긴 수학적 증거 목록

List of long mathematical proofs

이것은 비정상적으로 긴 수학적 증거들의 목록이다.그러한 증명들은 종종 계산적 증명 방법을 사용하며, 측량할 수 없는 것으로 간주될 수 있다.

2011년 현재 발행된 저널 페이지 수로 측정한 가장 긴 수학적 증거는 1만 페이지가 훨씬 넘는 유한 단순 집단의 분류다.그들이 의존하고 있는 컴퓨터 계산의 세부사항이 전면적으로 발표되었다면 이보다 훨씬 길어질 몇 가지 증거가 있다.

긴 교정쇄

유난히 긴 교정쇄의 길이는 시간이 지날수록 늘어났다.대략적으로 1900년 100쪽, 1950년 200쪽, 2000년 500쪽은 증거물로 이례적으로 길다.

  • 1799년 아벨-루피니 정리(Abel-Ruffini)는 파올로 루피니에 의해 거의 증명되었지만, 500페이지에 이르는 그의 증거는 대부분 무시되었고, 후에 1824년에 닐스 헨리크 아벨은 단 6페이지가 필요한 증거를 발표했다.
  • 1890 킬링이 예외적인 리알헤브라를 발견하는 등 단순 콤플렉스 리알헤브라를 분류한 논문은 4개 신문에 180쪽이나 실렸다.
  • 1894년 요한 구스타프 헤르메스의 65537면 다각형 제작은 200쪽이 넘었다.
  • 1905년 이매뉴얼 라스커(Emanuel Lasker)의 라스커-노에더(Lasker-Noeter) 정리에 대한 원본 증명서는 98쪽이 걸렸지만, 이후 단순화되었다: 현대적인 증명은 1쪽도 안 된다.
  • 1963년 페이트와 톰슨에 의한 오드 순서 정리는 255쪽 분량으로, 그 당시는 집단 이론상 장지로 여겨졌던 것의 10배가 넘는 분량이었다.
  • 1964년 특이점 해결.히로나카 씨의 원본 증명서는 216쪽 분량으로, 그 이후 10~20쪽 분량으로 상당히 단순화되었다.
  • 1966년 아비한카르가 특성 6보다 큰 3배 이상 특이점을 해결한다는 증명서는 여러 논문에서 약 500페이지를 다루었다.2009년 커트코스키는 이를 약 40페이지로 단순화했다.
  • 1966년 리 그룹의 이산 시리즈 표현.Harish-Chandra의 이것들의 작성에는 총 500페이지에 달하는 긴 일련의 논문들이 포함되어 있었다.반이행 집단을 위한 Planchrel 정리에 대한 그의 후기 연구는 이것들에 150페이지를 더 추가했다.
  • 1968년 노비코프-아디안 검증은 한정된 지수를 가지고 미세하게 생성된 무한 그룹에 대한 번사이드의 문제를 부정적으로 해결했다.3부작의 오리지널 논문은 300쪽이 넘는다.(이후 브릿튼은 문제를 해결하려고 282쪽짜리 논문을 발표했지만 그의 논문은 심각한 간극을 담고 있었다.
  • 1960-1970년 Fonditions de la Géometrie Algébrique, Eléments de Gémetrie Algébrique 및 Séminaire de Gétrie Algébriek.대수 기하학의 기초에 관한 그로텐디크의 연구는 수천 페이지에 이른다.비록 이것이 하나의 정리에 대한 증거는 아니지만, 그 안에 몇 가지 이론이 있는데, 그 증명들은 수백 페이지의 이전 페이지에 의존한다.[dubious – discuss]
