리우빌 수

수 이론에서, Louville 번호는 모든 양의 정수 n에 대해, q > 1을 가진 한 쌍의 정수(p, q)가 존재하는 속성을 가진 실제 숫자 x이다.

< - < > ${\$ 0$<\좌측$ x-${\frac {p}{q}}}\우측 <{\frac {1}{q^{n$

리우빌 수치는 "거의 합리적"이며, 따라서 이성적인 숫자의 순서에 의해 "밀접하게" 추정될 수 있다. 그것들은 정확히 어떤 대수적 비합리적 숫자보다 합리적인 숫자로 더 가깝게 근사하게 추정될 수 있는 초월적 숫자들이다. 1844년 조셉 리우빌은 모든 리우빌 숫자가 초월적이라는 것을 보여줌으로써 처음으로 초월적 숫자의 존재를 확립했다.^{[1][citation needed]}

그러나 π과 e는 리우빌 숫자가 아니다.^[2]

리우빌 숫자의 존재(리우빌의 상수)

여기서 우리는 그러한 숫자들을 생산하는 건축물을 전시함으로써 Louville 숫자가 존재한다는 것을 보여준다.

모든 k에 대해_k ∈ {0, 1, 2, …, b - 1}, 무한히 많은 k에 대해 ≠ 0과 같은_k 정수 b ≥ 2와 정수 순서(a₁, a₂, a, …, )에 대해 숫자를 정의한다.

${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\inflt }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}.}$

b = 10 및 a_k = 1일 때 모든 k에 대해 결과 숫자 x를 Louville의 상수라고 한다.

L = 0.1100010000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000...

x의 정의에서 그 base-b의 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle x=\left(0.a_{1}a_{2}000a_{3}00000000000000000a_{4}0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000a_{5}\ldots \right)_{b}\;}$

n번째 학기가 (n!)번째 학기가 (n!)번째 학기가 있는 곳

이 base-b 표현은 반복되지 않기 때문에 x는 합리적인 숫자가 아니다. 따라서 합리적인 수 p/q에 대해서는 x - p/q > 0이 있다.

이제 정수 n ≥ 1에 대해 다음과 같이 q와_n p를_n 정의한다.

${\displaystyle q_{n}=b^{n!}\,;\frac p_{n}=q_{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}}=\sum _{k=1}^{n}{a_{k}{b^{n!-k!}\;.}$

그러면

${\displaystyle {\frac{p_{n}}0<\왼쪽 x-{p_{n}}}\오른쪽 &=\왼쪽 x-{\frac {q_{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac{a_}}{b^{k!}}}{q_{n}}\오른쪽 =\왼쪽 x-\sum _{k=1}^{n}{\frac{a_{k}}{b^{k!}}}\오른쪽 =\왼쪽 \sum _{k=1}^{\inflt }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\오른쪽 =\왼쪽(\sum _{k=1}^{n}{\frac{a_{k}}{b^{k!}}}+\sum _{k=n+1}^{\inflt }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\오른쪽)-\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}{b^{k!}}}\오른쪽 =\sum _{k=n+1}^{\inflt }{\frac{a_{k}}{b^{k!}}}\\[6pt]&\leq \sum _{k=n+1}^{\inflt }{\frac{b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=(n+1)!}^{\n+1){\frac {b-1}{b^{k}}={\frac {b-1}{b^{b^{(n+1)!}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!+1}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!+2}}}+...={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}b^{0}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{1}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}b^{2}}:}+...={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}}\sum _{k=0}^{\nflac {1}{b^{k}}\\[6pt]&={\frac {b-1}{b^{n+1)!}}}\cdot {\frac {b}{b-1}={\frac {b}{b^{(n+1)!}}}\leq {\frac {b^{n!}}{b^{(n+1)!}}}={\frac{1}{b^{(n+1)!-n!}}}={\frac{1}{b^{(n+1)n!-n!}}}}={\frac{1}{b^{n(n!)+n!-n!}}}={\frac{1}{b^{(n!)n}}={\frac {1}{{q_{n}^{n}}}\end{aigned}}}}}}}}}}$

따라서 우리는 그러한 x는 모두 리우빌 숫자라고 결론짓는다.

