저점수열

수학에서 낮은 점수의 순서는 N의 모든 값에 대해 그 반복성 x₁, ..., x가_N 낮은 불일치를 갖는 속성의 순서다.

대략적으로 말하면, 임의의 집합 B에 속하는 시퀀스의 점 비율이 등분산 시퀀스의 경우 평균적으로(특정 샘플은 아님) 발생하듯이 B의 측도에 비례하는 경우 시퀀스의 불일치는 낮다. 불일치에 대한 구체적인 정의는 B(하이퍼스피어, 하이퍼큐브 등)의 선택과 B의 불일치를 계산하는 방법(일반적으로 정규화)과 결합(보통 최악의 값을 취함)에 따라 다르다.

균일하게 분포된 무작위 숫자의 대체로서 일반적으로 사용되기 때문에 낮은 점수의 시퀀스를 퀘이란돔 시퀀스라고도 한다. "quasi" 수식어는 낮은 점수의 값이 무작위나 유사성이 아님을 보다 명확하게 나타내기 위해 사용되지만, 그러한 수식들은 랜덤 변수의 일부 속성을 공유하며 준 몬테 카를로 방법과 같은 특정 용도에서 이들의 낮은 불일치가 중요한 장점이다.

적용들

Quasirandom 숫자는 관심 영역을 빠르고 고르게 커버한다는 점에서 순수한 무작위 수보다 이점이 있다. 결정론적 방법은 데이터 포인트 수가 미리 설정된 경우에만 높은 정확도를 제공하는 반면, 콰시란돔 시퀀스를 사용하면 일반적으로 기존 포인트의 완전한 재사용과 함께 더 많은 데이터 포인트가 추가될 때 정확도가 지속적으로 향상된다는 점에서 순수하게 결정론적인 방법보다 이점이 있다. 반면에 퀘이란돔 포인트 세트는 순전히 무작위 시퀀스보다 주어진 포인트 수에 대한 불일치가 현저히 낮을 수 있다.

두 가지 유용한 적용은 확률밀도함수의 특성함수를 찾는 것과 소량의 노이즈를 가진 결정론함수의 파생함수를 찾는 데 있다. Quasirandom 숫자는 고차 모멘트를 매우 빠르게 높은 정확도로 계산할 수 있게 한다.

정렬을 포함하지 않는 애플리케이션은 통계 분포의 평균, 표준 편차, 왜도 및 첨도를 찾고 어려운 결정론적 함수의 정수 및 전지구적 최대값과 최소값을 찾는 데 있을 것이다. 또한 퀘이란돔 번호는 뉴턴-래프슨 반복과 같이 국소적으로만 작동하는 결정론적 알고리즘의 시작점을 제공하는 데 사용될 수 있다.

Quasirandom 번호는 또한 검색 알고리즘과 결합될 수 있다. 2진수 나무 퀵 정렬 스타일의 알고리즘은 퀘이런덤 숫자가 무작위 숫자보다 나무를 훨씬 더 잘 평평하게 하고, 나무가 평평할수록 정렬 속도가 빠르기 때문에 예외적으로 잘 작동해야 한다. 검색 알고리즘을 사용하면 퀘이란돔 숫자를 사용하여 통계 분포의 모드, 중위수, 신뢰 구간 및 누적 분포를 찾을 수 있으며, 모든 국소 미니마와 결정론 함수의 모든 솔루션을 찾을 수 있다.

숫자 통합에서 낮은 점수의 시퀀스

숫자 통합의 최소 세 가지 방법은 다음과 같이 표현할 수 있다. [0,1] 간격에 {x₁, ..., x_N} 집합이 주어지면 함수 f의 적분은 다음과 같은 지점에서 평가된 함수의 평균으로 대략 된다.

${\displaystyle \int _{0}^{1}f(u)\,du\ 약 {\frac {1}{{N}\,\sum _{i=1}^{{N}f(x_{i}).}$

점을_i x = i/N으로 선택한 경우, 이것은 직사각형 규칙이다. 점을 랜덤하게(또는 유사하게) 분포하도록 선택한 경우, 이것이 몬테카를로 방법이다. 점수가 낮은 시퀀스의 요소로 선택된다면, 이것은 준몬테 카를로 방법이다. 괄목할 만한 결과, 코크스마-Hlawka 불평등(아래에 기술되어 있음)은 그러한 방법의 오차가 f에만 의존하는 두 용어의 산물에 의해 경계가 될 수 있음을 보여주며, 그 중 하나는 f에만 의존하는 것이고, 다른 하나는 세트 {x₁, ..., x_N}의 불일치라는 것을 보여준다.

