 않다. 예를 들어 K = L. 도수가 유한할 때, 주입성은 여기서 생물성과 동등하다.따라서 K와 L이 N, $K.L\cong K\otimes _{N}L$ $K.L\cong K\otimes _{N}L$ $K.L\cong K\otimes _{N}L$ $K.L\cong K\otimes _{N}L$ $K.L\cong K\otimes _{N}L$ $K.L\cong K\otimes _{N}L$ $K.L\cong K\otimes _{N}L$ ${\displaystyle K$ 에 대해 선형적으로 분리된 경우 $.$ $앞서$ 언급한 이성애자들의 확장과 마찬가지로 L $\cong K\otimes _{N}L$

사이클로토믹장 이론에서 중요한 경우는 통합의 n번째 뿌리의 경우, 복합적인 숫자 n의 경우, n을 나누는 주권을 위한 통합의 p^k th 뿌리에 의해 생성되는 하위 필드가 구별되는 p에 대해 선형적으로 분리된다는 것이다.^[2]

링으로 텐서 제품

To get a general theory, one needs to consider a ring structure on $K\otimes _{N}L$ . One can define the product $(a\otimes b)(c\otimes d)$ to be $ac\otimes bd$ (see Tensor product of algebras).이 공식은 각 변수에서 N에 $K\otimes _{N}L$ 다중행렬이다. 따라서 텐서 제품에 링 $K\otimes _{N}L$ 를 $K\otimes _{N}L$ 하여 K $K\otimes _{N}L$ { $K\otimes _{N}L$ N L {\ $displaystyle$ K $\otimes _$ {N $}L$ }을 필드의 텐서 제품이라 불리는 역행 N-algebra로 만든다 $K\otimes _{N}L$ .

링 구조물의 해석

링의 구조는 N의 어떤 필드 확장에 K와 L을 모두 삽입하는 모든 방법을 고려하여 분석할 수 있다. 여기서의 구조는 공통 하위 필드 N을 가정하지만, K와 L이 일부 필드 M의 하위 필드(즉 복합 필드 구축에 대한 주의사항 검토)라고 전제하지는 않는다.그러한 필드 M에 K와 L을 내장할 때마다 K의 α와 L의 β를 사용한다고 말할 $K\otimes _{N}L$ 마다 K $K\otimes _{N}L$ n $K\otimes _{N}L$ L $K\otimes _{N}L$ {\ $displaystyle$ K\ $otimes _{N}L}$ 에서 정의된 M으로 $K\otimes _{N}L$ 링 동형상 γ이 발생한다.

[\displaystyle \cHB(a\otimes b)=(\time (a)\otime 1)\star(1\otime \cHB)]=\cHB(a)\cHB(b)}

γ의 커널은 텐서 제품의 주요한 이상이 될 것이며, 반대로 텐서 제품의 어떤 프라임 이상은 N-algebras의 동형성을 (분수 영역 안)에 부여할 것이며, 따라서 N의 확장으로서 어떤 분야에서 K와 L의 내장도 제공한다.

이러한 방법으로 $K\otimes _{N}L$ $K\otimes _{N}L$ $K\otimes _{N}L$ L ${\displaystyle K\otimes _{N}L$ : 원칙적으로 0이 아닌 nilradical(모든 주요 이상에 대한 절편)이 있을 수 있으며, 그 지수를 취하면 다양한 M에 K와 L이 포함된 모든 제품을 N에 걸쳐 말할 수 있다.

K와 L이 N의 유한 확장인 경우, 텐서 제품은 N-알제브라(따라서 아르티니아 반지)로서 유한 치수이기 때문에 상황은 특히 간단하다.그렇다면 R이 급진적이라면 미세하게 많은 분야의 직접적인 산물로 ( $⊗$ N $(K\otimes _{N}L)/R$ ) $(K\otimes _{N}L)/R$ / $(K\otimes _{N}L)/R$ R ${\displaystyle$ (K $\otimes$ _{N $}L)/$ R}을 $($ 를) 가지고 있다고 말할 수 있다.그러한 각 필드는 어떤 확장명 M에서 K와 L에 대한 (본질적으로 구별되는) 필드 임베딩의 동등성 등급을 대표한다.

예

예를 들어 $\mathbb {Q}$ ${\$ { $Q}$ 을(를) 통해 2의 큐브 루트로 K가 생성되면 $\mathbb {Q}$ K $K\otimes _{\mathbb {Q} }K$ Q $K\otimes _{\mathbb {Q} }K$ ${\displaystyle K\otimes _{\mathb {Q}}}K}은($ 의) K의 곱이며, 분할 $K\otimes _{\mathbb {Q} }K$ 필드는 다음과 같다.

