로그 구조

대수 기하학에서 로그 구조는 반증 가능한 체계, 특히 로그 미분 형태와 관련된 호지-이론적 개념을 연구하기 위한 추상적인 맥락을 제공한다.이 사상은 모듈리 공간 이론, 변형 이론, 폰테인 p-adic Hodge 이론 등에 응용이 있다.

동기

그 아이디어는 부드럽지만 반드시 적절하지 않은 일부 대수적 다양성(또는 체계) U를 적절한 X에 내장한 다음 X에 특정 조각들을 살펴보는 것이다.The problem is that the subsheaf of ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ consisting of functions whose restriction to U is invertible is not a sheaf of rings (as adding two non-vanishing functions could provide one which vanishes), and we only get a sheaf of submonoids of ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$, mu이중으로X에 이 추가 구조를 기억하는 것은${\displaystyle }$이 ${\displaystyle \mathrm{추가}}$ 구조물과 X를 경계와의 다양한 구조($D{\displaystyle }$= ${\displaystyle X}$- ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle j$$\colon U\to$ $X})$에 비유하는 포함 $j$를 기억하는 것과 일치한다${\displaystyle .}$$$^[1]

정의

X를 계략으로 삼아라.A pre-log structure on X consists of a sheaf of (commutative) monoids ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ on X together with a homomorphism of monoids ${\displaystyle \alpha \colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {O}}_{X}}$, where ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ is considered as a monoid un함수의 곱셈

A pre-log structure ${\displaystyle ({\mathcal {M}},\alpha )}$ is a log structure if in addition ${\displaystyle \alpha }$ induces an isomorphism ${\displaystyle \alpha \colon \alpha ^{-1}({\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$.

(사전)로그 구조의 형태론은 관련 동형식과 함께 통근하는 모노이드 층의 동형성으로 구성된다. ${\displaystyle {OX}_{}}$ ${\$

로그 체계는 단순히 로그 구조를 제공하는 체계에 불과하다.

예

• 어떤 체계 X에 대해서도${\displaystyle }M{\displaystyle \mathcal{}}$ = ${\displaystyle O_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\${\$mathcal${M$}}={\mathcal{O}_{X}^{\time }}}},$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$을(를$$)로 하여 X의 사소한 로그 구조를 정의할 수 있다.
• 로그 구조의 정의에 대한 동기부여의 예는 반증 가능한 체계에서 온다.$X$를 하나의 체계로 하자, j${\displaystyle }$:${\displaystyle U}$ → ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$j\$colon$ U$\to$ X$}$에 X의 오픈 하위 체임 포함, $D{\displaystyle }$= ${\displaystyle X}$- ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle D=X-U}$은(는) 정규 교차점이 있는 디비저(divisor.Then there is a log structure associated to this situation, which is ${\displaystyle {\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}\cap j_{*}{\mathcal {O}}_{U}^{\times }}$, with ${\displaystyle \alpha }$ simply the inclusion morphism into ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$. This isD와 연관된 X에서 표준 로그 구조를 호출한다.
• R은 잔류물 필드 k와 분수 필드 K를 갖는 이산 평가 링이 되도록 한다.Then the canonical log structure on ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$ consists of the inclusion of ${\displaystyle R\setminus \{0\}}$ (and not ${\displaystyle R^{\times }}$!) inside ${\displaystyle R}$. This is in fact an instance of the previous construction, but taking ${\displaystyle j:\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}}$${\displaystyle c}$( K${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ S ${\displaystyle \mathrm{p}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$( ${\displaystyle R}$) ${\displaystyle j\colon \mathrm$ {$Spec}(K)\to \mathrm {Spec}(R)}$.
• 위와 같은 R을 사용하면 이전과 동일한 모노이드의 껍질을 취하되 대신 R의 최대 이상을 0으로 전송하여$$ $S{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{p}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{c}}$( ${\displaystyle R}$) ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$의 중공 로그 구조를 정의할 수도 있다.

적용들

로그 구조의 한 가지 적용은 모든 로그 체계에서 로그 양식을 정의할 수 있는 능력이다.이를 통해, 예를 들어, 계략에 대한 일반적인 정의와 유사한 로그 매끄러운 로그 개념과 로그 정확성을 정의할 수 있다.이것은 변형 이론의 연구를 가능하게 한다.

또한, 로그 구조는 경계와의 압축을 통해 모든 매끄러운 버라이어티 X에 혼합된 Hodge 구조를 정의하는 역할을 하며, 일반 교차점 D에 의해 정의된 표준 로그 구조로 X와 연관된 Hodge-De Rham 콤플렉스를 기록한다.^[2]

로그 객체는 또한 자연적으로 모듈리 공간의 경계에 있는 객체로 나타나며, 즉 퇴화로부터도 나타난다.

로그 기하학은 또한 로그 매끄러운 종류에 대한 좋은 행동을 가지고 있는 결정학적 코호몰로지(log-crystaline cohomology)의 아날로그인 로그-크리스탈린 코호몰로지(log-crystaline cohomology)의 정의를 가능하게 한다.이것은 갈루아 표현 이론, 특히 반증 가능한 갈루아 표현 이론에 적용된다.

참고 항목

• 로그 형식
• 로그 기하학
• 반론적 계획
• 로그-크리스탈린 코호몰로지

참조