로컬 컴팩트 그룹

Locally compact group

수학에서 국소 콤팩트 그룹은 기초 토폴로지가 국소 콤팩트하고 하우스도르프가 있는 위상학 그룹 G이다. 수학 전체에서 발생하는 집단의 많은 예들이 국소적으로 압축되어 있고 그러한 집단은 하르 측정이라고 불리는 자연적인 척도를 가지고 있기 때문에 국소적인 집단이 중요하다. 이를 통해 G에서 Borel 측정 가능한 함수의 통합을 정의하여 Fourier 변환 및 공간과 같은 표준 분석 개념을 일반화할 수 있다.

유한집단의 대표이론의 많은 결과는 집단을 평균화함으로써 증명된다. 콤팩트 그룹의 경우, 이러한 증명 수정은 정규화된 Haar 적분 평균을 산출하여 유사한 결과를 산출한다. 일반적으로 국지적으로 콤팩트한 환경에서는 그러한 기법이 유지될 필요가 없다. 결과론은 조화 분석의 중심 부분이다. 지역적으로 콤팩트한 아벨리아 집단의 대표이론은 폰트랴긴 이중성에 의해 설명된다.

예제 및 counterexample

  • 모든 컴팩트 그룹은 로컬 컴팩트하다.
    • 특히 곱셈에 따른 단위 계수의 복잡한 숫자의 원 그룹 T는 콤팩트하며, 따라서 국소적으로 콤팩트하다. 서클 그룹은 역사적으로 국소적 콤팩트성의 속성을 가진 최초의 비경쟁적 집단으로서, 그래서 여기에 제시된 보다 일반적인 이론에 대한 탐구의 동기가 되었다.
  • 별개의 그룹은 국소적으로 압축된다. 따라서 어떤 집단이든 별개의 위상이 주어질 수 있기 때문에 국소적 소형 집단의 이론은 일반 집단의 이론을 포괄한다.
  • 지역적으로 유클리드인 거짓말 그룹은 모두 지역적으로 밀집된 그룹이다.
  • Hausdorff 위상 벡터 공간은 한정된 차원일 경우에만 국소적으로 압축된다.
  • 이성적 숫자 Q의 첨가물 그룹은 실제 숫자의 하위 집합으로 상대적 위상이 주어진 경우 국소적으로 압축되지 않는다. 별개의 위상이 주어진 경우 국소적으로 압축된다.
  • p-adic 번호 Q의p 첨가제 그룹은 소수 p에 대해 국소적으로 압축된다.

특성.

동질성에 의해 위상학적 그룹에 대한 기초 공간의 국소적 압축성은 정체성에서만 확인될 필요가 있다. 즉, 그룹 G는 아이덴티티 요소가 콤팩트한 이웃을 가지고 있는 경우에만 지역적으로 콤팩트한 공간이다. 그것은 모든 지점에 밀집된 동네의 지역 기반이 있다는 것을 보여준다.

위상학 집단은 사소한 원소 부분군이 닫힌 경우에만 하우스도르프다.

지역적으로 밀집된 그룹의 모든 폐쇄된 하위 그룹은 국소적으로 압축된다. (폐쇄 조건은 이성 집단에서 증명하는 바와 같이 필요하다.) 반대로 하우스도르프 그룹의 모든 국소 소형 하위 그룹은 폐쇄된다. 지역적으로 콤팩트한 집단의 모든 지수는 지역적으로 콤팩트하다. 지역적으로 콤팩트한 그룹 계열의 생산물은 한정된 수의 요소를 제외한 모든 요소가 실제로 콤팩트한 경우에만 국소적으로 콤팩트하다.

위상학적 집단은 위상학적 공간으로서 항상 완전히 규칙적이다. 지역적으로 콤팩트한 집단은 정상이라는 특성이 더 강하다.

두 번째로 카운트할 수 있는 모든 로컬 컴팩트 그룹은 위상학적 그룹(즉, 토폴로지와 호환되는 좌변량 메트릭을 제공할 수 있음)으로 메트리징할 수 있고 완전하다.

폴란드 그룹 G에서, Haar null 집합의 σ-algebra는 G가 국소적으로 압축된 경우에만 카운트 가능한 체인 조건을 만족한다.[1]

지역 콤팩트한 아벨 그룹

국소 콤팩트 아벨리안(LCA) 그룹 A에 대해 연속 동형상 그룹

홈(A1, S)

A에서 서클 그룹까지 다시 로컬로 압축된다. Pontryagin 이중성은 이 functor가 범주의 동등성을 유도한다고 주장한다.

LCAop → LCA.

이 펑터는 위상학 그룹의 몇 가지 속성을 교환한다. 예를 들어, 유한집단은 유한집단에 대응하고, 소형집단은 이산집단에 대응하며, 측정가능한 집단은 계산가능한 집단의 조합에 대응한다(그리고 그 반대도 모든 문장에서).

LCA 그룹은 수용 가능한 단형체가 폐쇄된 부분군이고 허용 가능한 인식은 위상학적 몫 지도로 정확한 범주를 형성한다. 따라서 이 범주의 K-이론 스펙트럼을 고려할 수 있다. 클로스엔(2017년)은 호모토피 섬유 염기서열이 있다는 점에서 Z와 R의 대수 K이론, 정수와 실수의 차이를 각각 측정한다는 것을 보여주었다.

K(Z) → K(R) → K(LCA).

참고 항목

참조

  1. ^ Slawomir Solecki(1996) Haar Null Sets on Haar Mathematicae 149
  • Folland, Gerald B. (1995), A Course in Abstract Harmonic Analysis, CRC Press, ISBN 978-0-8493-8490-5.
  • Clausen, Dustin (2017), A K-theoretic approach to Artin maps, arXiv:1703.07842, Bibcode:2017arXiv170307842C