교번순열

조합 수학에서 집합 {1, 2, 3, ..., n}의 교번 순열(또는 지그재그 순열)은 각 항목이 이전 항목보다 번갈아 크거나 작도록 그러한 숫자의 순열(정렬)이다.예를 들어, {1, 2, 3, 4}의 다섯 가지 교대 순열은 다음과 같다.

• 1, 3, 2, 4 왜냐하면 1 < 3 > 2 < 4,
• 1, 4, 2, 3 왜냐하면 1 < 4 > 2 < 3.
• 2, 3, 1, 4 왜냐하면 2 < 3 > 1 < 4,
• 2, 4, 1, 3 왜냐하면 2 < 4 > 1 < 3 그리고
• 3, 4, 1, 2, 3 < 4 > 1 < 2.

이런 종류의 순열은 19세기에 데지레 안드레에 의해 처음 연구되었다.^[1]

저자들마다 교대 순열이라는 용어를 약간 다르게 사용한다. 일부 저자들은 교대 순열의 두 번째 항목이 첫 번째 항목보다 커야 한다고 요구하고 있다(위의 예에서와 같이). 다른 이들은 교대 순열에서 두 번째 항목이 첫 번째 항목보다 작아야 하고, 그 다음 세 번째 항목이 두 번째 항목보다 커야 하며, 두 번째 순열은 두 번째 항목보다 커야 한다.다른 사람들은 이 두 가지 유형을 교번 순열이라는 이름으로 부르는 반면, 다른 이들은 두 가지 유형을 교번 순열이라고 부른다.

세트 {1, ..., n}의 교대 순열 A를_n 결정하는 것을 안드레의 문제라 한다.숫자_n A는 오일러 숫자, 지그재그 숫자 또는 위/아래 숫자로 알려져 있다.n이 짝수일 때는 A를_n secant number로 하고, n이 홀수일 경우에는 접선 번호로 한다.이러한 후자의 이름은 시퀀스에 대한 생성 함수의 연구로부터 유래한다.

정의들

순열 c₁, ..., c는_n 그 입력이 교대로 상승하거나 하강할 때 교대한다고 한다.따라서 첫 번째와 마지막을 제외한 각 항목은 양쪽 이웃보다 크거나 작아야 한다.어떤₁ 저자들은 역순으로 c₁ > c₂ > c < ...을 만족시키는 "하향" 순열만을 지칭하기 위해 이 용어를 번갈아 사용하기도 하는데, 이 순열은 c > c₂ > c < ...를₃₃ 만족시키는 "하향" 순열이라고 부른다.다른 저자들은 이 관례를 뒤바꾸거나, "대체"라는 단어를 사용하여 상향식 및 하향식 순열을 모두 가리킨다.

하향 순열과 하향 순열 사이에는 간단한 일대일 서류가 있다. 각 항목 c를_i n + 1 - c로_i 교체하면 항목의 상대적 순서가 역전된다.

관례에 따라, 어떤 명명 체계에서 길이 0(빈 집합의 순열)과 1(단일 항목 1로 구성된 순열)의 고유 순열은 교대로 취해진다.

안드레의 정리

세트 {1, ..., n}의 교대 순열 A를_n 결정하는 것을 안드레의 문제라 한다.숫자 A는_n 오일러 숫자, 지그재그 숫자, 위/아래 숫자 또는 이 이름들의 조합으로 다양하게 알려져 있다.특히 오일러 번호는 밀접하게 연관된 순서에 사용되기도 한다.A의_n 처음 몇 개의 값은 1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, ...이다.

이 숫자들은 카탈루냐 숫자의 그것과 유사하게 간단한 재발을 만족시킨다: 가장 큰 항목 n + 1의 위치 k에 따라 집합 {1, 2, 3, ..., n, n, n + 1 }의 교대 순열(아래쪽과 위쪽 모두) 세트를 분할함으로써, 하나는 다음과 같은 것을 보여줄 수 있다.

${\displaystyle 2A_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}}}}A_{k}A_{n-k}}}$

모든 n ≥ 1. André(1881)는 지수 생성 함수에 의해 충족되는 미분 방정식을 제공하기 위해 이 반복을 사용했다.

${\displaystyle A(x)=\sum _{n=0}^{\n}A_{n}{\frac{x^{n}}{n!}}}$

A의_n 순서로사실, 재발은 다음을 제공한다.

${\displaystyle 2\sum _{n\geq 1}A_{n+1}{\frac {x^{n+1}{{(n+1)!}}}=\sum _{n\geq 1}\sum _{k=0}^{n}{\frac{A_{k}}}{k!}}{\frac {A_{n-k}}{{n-k}}{(n-k)!}{{\frac{x^{n+1}:{n+1}:{n+1}=\int \left(\sum _{k\geq 0}A_{k}{\frac{x^{k}}}{k!}}}\왼쪽(\sum _{j\geq 0}A_{j}{\frac{x^{j}}{j!}}}\\,dx-x}$

여기서$$ $j{\displaystyle }$= n - ${\displaystyle j=n-k}$ 및 ${\displaystyle \frac{x^{}}{}}$ $n{\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$= ${\displaystyle \int }$ ${\displaystyle x^{}}$ k${\displaystyle {}^{}}$+ j ${\displaystyle x}$ ${\frac {\x^{n+1}:{n+$1}=\$int x^{k+j},dx$ 이렇게 하면 적분 방정식이 제공된다.