증빙서

1. 불평등 $\sum {\displaystyle \underset{k}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}}$+ 1${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}\frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}^{}}}$ k ${\displaystyle \frac{k^{}}{}}$ !${\displaystyle \frac{{}^{}}{}\underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{k}}}$= n${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$+ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}\frac{}{}}$ -${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{k^{}}{}}$ ! ${\$ \sum $_{k=n+1}^{\frac$ {$a_{k}}{b^{$b^{$k!$$}}}\leq \sum _{k=n+1}^{\inflt }{\frac {b-1}{b^{k!$∈{0, 1, 2, …, b-1}부터_k 모든 k에 대해$$∈{0, 1, 2, …, b-1}이(가) 있으므로$$ 기껏해야_k a = b-1이다. 정수의 순서(a₁, a₂, a, …)가 (b-1, b-1, ...), 즉, a_k = b-1, 모든 k. $\sum {\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ k${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}}$+ 1${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}\frac{k^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}^{}}}$! ${\$인 경우 가능한 가장 큰 합이 발생할 수 있다.따라서 $}}}$은(는) 가능한 이 최대 금액보다 작거나 같을 것이다$$.
2. 강한 불평등 = n+ - 1 < k=( + ) !b - 1 ${\${\$begin{aigned}\sum _{k=n+1}^{\frac {b-1}{b^{$b^{$k!$$}}}<\sum _{k=(n+1)!$$}^{\infully }{\frac {b-1}{b^{k}}}\end{arged}}}$는 시리즈를 우리가 공식을 알고 있는 시리즈로 축소하여 제거하려는 의욕에서 따온 것이다. In the proof so far, the purpose for introducing the inequality in 1. comes from intuition that ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{b^{k}}}={\frac {b}{b-1}}}$ (the geometric series formula); therefore, if we can find an inequality from ${$$\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\inflt }{\frac {a_{k}}{b^{k!$분자에$$(b-1$$)이 들어간 시리즈를 소개하고, 분모 용어 ${\displaystyle b^{}}$ $!{\$ b$^{k!$$}}$to ${\displaystyle b^{k}}$, as well as shifting the series indices from 0 to ${\displaystyle \infty }$, then we will be able to eliminate both series and (b−1) terms, getting us closer to a fraction of the form ${\displaystyle {\frac {1}{b^{(exponent)*n}}}}$, which is the end-goal 증거의 우리는 여기서 $\sum {\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{k}}}$= n${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$+ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}\frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{k!}^{}}{}}$ ${\$ \sum $_{k=n+1}^{\frac {b-1}{b^{k!$$}}}}}$ 부분$$ 합계. $\sum {\displaystyle \underset{k}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}}$+ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}\frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{k!}^{}}{}}$ ${\$\sum $_{k=n+1}^{\inflt }{\frac {b-1}{b^{k!$$\}\}\}\},$ b ≥ 2 이후 - b- ${\${\$frac{b-1}{b^{k!$$}}{\frac{b-1}{b^{k$ 모든 k에 대해(n=1일 경우는 제외). 따라서 = n+ - ! < k= n+ b - ${\$$}}}<}}<{k=n+$1}^{\$inflt }{b-1}{b^{k}}}\end{$aigned$}}}}}}}($n=1이라 하더라도 이후의 모든 용어가 더 작기 때문이다). k가 0에서 시작되도록 지수를 조작하기 위해${\displaystyle \underset{wek}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}}$+ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}\frac{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ b${\displaystyle \frac{}{}}$- 1 ${\displaystyle \frac{b^{}}{}}$ ${\$또한 모두 양의 계열의 부분 합계보다 작음) 내에서 부분 합을 선택한다. k=0으로 새로운 시리즈를 쓰려는 동기에서 $비롯되는{\displaystyle {}^{}}$k = (n+1)로 시작하는 부분 합을 선택한다. 즉 b (${\displaystyle n^{}}$+ ${\displaystyle {1)!}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$+ 1${\displaystyle {)!}^{}}$ ${\displaystyle {b\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\$$}}=b^{(n+1)!$$}}b^{0$
3. 최종 불평등 $b{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{{(\mathrm{n}}^{}}{}}$+ 1 )${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$!${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$! b ${\displaystyle n\frac{{}^{}}{}}$ ! b ${\displaystyle \frac{{(}^{}}{{}^{}}}$ +${\displaystyle \frac{1^{}}{}}$) !${\$!$}}}\leq {\frac {b^{n!$$}}{b^{(n+1)!$$}}}}{$${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$$^\{$b^{{b${\displaystyle \frac{{^\{}^{}}{}}$n$+$)를 조작하고 싶어서 이 특정한 불평등(b ≥ 2, 여기서 n=1)을 선택했다${\displaystyle \frac{{!}^{}}{}}$ ${\$${\displaystyle \frac{{\}\}\}\}\}\{\{b}^{}}{}}$^{{$^{(약칭)*n$}}}}}}{\displaystyle{\frac{1}{b^{{n$\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}.$ 이 특별한 불평등은 우리가 (n+1)과 분자를 제거할 수 있게 해주며, (n+1)! – n! = (n!)n의 특성을 이용하여 분모를 $대체{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q^{}}$ =${\displaystyle {}_{}}$b ${\displaystyle {}^{!}}$ ${\$$}}$.

불합리성

${\displaystyle 여기}$서 c와${\displaystyle }$d가 정수인 x =c${\displaystyle }$/ d,$${\$displaystyle$~x$=c/d~~,},$ > 0$,$ {\$displaystyle ~d>0,}$은(는) Louville 숫자를 정의하는 불평등을 충족시킬 수 없음을 보여 준다. ${\displaystyle 모든}$ 합리적인 숫자는 c${\displaystyle }$/ ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle ~c/d~~}$로 나타낼 수 있으므로, 우리는$$ 어떤 Liouville 번호도 합리적일 수 없다는 것을 증명할 것이다.

