타이코노프 공간

분리 공리 위상학적으로
콜모고로프 분류
T0	(콜모고로프)
T1	(프레셰트)
T2	(하우스도르프)
T2½	(우리존)
완전2 T	(완전히 하우스도르프)
T3	(정규 하우스도르프)
T3½	(Tychonoff)
T4	(정상적인 하우스도르프)
T5	(일반적인) 하우스도르프)
T6	(일반적인) 하우스도르프)
역사

수학의 위상 및 관련 분야에서는 타이코노프 공간과 완전히 규칙적인 공간은 위상학적 공간의 일종이다. 이 조건들은 분리 공리의 예들이다.

Tychonoff spaces are named after Andrey Nikolayevich Tychonoff, whose Russian name (Тихонов) is variously rendered as "Tychonov", "Tikhonov", "Tihonov", "Tichonov" etc, who introduced them in 1930 in order to avoid the pathological situation of Hausdorff spaces whose only continuous real-valued functions are constant maps.^[1]

정의들

위상학적 공간 X ${\displaystyle X}$은(경계된) 연속적 실질 가치 함수를 통해 폐쇄된 세트에서 점을 분리할 수 있는 경우 완전히 정규 $공간$이라고 불린다$$. In technical terms this means: for any closed set ${\displaystyle A\subseteq X}$ and any point ${\displaystyle x\in X\setminus A,}$ there exists a real-valued continuous function ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ such that ${\displaystyle f(x)=1}$ and ${\disp$$레이스타일 f\vert _{A}=0.}$ $$(동일하게는 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ $0{\displaystyle \mathrm{}}$$}$ 및 1$$ ${\displaystyle 1}$ 대신 두 값을 선택할 수 있으며$$, f ${\displaystyle$ f$}$이($가$) 경계 함수가 되도록 요구하기도 한다.)

위상학적 공간은 타이코노프 공간(대안: 완전히 규칙적인 하우스도르프 공간이라면_3½ T 공간, 또는 T_π 공간, 또는 완전히 T 공간₃)이다.

비고. 완전히 규칙적인 공간과 타이코노프 공간은 콜모고로프 동등성의 개념을 통해 연관되어 있다. 위상학적 공간은 Tychonoff이다. 만약 그것이 완전히 규칙적이거나 T가₀ 아니라면 말이다. 반면 공간은 콜모고로프 지수가 타이코노프일 경우에만 완전히 규칙적이다.

명명 규칙

수학 문헌 전반에 걸쳐 "완전 정규"와 "T"-Axioms"라는 용어에 관해서는 서로 다른 관례가 적용된다. 이 절의 정의는 전형적인 현대적 용법에 있다. 그러나 일부 저자들은 두 종류의 용어의 의미를 바꾸거나 모든 용어를 서로 바꾸어 사용한다. 위키피디아에서는 "완전 정규"와 "Tychonoff"라는 용어가 자유롭게 사용되며 일반적으로 "T" 공지는 피한다. 따라서 표준 문헌에서는 저자가 어떤 정의를 사용하고 있는지 알아내기 위해 주의를 기울여야 한다. 이 문제에 대한 자세한 내용은 분리 공리의 기록을 참조하십시오.

예제 및 counterexample

수학적 분석에서 연구된 거의 모든 위상학적 공간은 타이코노프(Tychonoff), 혹은 적어도 완전히 규칙적이다. 예를 들어, 실제 라인은 표준 유클리드 위상하의 타이코노프(Tychonoff이다. 그 밖의 예는 다음과 같다.

• 모든 미터법 공간은 Tychonoff이다; 모든 가성 공간은 완전히 규칙적이다.
• 지역적으로 작은 모든 정규 공간은 완전히 규칙적이며, 따라서 지역적으로 작은 모든 하우스도르프 공간은 타이코노프다.
• 특히 모든 위상학적 다지관은 타이코노프다.
• 주문 토폴로지와 함께 완전히 주문된 모든 것은 Tychonoff이다.
• 모든 위상학 집단은 완전히 규칙적이다.
• 미터법 공간과 위상학 그룹 모두를 일반화하면 모든 균일한 공간은 완전히 규칙적이다. 정반대로 모든 완전히 규칙적인 공간은 균일할 수 있다는 것도 사실이다.
• 모든 CW 단지는 Tychonoff이다.
• 모든 정상적인 정규 공간은 완전히 규칙적이며, 모든 정상적인 하우스도르프 공간은 타이코노프(Tychonoff이다.
• 니에미츠키 비행기는 정상적이지 않은 타이코노프 공간의 예다.

특성.

보존

완전한 규칙성과 타이코노프 속성은 초기 토폴로지에 대해 잘 행동한다. 구체적으로는 임의의 초기 토폴로지를 취함으로써 완전한 정규성을 보존하고, 티코노프 속성은 포인트 분리 초기 토폴로지를 취함으로써 보존한다. 그 다음은 다음과 같다.

• 완전히 규칙적인 공간이나 타이코노프 공간의 모든 하위 공간은 동일한 속성을 가지고 있다.
• 비빈 제품 공간은 각 요소 공간이 완전히 정규적인 경우에만(존중적으로 Tychonoff) 완전히 정규적이다(존중적으로 Tychonoff).

모든 분리 공리와 마찬가지로 최종 토폴로지를 취함으로써 완전한 규칙성은 보존되지 않는다. 특히 완전히 규칙적인 공간의 시세는 규칙적일 필요가 없다. 타이코노프 공간의 인용구는 하우스도르프일 필요도 없다. 무어 비행기의 밀폐된 인용구들이 있는데, 이 인용구들은 백반샘플을 제공한다.