N+1 요소가 포함된 세트를 구성하면 이전 N 요소를 다시 계산할 필요가 없도록 {x₁, ..., x_N} 세트를 구성하는 것이 편리하다. 사각형 규칙은 불일치가 낮은 점 집합을 사용하지만 일반적으로 N이 증가하면 원소를 다시 계산해야 한다. N이 증가하면 무작위 몬테카를로 방식으로 원소를 다시 계산할 필요는 없지만, 점 집합은 최소의 불일치를 가지지 않는다. 낮은 점수의 시퀀스를 사용함으로써 우리는 낮은 점수의 불일치를 목표로 하고 있으며, 실제로 점수의 낮은 점수의 시퀀스는 재보수를 허용하지 않는 경우에만 점증적으로 좋은 결과를 얻을 수 있다.

불일치 정의

세트 P = {x₁, ..., x_N}의 불일치는 Nederreiter의 표기법을 사용하여 정의된다.

${\displaystyle D_{N}(P)=\sup _{B\in J}\왼쪽 {\frac {A(B;P)}{N}-\lambda _{s}(B)\right }}$

여기서 λ은_s s차원 Lebesgue 측정값이고, A(B;P)는 B에 속하는 P의 점 수이며, J는 형태의 s차원 구간이나 박스의 집합이다.

${\displaystyle \prod _{i=1}^{s}[a_{i},b_{i}}=\\{\mathbf {R} \in \mathbf {x} ^{s}:a_{i}\leq x_{i}<b_{i}\}\,}$

여기서 a i 1 ${\displaystyle 0\leq a_{i}<b_{i}\leq 1$

별점용 D^*_N(P)는 형태에서 직사각형 상자의 집합 J를^* 우월성이 차지한다는 점을 제외하고 유사하게 정의된다.

${\displaystyle \prod _{i=1}^{s}[0,u_{i}}}}$

여기서 u는_i 하프오픈 간격[0, 1)에 있다.

두 사람은 에 의해 연관되어 있다.

${\displaystyle D_{N}^{*}\leq D_{N}\leq 2^{s}D_{N}^{N}^{*}}\,}$

참고: 이러한 정의에서 불일치는 균일 집합의 최악의 경우 또는 최대 점 밀도 편차를 나타낸다. 그러나 다른 오류 측정도 의미가 있어 다른 정의와 변동 측정으로 이어진다. 예를 들어, L2 불일치 또는 수정된 중심 L2 불일치도 균일한 점 집합의 품질을 비교하기 위해 집중적으로 사용된다. 큰 N과 s의 경우 둘 다 계산하기가 훨씬 쉽다.

더 코크스마-흐로카 부등식

ī을^s s차원 단위 큐브로 하고 ī^s = [0, 1] × ... × [0, 1]. F는 하디와 크라우스의 의미에서 ī에^s 변주 V(f)를 경계로 했다. 그런 다음 모든 x₁, ..., I_N^s = [0, 1) ×에 대해... × [0, 1),

${\displaystyle \왼쪽 {\frac {1}{{N}\sum _{n}f(x_{i})-\int_{{\bar{I}^{{}f(u)\,du\right \leq V(f)\,D_{N}^}}}}{x_{n}}}}}}.}$

더 코크스마-Hlawka 불평등은 다음과 같은 의미로 날카롭다. 및 > 0 {\$displaystyle$₁ \varepsilon >0}에 있는 모든 점 집합 {x,...,x_N}에 대해 다음과 같은 경계 변동을 갖는 함수 f와 V(f) = 1이 있다.

${\displaystyle \왼쪽 {\frac {1}{{N}\sum _{{I_{i}-\int_{{\n}^{\bar{I}^{{}}}\{{}}}\{\du\right >D_{N}^{*}}}}.$

따라서 숫자 통합 규칙의 품질은 불일치 D^*_N(x₁,...,x_N)에만 의존한다.