보다 구체적으로, 우리는 어떤 긍정적인 정수 n에 충분한 2n− 1>d>0{\displaystyle ~2^{n-1}>, d>, 0~}[동등하게, 어떤 긍정적인 정수 n을을 위해;1+로그 2⁡(d){\displaystyle ~n>, 1+\log_{2}(d)~})], 정수의 없는 한쌍{\displaystyle ~(\,p,\,q\,)~}전 남편(p, q)을 보여 준다.ists이simultan우열을 가리는 불평등 한 쌍을 훌륭하게 만족시키다.

${\displaystyle 0<\p-{\frac {\,p\}}{q}\right <{\frac {1}{1}{\;q^{n}\,}}}$

주장이 사실이라면 소기의 결론은 뒤따른다.

p와 q는 > 1.${\displaystyle ~q >1.}$ 그러면 우리는,

${\displaystyle \p-{\frac {\,p\,}{q}\right =\p}\frac {\,c\,}{d}-{d}-{d}-{d}}\frac {\, c\,q-d\,p\}}{d\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"$

${\displaystyle c}$ ${\displaystyle q}$ -${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathrm{p}}$= 0${\displaystyle \text{,}}$ ${\displaystyle \left c\,q-d\,p\right =0~,}$이(가) 있으면 다음과$$ 같이 하십시오.

${\dplaystyle \왼쪽 x-{\frac {\,p\,}{q}\right ={\frac {\, c\,q-d\,p\,}{d\,q}=0~}$

이러한 정수 쌍${\displaystyle (p}$ ,${\displaystyle q}$) ${\$이(가) n의 어떤 선택에도 관계 없이 Louville 숫자의 정의에서 첫 번째 불평등을 위반한다는$$ 것을 의미한다.

If, on the other hand, since ${\displaystyle ~\left c\,q-d\,p\right >0~,}$ then, since ${\displaystyle c\,q-d\,p}$ is an integer, we can assert the sharper inequality ${\displaystyle \left c\,q-d\,p\right \geq 1~.}$ From this it follows that

${\displaystyle \frac \{\p\}{q}\right ={\frac {\, c\,q-d\,p\,p\}{d\}\q\}\geck {1}{1},d\,q\,}}}}}$

정수 > 1+ ⁡ () ,${\displaystyle ~n>1+\log _{2}(d)~,}$에 대해 위의 마지막 불평등이 암시한다.

${\displaystyle \x-{\frac {\,p\,}{q}}}{q}\오른쪽 \geq {1}{1}{{1},d\,q\}}}}{\frac {1}{1},}}}$

따라서 c - > 0 ${\$ c$\,q-d\,$$p$\,$p$$\$right $>0$$~}$의 경우 그러한 정수 쌍$q$)은$$일부 양의 정수 n에 대해 Louville 번호의 정의에서 두 번째 불평등을 위반할$$ 수 있다.

> ,${\$$displaystyle ~(\,p,\,q\,)~},$ 이러한$$ ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle c}$/ ${\displaystyle d\text{,}}$ ${\displaystyle$~$q>1,},$ 류빌 번호로$$ 적격인 정수${\displaystyle (p,}$ ${\displaystyle q}$,$q, d)$가 없다는 결론을 내린다.

따라서, Louville 번호가 존재한다면, 합리적일 수 없다.

(Louville 상수에 관한 부분은 Louville 번호의 구성을 보여줌으로써 Louville 번호가 존재함을 증명한다. 이 절에 제시된 증거는 이 숫자가 비이성적임에 틀림없음을 암시한다.)

마운트 해제성

예를 들어 숫자를 고려하십시오.

3.1400010000000000000000050000....

3.14(3 0)1(17 0)5(95 0)9(599 0)2(4319 0)6...

여기서 자릿수는 위치 n!을 제외하고 0이며, 자릿수는 expansion의 소수점 확장에서 소수점 다음의 n번째 자릿수와 같다.

Louville 숫자의 존재에 관한 섹션에서 알 수 있듯이, 이 숫자와 마찬가지로 0이 아닌 숫자가 유사한 위치에 있는 다른 비종속적 소수점은 Louville 숫자의 정의를 만족한다. Null이 아닌 숫자의 모든 시퀀스의 집합은 연속체의 카디널리티를 가지기 때문에, 모든 Louville 숫자의 집합에서도 같은 일이 일어난다.

게다가, Louville 숫자는 실수의 집합의 밀집된 부분집합을 형성한다.

리우빌 숫자와 치수

측량 이론의 관점에서 볼 때, 모든 Louville 번호 L의 집합은 작다. 더 정확히 말하면, 그것의 르베그 측도인 λ(L)은 0이다. 제시된 증거는 존 C의 몇 가지 아이디어를 따른다. 옥스토비.^{[3]: 8}

n > 2 및 q ≥ 2 세트 양의 정수인 경우:

${\displaystyle V_{n,q}=\빅컵 \limits _{p=-\inflit }^{p}-{p}-{1}{q^{n}}},{\frac{p}}+{\frac {1}{q^{n}}}\rig)}}$

우리는 가지고 있다.

