p-adic Hodge 이론

수학에서 p-adic Hodge 이론은 p-adic Galois 표현에 대해 잔류 특성 p(Q_p 등)를 갖는 특성 0 국소^[1] 분야의 p-adic Galois 표현을 분류하고 연구하는 방법을 제공하는 이론이다. 이 이론은 장-피에르 세레와 존 테이트의 아벨 품종 테이트 모듈 연구와 호지-타이트 표현 개념에서 출발한다. Hodge-Tate의 표현은 Hodge 분해와 유사한 p-adic 코호몰로지 이론의 특정한 분해와 관련이 있으며, 따라서 p-adic Hodge 이론이라는 이름이 붙었다. 추가 개발은 다양한 종류의 에탄 코호몰로지로부터 발생하는 p-adic Galois 표현 특성에 의해 영감을 받았다. 장마르크 폰테인은 이 분야의 기본 개념들을 많이 소개했다.

p-adic 표현 일반 분류

K는 특성 p의 잔류 필드 k를 가진 지역장이 되도록 한다. 이 글에서 K(또는_K K의 절대 갈루아 그룹 G의 p-adic 표현)는 연속표현 ρ : G_K→ GL(V)이 될 것이며, 여기서 V는 Q에_p 걸친 유한차원 벡터 공간이다. The collection of all p-adic representations of K form an abelian category denoted ${\displaystyle \mathrm {Rep} _{\mathbf {Q} _{p}}(K)}$ in this article. p-adic Hodge theory provides subcollections of p-adic representations based on how nice they are, and also provides faithful functors to categories of linear al연구하기 쉬운 지브라질의 물체 기본 분류는 다음과 같다.^[2]

${\displaystyle \operatorname {Rep} _{\mathrm {cris}(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{st}(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{dR}}}}}HT}(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{\mathbf {Q} _{p}}(K)}$

여기서 각 컬렉션은 다음 항목에서 적절하게 포함된 전체 하위 카테고리. 순서에 따라, 이것들은 결정적 표현, 반증 가능한 표현, de Rham 표현, Hodge-Tate 표현, 그리고 모든 p-adic 표현들의 범주들이다. 또한 두 가지 다른 범주, 즉 잠재적으로 결정적으로 표현되는 표현 대표_pcris(K)와 잠재적으로 반증 가능한 표현 대표_pst(K)를 도입할 수 있다. 후자는 전자를_cris 엄밀하게 포함하며, 추가적으로, 일반적으로_pst 의원(K)은 의원(K_st)을 엄밀하게 포함하며, 의원_dR(K)에 포함되어 있다(K의 잔류장이 유한할 때 평등하게 p-adic monodromy 정리라고 하는 진술).

산술 기하학의 주기 링과 비교 이형성

폰테인이 도입한 p-adic Hodge 이론의 일반적인 전략은 G에_K 의한 작용과 어떤 선형 대수 구조를 모두 갖는 B_dR, B, B, B와_stcrisHT 같은 특정한 소위 시대 고리를^[3] 구성하고 이른바 다이우돈네 모듈을 고려하는 것이다.

${\displaystyle D_{B}(V)=(B\otimes _{\mathbf {Q} _{p}V)^{G_{K}}}}$

(여기서 B는 주기 링이고, V는 p-adic 표현이다) 더 이상 G-action을_K 가지고 있지 않지만 링 B로부터 물려받은 선형 대수 구조를 가지고 있다. 특히 이들은 $고정장{\displaystyle }$ E${\displaystyle }$:=${\displaystyle {B{}_{}}^{}}$ G ${\displaystyle {K_{}}^{}}${\$displaystyle$ E$:=B^{G_{K}}}}$에 걸친 벡터 공간으로서$,$^[4] 폰테인(Fontaine)이 도입한 B-admapproproposition의 형식주의에 들어맞는다. 앞에서 언급한 B_∗(HT, dR, st, cris)와 같은 기간 링의 경우 위에서 언급한 P-adic 표현 Rep_∗(K)의 범주는 B-admacific_∗ 표현 V의 범주로서, 이러한 P-adic 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle \dim_{E}D_{B_{\ast }}=\dim _{\mathbf {Q}{p}V}$

또는 동등하게 비교 형태론

${\displaystyle \alpha _{V:B_{\ast }\otimes _{E}D_{B_{\ast }}(V)\longrightarrow B_{\ast }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}V}$

이소모르프다.

이러한 형식주의(및 이름 기간 고리)는 산술과 복잡한 기하학에서 비교 이형성에 관한 몇 가지 결과와 추측에서 성장했다.

• 만약 X가 C에 대한 적절한 매끄러운 계획이라면, X에 대한 X의 대수학 de Rham cohomology와 X(C)의 단일한 코호몰로지 사이에는 고전적인 비교 이형성이 있다.