흐로카-자렘바의 공식

$Let{\displaystyle }$ D${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$2,${\displaystyle }$…,${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle D=\{1,2,\ldots,d\\}}.$$.{\displaystyle \mathrm{}u}$ u u ${\displaystyle \subseteq }$ u u ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \emptyset \neq u$\subseteq $D}.$

${\displaystyle dx_{u}:=\prod _{j\in u}dx_{j}}}$

그리고 (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$, ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle (x_{u},1$)이$$u에 없는 좌표를 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$로 교체하여 x에서 얻은 점을$$ 가리킨다$.$ 그러면

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}f(x_{i})-\int _{{\bar {I}}^{s}}f(u)\,du=\sum _{\emptyset \neq u\subseteq D}(-1)^{ u }\int _{[0,1]^{ u }}\operatorname {disc} (x_{u},1){\frac {\partial ^{ u }}{\partial x_{u}}}f(x_{u},1)\,dx_{u},}$

where ${\displaystyle \operatorname {disc} (z)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\prod _{j=1}^{d}1_{[0,z_{j})}(x_{i,j})-\prod _{j=1}^{d}z_{i}}$ is the discrepancy function.

Koksma–의 ${\displaystyle {L2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ L$^{2}}$ 버전$$흐로카 부등식

통합 및 합계에 대한 Cauchy-Schwarz 불평등을 Hlawka-Zaremba ID에 적용하여 Koksma-의 ${\displaystyle {L2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ L$^{2}$ 버전을$$ 얻는다.Hlawka 불평등:

${\displaystyle \왼쪽 {\frac {1}{{N}\sum _{n}f(x_{i})-\int_{{\bar{I}^{{}}}}\int_{{\bar}f(u)\,du\leq \f\\operatorname {d}{d},}},}},},},},},},},},},},},},},},},},},},},},},},},},},$

어디에

${\displaystyle \operatorname {disc} _{d}(\{t_{i}\})=\left(\sum _{\emptyset \neq u\subseteq D}\int _{[0,1]^{ u }}\operatorname {disc} (x_{u},1)^{2}\,dx_{u}\right)^{1/2}}$

그리고

${\dstyle \ f\ _{d}=\left(\sum _{u\subseteq D}\int_{[0,1]^{{{partial ^}}}{{{u}}}}}}{{{{}}}}}{{{}}}}}}}}{{partial ^{{{{{{{{u}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

L2 불일치는 주어진 점 집합에 대해 빠른 명시적 계산이 가능하기 때문에 실제적인 중요성이 높다. 이렇게 하면 L2 불일치를 기준으로 하여 점 집합 최적화 도구를 쉽게 만들 수 있다.

에르데스-투란-코크스마 불평등

대형 포인트 세트의 불일치 값을 정확히 찾기란 계산적으로 어렵다. 에르데스-투란-코크스마 불평등은 상한선을 제공한다.

x₁,...,x는_N I에서^s 포인트가 되고 H는 임의의 양의 정수가 되게 하라. 그러면

${\displaystyle D_{N}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{N})\leq \left({\frac {3}{2}}\right)^{s}\left({\frac {2}{H+1}}+\sum _{0<\ h\ _{\infty }\leq H}{\frac {1}{r(h)}}\left {\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}e^{2\pi i\langle h,x_{n}\rangle }\right \right)}$

어디에

${\displaystyle r(h)=\prod _{i=1}^{s}\max\{1, h_{i}\}\}}\quad {\\\mbox{for}}}\}\quad h=(h_{1}, ldots, h_{s}}}}\mathb {Z}}.}$

주된 억측.

추측 1. 치수 s에만 의존하는 상수 c가_s 있으므로 다음과 같다.

${\displaystyle D_{{N}^{*}(x_{1},\ldots,x_{N})\geq c_{s}{\frac {(\ln N)^{s-1}}{{N}}}}}$

모든 유한 점 집합 {x₁,...,x_N}에 대해.

추측 2. s에만 의존하는 상수 c가^'_s 있으므로 다음과 같다.

${\displaystyle D_{{N}^{*}(x_{1},\ldots,x_{N})\geq c'{s}{\frac {(\ln N)^{{N}}}}}$

무한 시퀀스 x₁,x₂,x에₃ 대해 N의 무한 개수에 대해...

이 추측들은 동등하다. 그들은 W. M. 슈미트에 의해 2파운드로 증명되었다. 더 높은 차원에서는 해당 문제가 여전히 열려 있다. 가장 잘 알려진 하한은 마이클 레이시와 협력자들 때문이다.

하한

Lets = 1. 그러면

${\displaystyle D_{N}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{N})\geq {\frac {1}{2}엔}}$

모든 유한 점 집합 {x₁, ..., x_N}에 대해.

Lets = 2. W. M. Schmidt는 모든 유한 점 집합 {x₁, ..., x_N}에 대해 증명했다.