  • 1974년 N-그룹 정리.톰슨의 N그룹 분류는 총 400페이지에 달하는 6편의 논문을 사용했지만, 총 700페이지 이상에 이르는 홀수 순서 정리 등의 초기 결과도 사용했다.
  • 1974년 라마누잔 추측과 웨일 추측.이러한 추측을 증명하는 Deligne의 최종 논문은 약 30페이지의 길이에 불과했지만, Deligne가 약 2000페이지의 길이로 추정했던 대수 기하학 및 에텔 코호몰로지에서의 배경 결과에 의존했다.
  • 1974년 4색 정리.이에 대한 아펠과 하켄의 증거는 139페이지가 걸렸고, 또한 긴 컴퓨터 계산에 의존했다.
  • 1974년 고렌슈타인-하라다 정리는 단면 2-등급의 유한 집단을 최대 4페이지로 분류한 것이 464페이지에 달했다.
  • 1976년 아이젠슈타인 시리즈.아이젠슈타인 시리즈의 기능 방정식에 대한 랭글랜드의 증명서는 337쪽이었다.
  • 1983년 삼차법 정리.고렌슈타인과 라이온스의 최소 4등급 증명서는 731쪽, 3등급 증명서는 159쪽, 총 890쪽에 이른다.
  • 1983년 셀버그 미량 공식.셀베르크 미량식의 일반적인 형태에 대한 헤할의 증명서는 총 길이 1322페이지의 2권으로 구성되어 있었다.
  • 아서-셀버그 추적 공식이 책의 다양한 버전에 대한 아더의 증명서는 수백 페이지에 걸쳐 많은 신문에 퍼졌다.
  • 2000년 알mgren의 규칙성 정리.알그렌의 증거는 955페이지나 되었다.
  • 기능장 위에 있는 일반 선형 집단에 대한 2000 Lafforgue의 랭글랜드 추측 정리.이에 대한 로랑 라포르게의 증거는 약 600페이지로, 배경 결과의 많은 페이지를 세지 않았다.
  • 2003년 푸앵카레 추측, 기하학적 정리, 기하학적 추측.Perelman의 푸앵카레 추측과 지오메트리즈 추측에 대한 원본 증거는 장황하지 않고 오히려 몽타주였다.몇 명의 다른 수학자들이 세부 사항을 적은 증거를 발표했는데, 그것은 수백 페이지에 달한다.
  • 2004년 퀘이신 그룹.아스치바허와 스미스의 단순 퀘이신 집단의 분류는 1221페이지로, 지금까지 쓰여진 단일 논문 중 가장 긴 것 중의 하나이다.
  • 2004년 유한단순군 분류.이에 대한 증거는 수백 개의 저널 기사에 걸쳐 퍼져 있어서 전체 길이를 추정하기 힘들며, 대략 1만에서 2만 페이지 정도일 것이다.
  • 2004년 로버트슨-시모어 정리.그 증명서는 약 500페이지가 20개의 종이 위에 펼쳐져 있다.
  • 2005년 케플러 추측.이것에 대한 헤일스의 증거는 수 기가바이트의 컴퓨터 계산과 함께 수백 페이지의 출판된 주장들을 포함하고 있다.
  • 마리아 추드노브스키, 닐 로버트슨, 폴 시모어, 로빈 토마스의 강력한 완벽한 그래프 정리.수학 연보 180쪽.