${\displaystyle H_{\mathbf {dR}{}^{}}(X/\mathbf {C} )\cong H^{\ast }(X(\mathbf {C}),\mathbf {Q}\otimes _{\mathbf {Q}}}}\mathbf {C}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

이러한 이형성은 단일한 코호몰로지에서의 사이클에 걸쳐 대수학 de Rham cohomology의 미분형 형태를 통합하여 얻은 쌍을 고려함으로써 얻을 수 있다. 그러한 통합의 결과를 마침표라고 하며 일반적으로 복잡한 숫자다. 이것은 왜 단수 코호몰리학을 C에 강세해야 하는가를 설명하고, 이 관점에서 C는 대수학 de Rham cohomology와 단수 코호몰리를 비교하는 데 필요한 모든 기간을 포함하고 있다고 말할 수 있으며, 따라서 이 상황에서 기간 링이라고 할 수 있다.

• 60년대 중반, 테이트는 대수학 de Rham cohomology와 p-adic étal cohomology(호지-테이트 추측, C라고도_HT 한다) 사이의 K에 대한 적절한 매끄러운 체계 X를 위해 유사한 이형성이 유지되어야 한다고^[5] 추측했다. Specifically, let C_K be the completion of an algebraic closure of K, let C_K(i) denote C_K where the action of G_K is via g·z = χ(g)ⁱg·z (where χ is the p-adic cyclotomic character, and i is an integer), and let ${\displaystyle B_{\mathrm {$$HT} }:=\oplus _{i\in \mathbf {Z} }\mathbf {C} _{K}(i)}$. 그리고 나서 functorial 이형성이 있다.

${\displaystyle B_{\mathrm {HT} }\otimes _{K}\mathrm {gr}H_{\mathrm {dR}}^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {\mathrm}HT} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}}H_{\mathrm {{\acute{e}t}}^{}\ast }(X\time _{K}{\overline {K},\mathbf {Q} _{p}})}$

G-action이_K 있는 등급 벡터 공간의 (de Rham cohomology는 Hodge 여과가 장착되어 있으며, $g{\displaystyle \mathrm{}}$ r ${\displaystyle {hdge\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{R}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}^{}}$ ${\$는 연관 등급이다. 이러한 추측은 80년대^[6] 후반 게르트 팔팅스에 의해 여러 다른 수학자들(테이트 그 자신 포함)의 부분적인 결과 후에 증명되었다.

• 한p-adic 분야 K을 통해 얻어진 좋은 감소와abelian 다양한 X알렉산더 그로 텐디크는 결정 cohomology H1(X/W(k))⊗ Qp은 특별한 섬유(이 그룹의 프로베니우스. FerdinandGeorg. 자기 준동형과 이 그룹의 호지 여과와 K는 tensored)과p-adicétale cohomology의 H1(X,Qp)(로 말하는 테이트의 정리를 새로우. 그 K)의 갈루아 집단의 작용도 같은 정보를 포함하고 있었다. 둘 다 X와 연관된 p-dival group에 해당하며, 최대 이등생성까지이다. 그로텐디크는 p-adic étale cohomology(그리고 뒤로)에서 p-adic etale cohomology(p-adic etale cohomology)로 직접 가는 방법이 있어야 한다고 추측했다.^[7] 이 제안된 관계는 신비로운 방광자로 알려지게 되었다.

Hodge-Tate 추측을 de Rham cohomology(관련 등급뿐만 아니라)와 관련된 것으로 개선하기 위해, 폰테인(Fontaine)은 관련 등급이 B인_HT 여과 링 B를^[8]_dR 구성했고, K에 대한 모든 매끄러운 적절한 체계 X를 위해 다음과 같은 (C라_dR 함)을 추측했다^[9].

${\displaystyle B_{\mathrm {dR}}\otimes _{K}H_{\mathrm {dR}{}^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {dR}}}}번 _{\mathbf {Q} _{p}}}}}}H_{\mathrm {{\acute{e}t}}^{}\ast }(X\time _{K}{\overline {K},\mathbf {Q} _{p}})}$

필터링된 벡터 공간과 G-action_K. 이런 식으로 B는_dR 위의 복잡한 숫자들이 단일한 코호몰로지와의 비교와 함께 사용되었듯이 대수학 de Rham cohomology와 p-adic étal cohomology를 비교하는 데 필요한 모든 (p-adic) 기간을 포함한다고 말할 수 있다. 여기서 B는_dR p-adic 시기의 반지 이름을 얻게 된다.

마찬가지로 그로텐디크의 신비한 펑터를 설명하는 추측을 짜기 위해 폰테인은 G-액션_K, '프로베니우스' φ, 그리고 스칼라를₀ K에서 K로 연장한 후의 여과가 있는 반지 B를_cris 소개했다. 그는 다음과 같은 (C라_cris 함)을^[10] 잘 줄여서 K에 대한 X의 매끄러운 적절한 계략에 대해 추측했다.