${\displaystyle D_{N}^{*}(x_{1},\ldots,x_{N})\geq C{\frac {\log N}{N}}}}}$

어디에

${\displaystyle C=\max _{a\geq 3}{\frac {1}{16}}{\frac {a-2}{a\log a}=0.023335\dots .}$

임의 치수의 경우 s > 1, K. F. 로스는 그것을 증명했다.

${\displaystyle D_{N}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{N})\geq {\frac {1}{2^{4s}}}{\frac {1}{((s-1)\log 2)^{\frac {s-1}{2}}}}{\frac {\log ^{\frac {s-1}{2}}N}{N}}}$

모든 유한 점 집합 {x₁, ..., x_N}에 대해 조제프 벡은 이 결과에 대한 이중 로그 개선을 3차원으로 확립했다. 이것은 D에 의해 개선되었다. 빌릭과 M. T. 레이시는 하나의 로그파워에 도달했다. s > 2에 대해 가장 잘 알려진 바운드는 만기 D이다. 빌릭과 M. T. 레이시와 A. 바하르샤키안^[2] s > 2의 경우 t > 0이 있으므로 다음과 같다.

${\displaystyle D_{{N}^{*}(x_{1},\ldots,x_{N})\geq t{\frac {\log ^{\frac {s-1}{2}}+t}{N}}}}}}}$

모든 유한 점 집합 {x₁, ..., x_N}에 대해.

저점화 시퀀스 구축

임의의 숫자의 분포는 균일한 분포에 매핑될 수 있고, 퀘이란돔 번호는 동일한 방식으로 매핑될 수 있기 때문에, 이 글은 다차원 균일 분포에 대한 퀘이란돔 번호의 생성에 대해서만 다룬다.

다음과 같이 알려진 시퀀스의 구조가 있다.

${\displaystyle D_{N}^{*}(x_{1},\ldots,x_{N})\leq C{\frac {(\lnN)^{{N}}}.}$

여기서 C는 순서에 따라 일정한 상수다. 추측2 이후, 이러한 시퀀스는 가능한 최고의 수렴 순서를 가진 것으로 여겨진다. 아래의 예로는 반 데르 코퍼트 시퀀스, 할튼 시퀀스, 소볼 시퀀스가 있다. 한 가지 일반적인 한계는 공사방식이 보통 융합질서만 보장할 수 있다는 점이다. 실제로 낮은 불일치는 N이 충분히 큰 경우에만 달성될 수 있으며, 큰 경우 이 최소 N은 매우 클 수 있다. 즉, 예를 들어 s=20 변수 및 낮은 점수의 시퀀스 발생기에서 N=1000 포인트로 몬테카를로 분석을 실행하면 매우 작은 정확도 향상만 제공할 수 있다.

난수

Quasirandom 숫자의 순서는 무작위 숫자에 음의 상관관계를 부과함으로써 난수로부터 생성될 수 있다. 이를 위한 한 가지 방법은 $[{\displaystyle }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle ,0}$.5${\displaystyle }$)$$${\displaystyle [0,0.5)}$에 r i ${\$ [0$,$$0$.5$)}$의 랜덤 번호 $집합$으로 시작하여 다음을$$ 사용하여${\displaystyle }$[${\displaystyle 0_{}}$ ,${\displaystyle 1}$ )${\displaystyle$ $s_$${i}$에 균일한 쿼시란돔 번호를 $구성$하는 것이다.

${\displaystyle {}_{}}$$s{\displaystyle }$ ${\displaystyle i_{}}$= i ${\displaystyle i}$ 홀수의$$ ${\displaystyle {경우}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$$i}=$${i}},$${\displaystyle {}_{}}s{\displaystyle {}_{}}$= 0.5 + r i {\$displaystyle s_{$i}=0.5+$r_{i}}}},$ i ${\displaystystystyle$ i$}$의 경우$$.

출발 무작위 번호로 하는 두 번째 방법은 다음과 같이 오프셋 0.5로 무작위 보행을 구성하는 것이다.

${\displaystyle s_{i}=s_{i-1}+0.5+r_{i}{\pmod {1}.\,}$

즉, 앞의 퀘이란돔 숫자를 취하여 0.5와 난수를 더하고 결과 모듈로 1을 취한다.

둘 이상의 차원에 대해 적절한 차원의 라틴 사각형을 사용하여 전체 도메인을 균등하게 커버할 수 있도록 오프셋을 제공할 수 있다.