${\displaystyle 2(A(x)-1-x)=\int A(x)^{2}\,dx-x,}$

분화가 ${\displaystyle \frac{\mathrm{2d}}{}}$ A ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$- ${\displaystyle 2}$= ${\displaystyle {A\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ 2${\frac {dA}{dx}-2=$$A^{2}-1$ 이 미분 방정식은 (${\displaystyle \mathrm{초기}}$ 조건 $A{\displaystyle }$( 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle A\mathrm{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$/ 0${\displaystyle }$!${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle A(0)=$을 사용하여) 변수의 분리로 해결할 수 있다.$A_{0}/0!=1})$ 및 접선 반각 공식을 사용하여 단순화하여 최종 결과를 제공한다.

${\displaystyle A}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{태닝}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \frac{4}{}}$ ${\displaystyle 4\frac{}{}}$+ x${\displaystyle \frac{2}{}}$) = ${\displaystyle 초}$ ${\displaystyle x}$ + ${\displaystyle \mathrm{태닝}}$ tan ${\displaystyle A(x)=\tan \tan$ \left $({\frac {}}}}}{4}+{\frac${2$}}\오른쪽)=\sec$ x$+\tan x$

이차 함수와 탄젠트 함수의 합이 결과는 안드레의 정리라고 알려져 있다.

시리즈 A(x)의 수렴 반경이 π/2라는 것은 안드레의 정리로부터 따르게 된다.이렇게 하면 점증적 팽창을^[2] 계산할 수 있다.

${\displaystyle A_{n}\심 2\left({\frac {2}{\pi }}\오른쪽)^{n+1}\cdot n!\,}$

관련 정수 시퀀스

홀수 색인 지그재그 숫자(즉 접선 숫자)는 베르누이 숫자와 밀접한 관련이 있다.관계는 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle B_{2n}=(-1)^{n-1}{\frac {2n}{4^{2n}-2}}:A_{2n-1}$

n > 0에 대하여

Z가_n 업다운 또는 다운업(또는 n < 2)의 경우 둘 다)인 {1, ..., n}의 순열 수를 나타내는_n 경우, 위에 주어진 쌍으로 Z = n ≥ 2의 경우 2A를_n 나타낸다.Z의_n 처음 몇 개의 값은 1, 1, 2, 4, 10, 32, 122, 544, 2770, 15872, 101042, ...이다(OEIS에서 연속 A001250).

오일러 지그재그 번호는 엔팅어 번호와 관련이 있으며, 여기서부터 지그재그 숫자가 계산될 수 있다.엔팅어 번호는 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다.^[3]

${\displaystyle E(0,0)=1}$

${\displaystyle E(n,0)=0\qquad {\mbox{}}{{}n]0}$

${\displaystyle E(n}$, ${\displaystyle k}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle E(n,}$ ${\displaystyle \mathrm{k}}$- 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle E(n}$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle n}$- ${\displaystyle k}$) ${\displaystyle E(n,k-1)=E(n,k-1)+E(n-1,n-k$

n^th 지그재그 번호는 Entringer 번호 E(n, n)와 같다.

짝수 지수를 가진 숫자 A를_2n secant number 또는 zig number라고 하는데, secant 함수는 짝수이고 접선은 홀수이므로, sec x의 Maclaurin 계열의 숫자라는 것은 위의 안드레의 정리로부터 따르게 된다.처음 몇 개의 값은 1, 1, 5, 61, 1385, 50521, ...(OEIS에서 연속 A000364).

제분 번호는 E_2n = (-1)ⁿA_2n 공식(n이 홀수일 경우 E_n = 0)에 의해 서명된 오일러 번호( 쌍곡 제분제의 테일러 계수)와 관련된다.

이에 상응하여 홀수 지수를 가진 숫자 A를_2n+1 접선 번호 또는 zag 번호라고 한다.처음 몇 개의 값은 1, 2, 16, 272, 7936, ...이다(OEIS에서 순서 A000182).

두 번째 종류의 스털링 숫자에 대한 명시적 공식

오일러 지그재그 숫자와 오일러 숫자의 관계, 그리고 베르누이 숫자의 관계를 이용하여 다음과 같은 것을 증명할 수 있다.

${\displaystyle A_{r}=-{\frac {4^{r}{a_{r}}}\sum _{k=1}{k=1}^{r}{k}{frac {(1-1)^{k}\,S(r,k)}{k+1}{3}}}}{4}}}}}}}{{(k)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

어디에

${\displaystyle a_{r}={\frac{r}-1}^{\r-1}{2}}(1+2^{-r})&{\mbox{r이 홀수인 경우}^{\frac {r}{2}}&{\mbox{r이 짝수인 경우},}},},}$

${\displaystyle (}$ ${\displaystyle x{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle n^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) = (${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle n}$- ${\displaystyle 1}$)$${\$displaystyle (x)^{(n)}=(x+1)\cdots (x+n-1)$는 상승요인을 나타내며$$, $S{\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$, $){\displaystystyle S(r,k)$는 두 번째 종류의 스털링 숫자를 나타낸다.

참고 항목

• 최장 교대수열
• 부스트로페돈 변환
• 울타리(수학) - 선형 확장으로 교대 순열이 있는 부분 순서 집합

인용구

참조

• André, Désiré (1879), "Développements de séc x et de tang x", Comptes rendus de l'Académie des sciences, 88: 965–967.

• André, Désiré (1881), "Sur les permutations alternées" (PDF), Journal de mathématiques pures et appliquées, 3e série, 7: 167–184^{[permanent dead link]}.

• Stanley, Richard P. (2011). Enumerative Combinatorics. Vol. I (2nd ed.). Cambridge University Press.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Alternating Permutation". MathWorld.
• 로스 탕, "파워 시리즈에서 오일러 지그재그 숫자에 대한 명시적 공식(위/아래 숫자)" A에_n 대한 간단한 명시적 공식.
• 리차드 P의 사전 인쇄물인 "교대 순열 조사" 스탠리