${\displaystyle L\subseteq \bigcup _{q=2}^{\infit }V_{n,q}.}$

각 양의 정수 n ≥ 2와 m ≥ 1에 대해 우리는 또한

${\displaystyle L\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }V_{n,q}\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }\bigcup \limits _{p=-mq}^{mq}\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right).}$

이후

${\displaystyle \왼쪽 \frac\{p}}{q}}+{\frac {1}{q^{n}\오른쪽)-\왼쪽 \frac\frac {p}{p}-{1}{q^{n}}\오른쪽 ={\frac {2}{q^{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고 n > 2가 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu (L\cap (-m,\,m))&\leq \sum _{q=2}^{\infty }\sum _{p=-mq}^{mq}{\frac {2}{q^{n}}}=\sum _{q=2}^{\infty }{\frac {2(2mq+1)}{q^{n}}}\\[6pt]&\leq (4m+1)\sum _{q=2}^{\infty }{\frac {1}{q^{n-1}}}\leq (4m+1)\int _{1}^{\infty }{\frac {dq}{q^{n-1}}}\leq {\frac {4m+1}{n-2}}.\end{정렬}}}$

지금

${\displaystyle \lim _{n\to \inflt }{\frac {4m+1}{n-2}=0}$

그리고 각 양의 정수 m에 대해 L ∩(-m, m)의 측정값은 0이다. 결과적으로 L도 그랬다.

대조적으로 모든 실제 초월수 집합의 레베그 측정치는 무한하다(대수수 집합은 null 집합이기 때문에).

Louville 번호 집합의 구조

각 양의 정수 n에 대해 설정

${\displaystyle ~U_{n}=\bigcup \limits _{q=2}^{\infty}~\bigcup \limits:0<{\frac{1}{\;{nq^}\,}}\right\}=\bigcup \limits _{q=2}^{\infty}~\bigcup \limits _{p=-\infty}^{\infty}~\left({\frac{p}{q}}-{\frac{1}{q^{n}}}~,~{\frac{p}{\,q\,}}+{\frac{1}{\;{nq^}\,}}년 \left x-{\frac{p}{\,q\,}}\right<>_{p=-\infty}^{\infty}~\left\{x\in \mathbb{R}.권리)\setminus \left\{\frac {p}{\\\,q\,}}}\\오른쪽\}}}$

따라서 모든 Louville 숫자의 집합은 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle ~L~=~\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}~=~\bigcap \limits _{n\in \mathbb {N} _{1}}~\bigcup \limits _{q\geqslant 2}~\bigcup \limits _{p\in \mathbb {Z} }\,\left(\,\left(\,{\frac {\,p\,}{q}}-{\frac {1}{\;q^{n}\,}}~,~{\frac {\,p\,}{q}}+{\frac {1}{\;q^{n}\,}}\,\right)\setminus \left\{\,{\frac {\,p\,}{q}}\,\right\}\,\right)~.}$

각 ${\displaystyle {Un}_{}}$ $displaystyle ~U_{n}~}$은(는) 열린 집합이며, 닫힘에는 구멍이 뚫린 각 간격의$$ ${\displaystyle p}$ /${\displaystyle q}$ ${\$이(가) 모든 합리성이 포함되므로, 실선의 촘촘한 부분 집합이기도 하다. 그런 오픈 밀도 세트, 즉 L은 comeagre, 즉 밀도 G_δ 세트가 많이 만나는 교차점이기 때문이다.

비합리성 측정

실제 숫자 x의 Liouville-Roth 비합리성 측정치(비합리성 지수, 근사 지수 또는 Liouville-Roth 상수)는 합리자에 의해 얼마나 근사하게 추정될 수 있는지를 나타내는 척도다. Generalizing the definition of Liouville numbers, instead of allowing any n in the power of q, we find the largest possible value for μ such that ${\displaystyle 0<\left x-{\frac {p}{q}}\right <{\frac {1}{q^{\mu }}}}$ is satisfied by an infinite number of integer pairs (p, q) with q > 0. μ의 이 최대 값 x.[4]의irrationality 조치:정의된다 246을 위해 어떤 값 μ 이하 이 위어 있는 무한한 집합의 모든 rationals p/q을 만족시키기 위의 불평등한 근사치인데 반대로, 만약 μ 있는 상한 다음에 가장 유한하게 많은(p, q)와 q>0은 만족하고.불평등; 따라서, 반대편 불평등은 q의 모든 큰 값을 지탱한다. 다시 말해서, 실제 숫자 x의 비합리성 측정 μs를 고려하면, 합리적인 근사치 x p p/q, p,q n N이 n + 1의 정확한 소수 자릿수를 산출할 때마다, 우리는 다음과 같이 한다.