${\displaystyle B_{\mathrm {cris}번 _{K_{0}H_{\mathrm {dR}{}^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {cris}번 _{\mathb {Q}_{p}}}}}}}}}H_{\mathrm {{\acute{e}t}}^{}\ast }(X\time _{K}{\overline {K},\mathbf {Q} _{p}})}$

스칼라를 K(여기서$H$ ${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{R}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}^{}}$(${\displaystyle X/K}$) {\$디스플레이스타일$ H_{dR$}}^{}^{\ast }}(X/K)})$까지 확장한 후 φ-action, G-action_K, 여과가 있는 벡터 공간으로서 결정 코호몰로지와의 비교에 의해 주어진 action-action의₀ 구조로 주어진다$$. C와_dR C의_cris 추측 모두 팔팅스에 의해 증명되었다.^[11]

이 두 가지 추측을 위의 B-adm_∗ 허용 표현의 개념과 비교했을 때, X가 K에 대한 적절한 매끄러운 계획이라면(좋은 감소로), V가 ith p-adic étale cohomology 그룹과 마찬가지로 얻은 p-adic Galois 표현이라면, 그렇다면, 그 다음이다.

${\displaystyle D_{B_{\ast }}(V)=H_{\mathrm {dR} }^{i}(X/K).}$

즉 디유도네 모듈은 V와 관련된 다른 코호메지를 주는 것으로 생각해야 한다.

80년대 후반에 폰테인(Fontaine)과 우베 잔센(Uwe Jannsen)은 이번에 X가 반안정적인 감소를 할 수 있도록 또 다른 비교 이형성 추측인 C를_st 공식화했다. 퐁텐, 그리고 GK-action,"프로베니우스"φ, K0에서 K(. 연장의p-adic 로그)에 scalars을 연장한 후 여과 반지에 Bst constructed[12]"monodromy 연산자"N. 연행될 X이semi-stable 감소, 드 Rham cohomology 수 있는 기기가 장착된 φ-action고 monodromy 운영자에 의해 비교한 것은으로 log-cry.stalline코호몰로지 오사무 효도에 의해 처음 소개되었다.^[13] 그때 추측에 의하면

${\displaystyle B_{\mathrm {st}\otimes _{K_{0}H_{\mathrm {dR}{}^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {st}\otimes _{\mathb {Q}_{p}}}}}}}}}}}}}}}}H_{\mathrm {{\acute{e}t}}^{}\ast }(X\time _{K}{\overline {K},\mathbf {Q} _{p}})}$

φ-action, G-action_K, Scalar를 K까지 확장한 후의 여과, Monodromy 연산자 N이 있는 벡터 공간으로. 이러한 추측은 쓰지 다케시에 의해 90년대 후반에 증명되었다.^[14]

메모들

참조

일차 출처

• Tate, John (1967), "p-Divisible Groups"", Proceedings of a Conference on Local Fields, Springer, pp. 158–183, doi:10.1007/978-3-642-87942-5_12, ISBN 978-3-642-87942-5
• Faltings, Gerd (1988), "p-adic Hodge theory", Journal of the American Mathematical Society, 1 (1): 255–299, doi:10.2307/1990970, MR 0924705
• Faltings, Gerd, "Crystalline cohomology and p-adic Galois representations", in Igusa, Jun-Ichi (ed.), Algebraic analysis, geometry, and number theory, Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, pp. 25–80, ISBN 978-0-8018-3841-5, MR 1463696
• Fontaine, Jean-Marc (1982), "Sur certains types de représentations p-adiques du groupe de Galois d'un corps local; construction d'un anneau de Barsotti–Tate", Annals of Mathematics, 115 (3): 529–577, doi:10.2307/2007012, MR 0657238
• Grothendieck, Alexander (1971), "Groupes de Barsotti–Tate et cristaux", Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), vol. 1, pp. 431–436, MR 0578496
• Hyodo, Osamu (1991), "On the de Rham–Witt complex attached to a semi-stable family", Compositio Mathematica, 78 (3): 241–260, MR 1106296
• Serre, Jean-Pierre (1967), "Résumé des cours, 1965–66", Annuaire du Collège de France, Paris, pp. 49–58
• Tsuji, Takeshi (1999), "p-adic étale cohomology and crystalline cohomology in the semi-stable reduction case", Inventiones Mathematicae, 137 (2): 233–411, Bibcode:1999InMat.137..233T, doi:10.1007/s002220050330, MR 1705837

이차 출처

• Berger, Laurent (2004), "An introduction to the theory of p-adic representations", Geometric aspects of Dwork theory, vol. I, Berlin: Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, arXiv:math/0210184, Bibcode:2002math.....10184B, ISBN 978-3-11-017478-6, MR 2023292
• Brinon, Olivier; Conrad, Brian (2009), CMI Summer School notes on p-adic Hodge theory (PDF), retrieved 2010-02-05
• Fontaine, Jean-Marc, ed. (1994), Périodes p-adiques, Astérisque, vol. 223, Paris: Société Mathématique de France, MR 1293969
• Illusie, Luc (1990), "Cohomologie de de Rham et cohomologie étale p-adique (d'après G. Faltings, J.-M. Fontaine et al.) Exp. 726", Séminaire Bourbaki. Vol. 1989/90. Exposés 715–729, Astérisque, vol. 189–190, Paris: Société Mathématique de France, pp. 325–374, MR 1099881