실제 값 연속 함수

위상학적 공간 X의 경우, C(X)는 X의 실제 값 연속함수 패밀리를 나타내고 C(X)는_b 경계된 실제 값 연속함수의 하위 집합이 되도록 한다.

완전히 규칙적인 공간은 그 위상이 C(X)나 C_b(X)에 의해 완전히 결정된다는 사실로 특징지어질 수 있다. 특히:

• 공간 X는 C(X) 또는 C_b(X)에 의해 유도된 초기 위상이 있는 경우에만 완전히 정규적이다.
• 공간 X는 모든 닫힌 집합이 X에서 0 집합의 교차점(즉, 0 집합이 X의 닫힌 집합에 대한 기초를 형성함)으로 기록될 수 있는 경우에만 완전히 규칙적이다.
• X의 cozero 집합이 X의 위상에 대한 기초를 형성하는 경우에만 공간 X는 완전히 정규적이다.

임의의 위상학적 공간(X, τ)을 주어진다면, 완전히 정규적인 공간을 (X, τ)와 연관시키는 보편적인 방법이 있다. C_τ(X)에 의해 유도된 X의 초기 위상 또는 동등하게 (X, τ)에 cozero 집합의 기초로 생성된 위상이 되도록 한다. 그러면 ρ은 X에서 τ보다 더 강한 완전 정규 토폴로지가 될 것이다. 이 구조는 모든 연속적인 기능이 있다는 점에서 보편적이다.

${\displaystyle f:(X,\tau )\to Y}$

완전히 규칙적인 공간에 Y는 계속 켜져 있을 것이다(X, ρ). 범주이론의 언어에서 (X, ))로 보내는 펑터는 포함 펑터 CReg → Top에 비례한다. 따라서 완전히 정규적인 공간 CReg의 범주는 위상학적 공간의 범주인 Top의 반사적인 하위 범주다. 콜모고로프 인용구를 취함으로써 타이코노프 공간의 하위 범주도 반사되는 것을 보게 된다.

링 C(X)와 C_b(X)는 일반적으로 완전히 규칙적인 공간 X에 대해서만 연구되도록 위 구조에서_τ C(X) = C_ρ(X)를 나타낼 수 있다.

리얼콤팩트 타이코노프 공간의 범주는 지도로서 링 동형식과 함께 링 C(X) (여기서 X는 리얼컴팩트)의 범주와 반등하다. 예를 들어 X가 (실제) 콤팩트할 때 C(X)에서 X를 재구성할 수 있다. 그러므로 이들 고리의 대수 이론은 집중적인 연구의 대상이다. 타이코노프 공간의 많은 특성들과 여전히 유사하지만, 실제 대수 기하학에도 적용 가능한 이 종류의 링의 방대한 일반화는 실제 닫힌 링의 등급이다.

임베딩스

타이코노프 공간은 정확히 콤팩트한 하우스도르프 공간에 내장될 수 있는 공간이다. 더 정확히 말하면, 모든 타이코노프 공간 X에 대해, X가 K의 하위 공간과 동형인 것처럼 콤팩트한 하우스도르프 공간 K가 존재한다.

사실 언제나 K를 타이코노프 큐브(즉, 단위 간격의 무한 생산물일 가능성이 있음)로 선택할 수 있다. 모든 타이코노프 큐브는 타이코노프의 정리의 결과로 콤팩트한 하우스도르프다. 콤팩트한 하우스도르프 공간의 모든 하위 공간은 타이코노프(Tychonoff)이기 때문에 다음과 같은 것이 있다.

위상학적 공간은 타이코노프 큐브에 삽입될 수 있는 경우에만 타이코노프다.

콤팩트화

특히 관심있는 것은 X의 이미지가 K에 밀집되어 있는 임베딩이다; 이것들은 X의 Hausdorff 콤팩트화라고 불린다. Tychonoff 스페이스 X를 컴팩트한 Hausdorff 스페이스 K에 내장하는 것을 감안하면 X의 이미지 클로징은 X의 콤팩트화다. 타이코노프가 완전히 규칙적인 공간을 정의한 1930년 같은 글에서 그는 모든 타이코노프 공간에는 하우스도르프 콤팩트화가 있음을 증명하기도 했다.^[2]

그러한 하우스도르프 콤팩트화 중에서 독특한 「가장 일반적인」인 스톤-체크 콤팩트화 βX가 있다. X에서 다른 콤팩트한 하우스도르프 공간 Y까지 연속 지도 f를 부여하면 f가 g와 j의 구성이라는 의미에서 βX에서 y까지 f를 확장하는 독특한 연속 지도 g가 있다는 것이 보편적 속성에 의해 특징지어진다.

균일 구조물

완전한 규칙성은 정확히 위상학적 공간에 균일한 구조의 존재에 필요한 조건이다. 즉, 모든 균일한 공간은 완전히 규칙적인 위상이 있고, 완전히 규칙적인 공간 X는 모두 균일할 수 있다. 위상학적 공간은 타이코노프일 경우에만 분리된 획일적 구조를 인정한다.

완전히 규칙적인 공간 X에 주어진 X에는 대개 X의 위상과 호환되는 둘 이상의 균일성이 있다. 그러나 X의 미세한 균일성이라고 불리는, 언제나 가장 훌륭한 호환의 균일성이 있을 것이다. X가 Tychonoff인 경우, βX가 균일한 공간 X의 완성이 되도록 균일한 구조를 선택할 수 있다.

인용구

참고 문헌 목록