${\displaystyle {\frac{1}{10^{n}}\geq \좌측 x-{\frac {p}{q}}\우측 \geq {1}{q^{\mu +\varepsilon}}}}}}}}}}}}$

ε>0의 경우, 기껏해야 한정된 수의 "럭키" 쌍(p, q)을 제외한다.

거의 모든 숫자는 2와 같은 비합리적인 척도를 가지고 있다.^{[4]: 246}

아래는 특정 숫자의 불합리성 측정에 대해 알려진 상하의 표다.

$숫자{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$	비합리성 측정 $\mu {\displaystyle (x}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mu(x)}$		${\displaystyle {}_{}}$ 연속 분수 [ a ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$; a 1, . . ]$displaystyle [a_{0};a_{1};$a_{1},$a_{2},...$$]}$	메모들
	하한	상한
합리적인 숫자 $p{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{q}{}}$ ${\$p}{$q}}$ 여기서$$$$ $p{\displaystyle }$ ,${\displaystyle q\mathbb{},}$ $q, \mathb {Z},$ $q{\displaystyle }$, q, q, q, q, ${\displaystyle \mathrm{q}}$, ${\displaystyle \ne }$ 0 ${\displaystyq\neq$ 0$}$	1		유한 지속 분수.	모든 합리적인 숫자 $p{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{q}{}}$ ${\$은(는) 정확히 1의 비합리성 측도를 가지고$$ 있다. 예로는 1, 2 및 0.5가 있다.
대수학 surd $(\displaystyle a}$	2		무한 지속 분수. 2차적 비합리성이면 주기적이야	Thue-Siegel-Roth 정리에 의해 어떤 대수학 서드의 불합리성 측도는 정확히 2이다. $예$로는 2,${\displaystyle 3\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$ $5$ ${\$과 같은 제곱근과 황금비율 ${\displaystystyle \varphi}$이 있다$.$
${\displaystyle e^{2/k},k\in \mathb {Z} ^{+}}$	2		무한 지속 분수.	무리수의 연분 수 확장의 요소를 n{\displaystyle a_{n}}){\displaystyle)}, 요리 n+d{\displaystyle a_{n}<, cn+d}긍정적인 c{\displaystyle c}과 d{\displaystyle d}, 불합리 정책을 위해μ()))2{\displaystyle \mu())= 오빠<>를 충족해야 한다.2}. 예로는 $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$ 또는$$ $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0{}_{}}$( 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \mathrm{I}{}_{}1{}_{}}$ ( 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle I_{0}(1)/I_{1$}(1)가 $있으며,$ 여기서$$ 계속 분율이 예측 가능하게 동작한다. ${\displaystyle e}$${\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 2]}$ ${\displaystyle 1}$, 2, 1,${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$1, 4,${\displaystyle 1}$, 1, 1,${\displaystyle }$1, 2, 1, 6,${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle e=[2,$1$, 1$, 1, 1, 1$, 1$, 1, 1, 1, 1, 1,$1, 6$, 1, 1, 1, 1, 1,$1$, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,$$2, ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}1}$) 와 I ${\displaystyle 1{}_{}}$( ${\displaystyle 1}$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 2}$; ${\displaystyle 4}$, 6, ${\displaystyle 8}$, ${\displaystyle 10,}$ ${\displaystyle 14,}$ ${\displaystyle 18,}$ ${\displaystyle 22}$, 22${\displaystyle \mathrm{...}}$${\displaystyle I_{0}(1)/I_{1}(1)=[2;4,6,8,10,12,14,16,18,20,22...]}$
${\displaystyle \tanh \left({\frac {1}{k}\오른쪽),k\in \mathb {Z}^{+}}}$	2
${\displaystyle \tan \left({\frac {1}{k}\오른쪽),k\in \mathb {Z}^{+}}}$	2
${\displaystyle h_{q}(1)$[5][6]	2	2.49846...	무한 지속 분수.	${\displaystyle q\in \{\pm 2,\pm$$\backslash \}\}\},$ ${\displaystyle {}_{}{q}_{}(1}$ ) ${\displaystyle h_{q}(1$)은$$$q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ -harmonic$$ 시리즈다$$.
${\displaystyle {\text{ln}}_{q}(2)}$[5][7]	2	2.93832...		$displaystyle q\in \left\{\pm$$\right$ ${\displaystyle {\ln }_{}}$ ${\displaystyle q_{}(x}$) ${\displaystyle \ln _{q}(x)}$는 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ -logarithm이다$$.