가법재발

불합리한 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$의 경우$$시퀀스

${\displaystyle s_{n}=\{s_{0}+n\properties \}}}$

$1{\displaystyle \mathrm{}}$/ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 1/N}$에 해당하는 불일치를 가지고 있음$.$ 시퀀스는 다음에 의해 반복적으로 정의될 수 있음

${\displaystyle s_{n+1}=(s_{n}+\properties ){\bmod{\,}$

$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$의 좋은 값은 일련의 독립된 균일한 무작위 숫자보다 낮은 불일치를 제공한다$$.

불일치는 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$의 근사 지수를 통해 경계할 수 있다$.$ 근사 지수가 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu$$\}$인 경우, 모든 > ${\displaystyle \varepsilon$ >$0$에 대해 다음과 같은 한계값을 유지한다.^[3]

${\displaystyle D_{N}(s_{n})=O_{\varepsilon }(N^{-1/(\mu -1)+\varepsilon }).}$

Thue-Siegel-Roth 정리에서는 불합리한 대수 숫자의 근사 지수를 2로 하여 $위$의 N${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$+ ${\displaystyle {\epsilon }^{}}$ ${\$의 경계를 제공한다.

위의 반복 관계는 낮은 품질의 유사수 생성기인 선형 결합 생성기가 사용하는 반복 관계와 유사하다.^[4]

${\displaystyle r_{i}=(ar_{i-1}+c){\bmod{m}}$

위의 낮은 불일치 가법 반복의 경우 a와 m을 1로 선택한다. 단, 이것은 독립된 난수를 생성하지 않으므로 독립성을 요구하는 목적에 사용해서는 안 된다는 점에 유의한다.

불일치가 가장$$ 낮은 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$ 값은 황금 비율의 부분:^[5]

${\displaystyle c={\frac {{\sqrt{5}-1}{2}}=\varphi -1\ 약 0.618034.}$

거의 좋은 또 다른 값은 은비율의 분수 부분인데, 이 부분은 2의 제곱근의 분수 부분이다.

${\displaystyle c={\sqrt{2}}-1\약 0.414214.\,}$

둘 이상의 차원에서는 각 차원마다 별도의 퀘이란돔 숫자가 필요하다. 사용하기에 편리한 값 집합은 두 개에서 제곱근으로, 모두 모듈로 1을 취한다.

${\displaystyle c={\sqrt{2},{\sqrt{3},{\sqrt{5},{\sqrt{7},{\sqrt{11},\ldots \,}$

그러나 일반화된 황금 비율에 기초한 일련의 값은 더 고르게 분포된 점을 산출하는 것으로 나타났다. ^[6]

가성 번호 생성자 목록에는 독립적인 가성 번호 생성 방법이 나열되어 있다. 참고: 몇 가지 차원에서는 재귀적 재발이 균일한 품질의 집합으로 이어지지만, 더 큰 s(s >8)의 경우 다른 점 세트 발생기는 훨씬 더 낮은 불일치를 제공할 수 있다.

판데르 코퍼트 수열

내버려두다

${\displaystyle n=\sum _{k=0}^{L-1}d_{k}(n)b^{k}}}}}$

양의 정수 n ≥ 1의 b-ary 표현이다, 즉 0 ≤ d_k(n) < b. 세트

${\displaystyle g_{b}(n)=\sum _{k=0}^{L-1}d_{k}(n)b^{-k-1}.}$

그러면 (g_b(n)_{n ≥ 1}만족하는 b에만 의존하는 C가 상수다.

${\displaystyle D_{N}^{*}(g_{b}(1),\dots,g_{b}(N))\leq C{\frac {\log N},}$

여기서 D는^*_N 별의 불일치다.

핼턴 수열

Halton 시퀀스는 밴 데어 코퍼트 시퀀스를 보다 높은 차원으로 자연스럽게 일반화한 것이다. 임의의 차원이자 b₁, ..., b는_s 1보다 큰 임의의 복사 정수가 되자. 정의

${\displaystyle x(n)=(g_{b_{1}:{1}(n),\cHB,g_{b_}}}(n).}$

그러면 b₁, ..., b에만_s 의존하는 상수 C가 존재하는데, 그런 식으로 시퀀스 {x(n)}_n≥1이(가) 다음과 같은 s차원 시퀀스가 있다.

${\displaystyle D_{N}^{*(1),\dots,x(N)\leq C'{\frac {(\log N)^{{N}}}.}$

해머슬리 세트

b₁, ...b는_s−1 1보다 큰 양의 정수를 조합하도록 한다. 주어진 s와 N의 경우 N 크기의 s차원 해머슬리 세트는 다음과 같이^[7] 정의된다.