긴 컴퓨터 계산

오랜 컴퓨터 계산으로 확인한 수학적인 이론들이 많다.만약 이것들이 증거로 쓰여진다면 많은 것들이 위의 대부분의 증거들보다 훨씬 더 길어질 것이다.4색 정리나 케플러 추측과 같은 위의 여러 증거들이 수학적 논쟁의 많은 페이지뿐만 아니라 긴 컴퓨터 계산을 사용하므로 컴퓨터 계산과 증거 사이에는 사실 명확한 구분이 없다.이 절의 컴퓨터 계산의 경우, 수학적 주장은 몇 페이지 길이에 불과하며, 그 길이는 길지만 일상적인 계산에 기인 것이다.그러한 이론의 대표적인 예는 다음과 같다.

  • 라이온스 그룹과 같이 산발적으로 단순한 집단의 존재에 대한 몇 가지 증거는 원래 큰 행렬이나 수십억 개의 기호에 순열된 컴퓨터 계산을 사용했다.아기 몬스터 그룹과 같은 대부분의 경우, 컴퓨터 교정쇄는 나중에 컴퓨터 계산을 피하는 더 짧은 교정쇄로 대체되었다.마찬가지로, 더 큰 산발적인 집단의 최대 하위 집단의 계산은 많은 컴퓨터 계산을 사용한다.
  • 2004년 리만 제타 함수의 처음 10개13 0에 대한 리만 가설 검증.
  • 2007년 체커스가 추첨이라는 검증.
  • 2008년 1000만자리 안팎의 다양한 메르센 숫자가 주효했다는 방증.
  • π의 큰 자리수의 계산.
  • 2010년 루빅스 큐브는 20개의 동작으로 해결할 수 있다는 것을 보여준다.
  • 2012년 스도쿠에게 최소한 17개의 단서가 필요하다는 것을 보여준다.
  • 2013 Ternary Goldbach 추측:5보다 큰 홀수는 3자리의 합으로 표현할 수 있다.
  • 2014년 특정 사례 C=2에 대한 Erd ±s 불일치 추정의 증명: 길이 1161의 모든 ±1 시퀀스는 최소 3의 불일치를 가지며, SAT 해결자에 의해 생성된 원본 증거는 13기가바이트의 크기를 가졌고, 이후 850메가바이트로 축소되었다.
  • 2016년 부울 피타고라스 3배 문제 해결에는 200테라바이트의 입증 자료가 필요했다.[1]
  • 부울 피타고라스 3배 문제의 해결책인 2017년마린 훌레는 5번째 슈르의 숫자가 161이라는 2페타바이트의 증거를 발표했다 공동.[2]

수학적 논리학의 긴 증거

주요기사 : 괴델의 스피드 업 정리

커트 괴델은 그 시스템에서 증명할 수 있지만 터무니없이 짧은 증거가 긴 공식 시스템에서 명시적인 진술의 예를 찾는 방법을 보여주었다.예를 들어 다음과 같은 문구를 사용한다.

"이 진술은 구골플렉스 기호 이하로 페아노 산술에서 증명될 수 없다."

페아노 산술에서는 증명할 수 있지만 가장 짧은 증명에는 적어도 구골플렉스 기호가 있다.보다 강력한 시스템에서는 짧은 증거를 가지고 있다:사실 페아노 산수가 일치한다는 진술과 함께 페아노 산술에서는 쉽게 증명할 수 있다(괴델의 불완전성 정리로는 페아노 산술에서는 증명할 수 없다).

이 주장에서 페아노 산수는 더 강력하고 일관된 시스템으로 대체될 수 있으며, 구골플렉스는 시스템에서 간결하게 설명할 수 있는 숫자로 대체될 수 있다.

하비 프리드먼은 이러한 현상의 몇 가지 명백한 자연적인 예를 발견하여, 페아노 산술과 최단 증거들이 터무니없이 긴 다른 형식 체계에서 명시적인 진술을 했다(Smorysmski 1982).예를 들어, 문장이

"만약 T가k k+10 정점을 갖는 뿌리 나무1 T, T2, ..., T의n 순서가 있다면, 어떤 나무는 후대에 동형적으로 내장될 수 있다."

페아노 산술에서는 증명할 수 있지만, 가장 짧은 교정쇄는 길이가 적어도 A(1000)이고, 여기서 A(0)=1과 A(n+1)=2이다A(n).그 진술은 크러스칼의 정리를 보여주는 특수한 사례로, 산술 2차순으로 짧은 증거를 가지고 있다.

참고 항목

참조

  1. ^ Lamb, Evelyn (26 May 2016). "Two-hundred-terabyte maths proof is largest ever: A computer cracks the Boolean Pythagorean triples problem — but is it really maths?". Nature.
  2. ^ Heule, Marijn J. H. (2017). "Schur Number Five". arXiv:1711.08076.