${\displaystyle \ln _{q}(1-z)}$[5][7]	2	3.76338...		$displaystyle q\in \left\{\pm$$\right\},$< ${\displaystyle 0<$ z $\leq 1}$
${\displaystyle \ln(2)}$[5][8]	2	3.57455...	${\displaystyle [0;1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,1,,...]}$
${\displaystyle \ln(3)}$[5][9]	2	5.11620...	${\displaystyle [1,10,7,9,2,1,3,1,32,...]}$
$\displaystyle \zeta (3)}$[5]	2	5.51389...	${\displaystyle [1,4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,,...]}$
${\displaystyle {\pi }^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}} 및$$ $\zeta {\displaystyle }$(${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle \zeta (2)}$	2	5.09541...	${\displaystyle [9}$; ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$6,${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 47,}$ ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 8}$,${\displaystyle 1}$, 1,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [9;$ 1,$6,$1,2$,47,1,8,1,1,2$,2$,,...]$ 및$$/} ${\displaystyle [1,1,1,1,4,2,7,1,4,2,...]}$	${\displaystyle {\pi }^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ $\$$pi ^{2$}}$$및$$ $\zeta {\displaystyle }$ ${\displaystyle (2}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \pi \mathrm{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$/ 6 ${\displaystyle \zeta (2)=\pi$ $^{$$2}/6}$은(는$)$ $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ {\$displaystyle$ \mathb {$Q}}$에 대해 선형적으로 종속되어 있다$$$.$
$\displaystyle \pi }$[5][11]	2	7.10320...	${\displaystyle [3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,...]}$	It has been proven that if the series ${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\csc ^{2}n}{n^{3}}}}$ (where n is in radians) converges, then ${\displaystyle \pi }$'s irrationality measure is at most 2.5.[12][13]
${\displaystyle \arctan(1/3)}$[14]	2	6.09675...	${\displaystyle [0;3,9,3,1,5,1,6,3,1,2,,...]}$	${\displaystyle \arctan }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle k}$) ${\displaystyle \arctan(1/k)}$ 형식 중
${\displaystyle \arctan(1/5)}$[15]	2	4.788...	${\displaystyle [0;5,15,6,3,5,3,4,2,65,1,...]}$
${\displaystyle \arctan(1/6)}$[15]	2	6.24...	${\displaystyle [0;6,18,7,1,1,1,1,5,62,2,1,1,...]}$
${\displaystyle \arctan(1/7)}$[15]	2	4.076...	${\displaystyle [0;7,21,8,1,3,1,8,2,6,1,...]}$
${\displaystyle \arctan(1/10)}$[15]	2	4.595...	${\displaystyle [0;10,30,12,1,1,7,3,2,3,...]}$
${\displaystyle \arctan(1/4)}$[15]	2	5.793...	${\displaystyle [0;4,12,5,12,1,1,1,1,3,2,1,,...]}$	${\displaystyle \arctan }$ ${\displaystyle (1}$/ ${\displaystyle 2{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ )${\displaystyle \arctan$(1$/2^{k})$ 형식 중
${\displaystyle \arctan(1/8)}$[15]	2	3.673...	${\displaystyle [0;8,24,10,24,177,1,1,5,1,1,,...]}$
${\displaystyle \arctan(1/16)}$[15]	2	3.068...	${\displaystyle [0;16,48,20,49,1,4,1,3,1,1,1,1,1,,...]}$
${\displaystyle \pi /{\sqrt{3}}$[16][17]	2	4.60105...	${\displaystyle [1,4,2,2,3,7,3,30,...]}$	${\displaystyle \sqrt{\mathrm{2k}}}$- ${\displaystyle \sqrt{1}}$ ${\displaystyle \mathrm{아크탄}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (\frac{}{\sqrt{}}}$- ${\displaystyle \frac{\sqrt{1}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{k}}{}}$- 1${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\$) 형식 중$.$