${\displaystyle x(n)=(g_{b_{1}:{1}(n),\dots,g_{b_{s-1}(n),{\frac {n}{N}}}}}}}}$

n = 1, ..., N에 대해. 그러면

${\displaystyle D_{N}^{*(1),\dots,x(N)\leq C{\frac {(\log N)^{s-1}{N}}}}$

여기서 C는 b₁, ..., b에만_s−1 의존하는 상수다. 참고: 공식을 보면 해머슬리 세트가 실제로는 할튼 수열이지만 우리는 선형 스위프를 추가함으로써 한 차원 더 공짜로 얻는다. 이것은 N이 먼저 알려져야 가능하다. 선형 집합은 또한 일반적으로 가능한 가장 낮은 1차원 차이를 가진 집합이다. 불행하게도, 더 높은 차원에 대해서는, 그러한 「점용 기록 세트」는 알려져 있지 않다. s = 2의 경우, 대부분의 낮은 점용점 세트 생성기는 최소 최소에 가까운 불일치를 제공한다.

소볼 수열

Sobol 시퀀스의 Antonov-Salev 변형은 0과 1 사이의 숫자를 방향 번호로 불리는$$ $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$의 특별한 이진 분율, ${\displaystyle V_{}}$ i${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$… ,$$w {\$displaystyle$ ${i_},i=1,2$,\$dots ,w}$에서$$직접 $길이$의 이진 분수로 생성한다. $방향{\displaystyle }$ 번호를 선택하기 위해 i {\$displaystyle i}$, $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle (i}$) ${\displaystyle G(i$의 회색 코드 비트를 사용한다$.$ Sobol 시퀀스 값 $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$를 가져오려면 적절한 방향 번호를 가진$$ $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$의 그레이 코드의 이진수 값 또는 배타적 값을 사용하십시오$$. 필요한 치수 수는 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 선택에 영향을 미친다$.$

포아송 디스크 샘플링

포아송 디스크 샘플링은 비디오 게임에서 무작위로 보이는 방식으로 물체를 빠르게 배치하지만 두 점마다 지정된 최소 거리만큼 분리되도록 보장하는 방식으로 인기 있다.^[8] 이것은 낮은 불일치를 보장하지는 않지만(예: Sobol), 적어도 순수한 무작위 샘플링보다 훨씬 낮은 불일치를 보장한다. 이러한 샘플링 패턴의 목표는 소위 "파란 잡음" 패턴의 일종인 불일치보다는 주파수 분석에 기초한다.

그래픽 예제

아래에 표시된 점들은 소볼 유형의 첫 번째 100, 1000, 10000 원소들이다. 비교를 위해, 유사점 순서의 10000개 요소도 표시된다. 낮은 점유의 순서는 TOMS 알고리즘 659에 의해 생성되었다.^[9] Fortran의 알고리즘 구현은 Netlib에서 이용할 수 있다.

참고 항목

• 불일치 이론
• 마르코프 체인 몬테카를로
• 준몬테카를로법
• 스파스 그리드

메모들

참조

• 요제프 딕과 프리드리히 필리히샤머, 디지털 네트와 시퀀스. 불일치 이론과 준몬테 카를로 통합, 캠브리지, 캠브리지, 2010, ISBN 978-0-521-19159-3
• Kuipers, L.; Niederreiter, H. (2005), Uniform distribution of sequences, Dover Publications, ISBN 0-486-45019-8
• 하랄드 니더레이터. 무작위 번호 생성 및 준몬테 카를로 방법. 공업 및 응용 수학 협회, 1992. ISBN 0-89871-295-5
• 마이클 드모타와 로버트 F. 티치, 시퀀스, 불일치 및 애플리케이션, 수학 강의 노트, 1651, 스프링어, 베를린, 1997, ISBN 3-540-62606-9
• 윌리엄 H. 프레스, 브라이언 P. 플래너리, 사울 A. Teukolsky, William T. 숙달. C의 수치적 조리법 영국 케임브리지: 케임브리지 대학 출판부, 1992년 2월호. ISBN 0-521-43108-5 (저점자 시퀀스에 대한 기술적 논의는 섹션 7.7 참조)

외부 링크

• ACM의 수집 알고리즘 (알고리즘 647, 659, 738 참조)
• GNU 과학 도서관의 준랜덤 시퀀스
• FinancialMathematics의 제약에 따라 준랜덤 샘플링.컴
• Sobol 시퀀스의 C++ 생성기