최장 교대수열

조합수학, 확률, 컴퓨터 과학에서 가장 긴 교번 문제에서 원소가 교번 순서에 있고, 가능한 한 긴 순서에 따라 배열하는 것을 찾고자 한다.

Formally, if ${\displaystyle \mathbf {x} =\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}}$ is a sequence of distinct real numbers, then the subsequence ${\displaystyle \{x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots ,x_{i_{k}}\}}$ is alternating^[1] (or zigzag or down-up)if

${\displaystyle x_{i_{1}}x_{i_{3}}\cdots x_{i_{3}}\cdots x_{i_{k}}\cdots 1\cdq i_{1}{1}\cdots <i_{k}\leq}n.}$

마찬가지로, $다음$과$$같은 $경우$ x {\$displaystyle \mathbf$ {x}은$($는) 역교대(또는 상향)이다.

${\displaystyle x_{i_{1}:{i_{2}}:x_{i_{3}}<\cdots x_{i_{k}}\cdots x_{qquad{\nd}}\cdots 1\i_{2}\cdodots <i_{k}\leq}n.}}}}}}}$

${\displaystyle s_{}}$n (${\displaystyle x\mathbf{}}$ $){\displaystyle${\$rm {as}_{n}(\mathbf$ {$x})$이 x$${\$displaystyle \mathbf {x}}$의 가장 긴 교대 반복 길이를 나타내도록$$ 하자$.$ 예를 들어 정수 1,2,3,4,5의 순열 중 일부를 고려하면 다음과 같은 값이 나온다.

• ${\displaystyle {\mathrm{a}}_{}}$ s ${\displaystyle 5_{\mathrm{}}}$( 1,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$,${\displaystyle 4}$,${\displaystyle 5}$)${\displaystyle }$= 2 ${\displaystyle${\$rm {as}_{5}(1,2,3,4,5)=2$ ; (${\displaystyle \mathrm{예}}$를 들어 1,2,1,4 또는 3,5)의 순서는 (정의상) 교대하기 때문이다.
• ${\displaystyle {\mathrm{a}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{s}}_{}}$ ${\displaystyle 5_{\mathrm{}}}$( ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 5}$,${\displaystyle 3}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$4${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 4}$,${\displaystyle {\rm{as}_{5}(1,5,3,2,4),$1,5$,$2,4가 모두 교대하고 더 많은 원소와 교대하지 않기 때문에$$ 4,}
• ${\displaystyle {\mathrm{a}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{s}}_{}}$ ${\displaystyle 5_{\mathrm{}}}$(${\displaystyle 5}$, ${\displaystyle 3}$,${\displaystyle 4}$,${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 5}$, ${\displaystyle {\rm$ {$as}_{5}(5,3,4,$1,$2)=5,$3,4,1,$2$는 그 자체가 교대하기 때문에$$.

효율적인 알고리즘

가장 긴 교번 문제는 $O{\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle O(n)}$ 시간 내에 해결할 수 있으며$,$ 여기서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$은 원래 시퀀스의 길이입니다.^{[citation needed]}

분포 결과

If ${\displaystyle \mathbf {x} }$ is a random permutation of the integers ${\displaystyle 1,2,\ldots ,n}$ and ${\displaystyle A_{n}\equiv {\rm {as}}_{n}(\mathbf {x} )}$, then it is possible to show^[2][3][4] that

${\displaystyle E[A_{n}}]={\frac {2n}{3}+{\frac {1}{1}{6}}\qquad \text{and}\qquad \operatorname {Var}[A_{n}]={\frac {45}-{13}{180}}}.}$

더욱이 $n{\displaystyle }$→$∞{\displaystyle n\rightarrow \infit$ $\}\},$ 임의 변수 ${\displaystyle A_{}}$ ${\$이 적절하게$$중심화되고 크기가 조정되면서 표준 정규 분포로 수렴된다.

온라인 알고리즘

가장 긴 교번 문제는 온라인 알고리즘 설정에서도 연구되었는데, $x{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 요소가 온라인 방식으로 제시되고$$, 의사결정자는 e를 전혀 알지 못한 채 처음 제시된 시점에 각 요소를 포함시킬지 제외할지를 결정할 필요가 있다.선행 관찰에 대한 리콜 가능성이 없는, 미래에 제시될 임대.

공통 연속 분포 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$을(를) 갖는 독립 랜덤 변수의$$ $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$X ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}${$1},X_{2},\ldots,X_{n}$ 순서에 따라 예상되는 교대 선택 횟수를 최대화하는 선택 절차를 구성할 수 있다$.$이러한 예상 값은 정확하게 추정할 수 있으며${\displaystyle }$(${\displaystyle 2}$- ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$) n${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{O}}$( 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle (2-{\sqrt{2}})n+O(1)}$와 같다$.$^[5]

$n{\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infit }$에 따라 온라인 교대 선택의 최적 수가 적절한 중심을 잡고 확장된 정규 분포로 수렴된다$.$^[6]

참고 항목

• 교번순열
• 순열 패턴 및 패턴 회피
• 지정된 순서대로 로컬 최대값 및/또는 로컬 최소값 계산
• $n{\displaystyle }$ ${\displaystylen}$ 관측치의$$ 통계적 독립성 검정을 위한 전환점 검정
• 교대 런 수
• 가장 오래 증가되는 부분
• 가장 긴 공통 시퀀스 문제

참조