${\displaystyle {\sqrt {7}\arctanna({{\sqrt {7}/3}}$[17]	2	3.94704...	${\displaystyle [1,10,2,1,2,3,1,3,3,...]}$
${\displaystyle {\sqrt{11}\arctanna({{\sqrt{11}/5}}$[17]	2	3.76069...	${\displaystyle [1,16,2,1,1,3,1,6,1,24,...]}$
${\displaystyle {\sqrt{15}\arctanna({{\sqrt{15}/7}}$[17]	2	3.66666...	${\displaystyle [1,1,22,2,1,1,5,2,3,10,2,...]}$
${\displaystyle {\sqrt{19}\arctanna({{\sqrt{19}/9}}$[17]	2	3.60809...	${\displaystyle [1,1,28,2,1,1,6,1,72,2,1,1,1,...]}$
${\displaystyle {\sqrt {23}\arctanna({{\sqrt {23}/11}}$[17]	2	3.56730...	${\displaystyle [1;1,34,2,1,1,8,1,5,2,...]}$
${\displaystyle {\sqrt{7}\ln \left\frac {4+{\sqrt{7}{3}}}{3}\오른쪽)}$[17]	2	6.64610...	${\displaystyle [2,9,1,1,2,8,2,1,3,2,...]}$	${\displaystyle \sqrt{\mathrm{2k}}}$+ ${\displaystyle \mathrm{1ln}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{2k}}}{}}$+ 1${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{}}}{}}$ k${\displaystyle \frac{\sqrt{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ -${\displaystyle \frac{\sqrt{1}}{}}$) 형식 중 ${\$}-$1}\rig)}$
${\displaystyle {\sqrt{11}\ln \left\frac {6+{\sqrt{11}}{5}}\오른쪽)}$[17]	2	5.82337...	${\displaystyle [2;15,1,1,2,3,2,2,10,1,4,...]}$
${\displaystyle {\sqrt{13}\ln \left\frac {7+{\sqrt{13}}{6}}\오른쪽)}$[17]	2	3.51433...	${\displaystyle [2;18,1,1,2,4,2,5,33,6,2,,...]}$
${\displaystyle {\sqrt{15}\ln \left\frac {8+{\sqrt{15}{7}}\오른쪽)}$[17]	2	5.45248...	${\displaystyle [2,21,1,2,5,4,3,2,1,1,1,,...]}$
${\displaystyle {\sqrt{17}\ln \left\frac {9+{\sqrt{17}}{8}}\오른쪽)}$[17]	2	3.47834...	${\displaystyle [2;24,1,1,2,6,92,3,3,1,16,...]}$
${\displaystyle {\sqrt{19}\ln \left\frac {10+{\sqrt{19}{9}}\오른쪽)}$[17]	2	5.23162...	${\displaystyle [2;27,1,1,2,6,1,3,1,2,1,1,,...]}$
${\displaystyle {\sqrt{21}\ln \left\frac {11+{\sqrt{21}{10}}\오른쪽)}$[17]	2	3.45356...	${\displaystyle [2,30,1,1,2,7,1,1,3,4,63,...]}$
${\displaystyle {\sqrt {23}\ln \left\frac {12+{\sqrt{23}{11}}\오른쪽)}$[17]	2	5.08120...	${\displaystyle [2;33,1,1,2,8,2,2,1,9,4,...]}$
${\displaystyle 5\ln(3/2)}$[17]	2	3.43506...	${\displaystyle [2,36,1,1,2,9,8,5,1,38,1,1,,...]}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {3}\pm \ln(3)}$[15]		4.5586...	${\displaystyle [2;1,10,2,2,1,1,17,1,4,1,...]}$ and ${\displaystyle [0;1,2,1,1,22,14,3,1,1,1,...]}$
${\displaystyle {\sqrt{3}}\ln(2+{\sqrt{3})\pm {\frac {\pi}{\sqrt{3}}}}}}}}}}}}}}$[15]		6.1382...	${\displaystyle [4;10,1,1,5,7,2,2,1,31,2,...]}$ and ${\displaystyle [0;2,7,7,1,1,1,3,9,9,1,...]}$
${\displaystyle \ln(5)+{\frac {\pi }{2}}:}$[15]		59.976...	${\displaystyle [3;5,1,1,1,4,1,2,19,1,3,...]}$
${\displaystyle T_{2}(1/b),b\geq 2}$[18]	2	4	무한 지속 분수.	${\$$=\sum _{n=1}^{\infit }t_{n}b^{$$n-1$$}$1}:{n-1}:{n-1$}$ $여기$서 ${\displaystyle t_{}}$는 Thue-Morse 시퀀스의 n ${\displaystyle$n} -th번째$$ 용어다$$.
기본 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle$ $C_{b$$}$의 챔퍼나운 상수 $C{\displaystyle {}_{}}$ {\${\displaystyle {displaystyle}_{}}$ b\$geq 2$}	$(\displaystyle b)$		무한 지속 분수.	예를 들면 C ${\displaystyle {10}_{}}$=${\displaystyle \mathrm{0.134567891011...}}$${\displaystyle C_{10}=0.123567891011...$$=[0;8,9,1,149083,1,...]}$
Liouville $번호{\displaystyle }$ L ${\displaystyle L}$	$\displaystyle \infit }$		무한 지속 분수, 예측 가능한 동작이 아님.	Louville 숫자는 정확히 무한의 불합리성을 측정하는 숫자들이다.[4]: 248