X³ − 2,

$\mathbb {Q}$ {\ $displaystyle$ $\$ $mathb$ { $Q$ $}}$ 에 대한 6 도. 이를 $\mathbb {Q}$ 할 $\mathbb {Q}$ 수 $있는$ 것은 Q {\ $displaystyle \$ mathb {Q $}}$ 에 대한 텐서 제품의 치수를 9로 $\mathbb {Q}$ 계산하고, 분할 필드에 K 복사본이 2개(사실상 3개) 포함되어 있으며, 그 중 2개를 합한 것이다 $\mathbb {Q}$ 이는 이 경우 R = {0}을(를) 우발적으로 보여준다.

0이 아닌 영점(nilpotent)으로 이어지는 예:

P(X) = X^p − T

K와 함께 p 원소가 있는 유한장 위에 불확정 T의 합리적 함수 필드(Separalable polyomial: 여기서 포인트는 P가 분리할 수 없다는 것이다)를 참조한다.L이 필드 익스텐션 K(T^1/p)(P의 분할 필드)라면 L/K는 순수하게 분리할 수 없는 필드 익스텐션의 예다. $L\otimes _{K}L$ $L\otimes _{K}L$ $L\otimes _{K}L$ $L\otimes _{K}L$ $L\otimes _{K}L$ 에서 요소 $L\otimes _{K}L$

T^{1/p}\otimes 1-1\otimes T^{1/p}

nilpotent: 그것의 p번째 힘을 취함으로써 K-선형을 사용함으로써 0을 얻는다.

실제와 복잡한 임베딩의 고전적 이론

대수적 수 이론에서, 분야의 텐서 생산물은 (적극적으로, 종종) 기본적인 도구다.If K is an extension of $\mathbb {Q}$ of finite degree n, $K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R}$ is always a product of fields isomorphic to $\mathbb {R}$ or $\mathbb {C}$ . The totally real number fields are those for which only real 필드가 발생함: 일반적으로 r real₁ 및 r₂ 복합 필드가 존재하며, 치수를 계산하여 보는 바와₁ 같이 r₂ + 2r = n이다.현장 요인은 실제 임베딩과 1 대 1로 일치하며, 고전 문헌에 기술된 복합 결합 임베딩 쌍이다.

이 아이디어는 $K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p},$ ⊗ Q $K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p},$ , $K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p},$ {\ $displaystyle K\otimes _{\mathb {Q}}\mathb$ { $Q} _{p}$ 에도 적용된다 $K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p},$ . $\mathbb {Q}$ 서 Q $\mathbb {Q}$ {\ $displaysty \mathb$ { $Q}}$ 은 $\mathbb {Q}$ _p p-adic 번호의 영역이다. $\mathbb {Q}$ 은 Q ${\$ $displaystyle \mathb {Q}$ 의 p-adic 메트릭 확장에 대한 K의 보완과 1–1 일치하여 $\mathbb {Q}$ ${\$ $displaystyle \mathb {Q}$ 의 $\mathbb {Q}$ 유한 확장 제품이다 $\mathbb {Q}$

갈루아 이론의 결과

이것은 일반적인 그림을 보여주며, 실제로 갈루아 이론을 발전시키는 방법(그로텐디크의 갈루아 이론에 이용되는 선과 함께)을 제시한다.분리 가능한 확장의 경우 급진적인 것은 항상 {0}이며, 따라서 갈루아 이론의 경우는 분야별 생산물의 반이행이다.

참고 항목

스칼라 확장—필드 확장과 그 필드 위의 벡터 공간의 텐서 제품

메모들

^ "Linearly-disjoint extensions", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
^ "Cyclotomic field", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

참조

"Compositum of field extensions", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Kempf, George R. (2012) [1995]. "9.2 Decomposition of Tensor Products of Fields". Algebraic Structures. Springer. pp. 85–87. ISBN 978-3-322-80278-1.
Milne, J.S. (18 March 2017). Algebraic Number Theory (PDF). p. 17. 3.07.
Stein, William (2004). "A Brief Introduction to Classical and Adelic Algebraic Number Theory" (PDF). pp. 140–2.
Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1975) [1958]. Commutative algebra I. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 28. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90089-6. MR 0090581.

외부 링크

선형 분리 정의의 MathOverflow 스레드

[1] "Linearly-disjoint extensions", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[2] "Cyclotomic field", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1]

[2]

Search