불합리성근거

비합리성 기반은 J.손도우가^[20] 리우빌 숫자에 대한 비합리성 대책으로 도입한 비합리성의 척도다. 다음과 같이 정의된다.

$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$을(를) 비합리적인 숫자가 되게 하라$$. 이 ${\displaystyle$ $\veta \geq$ 1$}$인 실제 숫자 $\beta {\displaystyle }$ β ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}${\displaystyle $\varepsilon$ >$0}$인 경우 다음과$$ 같은 양의 정수 $q{\displaystyle }$ (${\displaystyle \epsilon }$) ${\displaysty q(\barpsilon$ )가 있다$.$

${\displaystyle \left \alpha -{\frac {p}{q}}\right >{\frac {1}{(\beta +\varepsilon )^{q}}}{\text{ for all integers }}p,q{\text{ with }}q\geq q(\varepsilon )}$,

그 다음에 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta}$을(를) $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$의 비합리성 기반이라고 하며$$ $\beta {\displaystyle (\alpha }$) ${\displaystyle \beta(\display$ style \beta$)}$로 나타낸다.

그러한 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$이(가) 존재하지$$ 않으면 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$을(를$$) 슈퍼 리우빌 번호라고 부른다.

예: The series ${\displaystyle \varepsilon _{2e}=1+{\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {1}{4^{2^{1}}}}+{\frac {1}{8^{4^{2^{1}}}}}+{\frac {1}{16^{8^{4^{2^{1}}}}}}+{\frac {1}{32^{16^{8^{4^{2^{1}}}}}}$$}+\ldots }$ is a super Liouville number, while the series ${\displaystyle \tau _{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{^{n}2}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{2^{2}}}}+{\frac$${1}{$1}{$2^{2$^{$2^{2}}:}+{\frac{1$}{1$}{2^{2^{2}}:}}}}}은$$($${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$}})$ 비합리성 기반인 Louville 번호다.

리우빌 숫자와 초월성

주어진 숫자가 Louville 번호라는 것을 입증하는 유용한 도구를 제공하는 것은 초월적이다. 그러나 모든 초월수가 리우빌 수인 것은 아니다. 모든 Louville 숫자의 지속적인 분수 확장에서의 용어는 무한하다. 카운트 인수를 사용하면 Louville이 아닌 셀 수 없이 많은 초월적 숫자가 존재해야 한다는 것을 보여줄 수 있다. e의 명시적인 지속적 분수 확장을 사용하면 e가 리우빌이 아닌 초월적 숫자의 예라는 것을 보여줄 수 있다. 말러는 1953년 π이 또 하나의 그러한 예라는 것을 증명했다.^[21]

그 증거는 우선 불합리한 대수적 숫자의 속성을 확립함으로써 진행된다. 이 속성은 기본적으로 비합리적인 대수적 숫자는 합리적인 숫자로 잘 근사할 수 없다고 말하는데, 여기서 "잘 근사치"에 대한 조건이 더 큰 분모에 대해 엄격해진다. 리우빌 번호는 비이성적이지만 이 속성을 가지고 있지 않기 때문에 대수학일 수 없고 초월적이어야 한다. 다음의 보조정리법은 보통 리우빌의 정리(다이오판틴 근사치에 관한 것)로 알려져 있으며, 리우빌의 정리라고 알려진 여러 결과가 있다.

아래에서는 어떤 Louville 번호도 대수학일 수 없다는 것을 보여줄 것이다.

보조정리: α가 정수 계수를 가진 도 n > 0의 다항 f의 근원인 불합리한 숫자라면, 모든 정수 p에 대해 q > 0을 갖는 실제 숫자 A > 0이 존재한다.

${\displaystyle \eflapa -{\frac {p}{q}}\오른쪽 >{\frac {A}{q^{n}}}}}}}}}$

보조정리 증명서: M을 간격[α - 1, α + 1]에 걸쳐 f ′(x)의 최대값(f 파생상품의 절대값)이 되게 한다. α₁, α₂, ..., α는_m α와 다른 f의 뚜렷한 뿌리가 되게 하라. 일부 값 A > 0 만족을 선택하십시오.

${\displaystyle A[1,{\frac {1}{M},\왼쪽 \alpha -\alpha _{1}\오른쪽,\왼쪽 \alpha -\alpha _{2}\ldots, 왼쪽 \alpha -\m}\오른쪽 \오른쪽)$

이제 보조정리기와 모순되는 p라는 정수가 존재한다고 가정해보자. 그러면

${\displaystyle \left \alpha -{\frac {p}{q}}\right \leq {\frac {A}{q^{n}}}\leq A<\min \left(1,{\frac {1}{M}},\left \alpha -\alpha _{1}\right ,\left \alpha -\alpha _{2}\right ,\ldots ,\left \alpha -\alpha _{m}\right \right)}$

그러면 p/q는 간격[α - 1, α + 1]에 있고, p/q는 {α₁, α₂, ..., α_m}에 있지 않기 때문에 p/q는 f의 루트가 아니며, α와 p/q 사이에는 f의 루트가 없다.

평균값 정리에 의해 p/q와 α 사이에는 다음과 같은 x가₀ 존재한다.

${\displaystyle f(\displaystyle f(\f({)-ffr\tfrac {p}{q}}=(\displaysy -{p}{p}}})\cdot f'(x_{0})}}}}$

α는 f의 뿌리지만 p/q는 아니기 때문에 f ′(x₀) > 0을 보고 우리는 다음과 같이 재배열할 수 있다.

${\displaystyle \efrac \{p}{q}\right ={\frac {\flac}-falpha\tfrac {p}{p}}}\{p'}{p}}{p}}}}{\frac {frac}{f}}}rig}}right}}}}}}}}}$

현재 f는 form${\displaystyle \underset{i}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{n}}}}$ ${\$c $x$_i 형식이며ⁱ, 여기서 c는_i 정수이므로 f(p/q)를 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle \left f\left({\frac {p}{q}}\right)\right =\left \sum _{i=0}^{n}c_{i}p^{i}q^{-i}\right ={\frac {1}{q^{n}}}\left \sum _{i=0}^{n}c_{i}p^{i}q^{n-i}\right \geq {\frac {1}{q^{n}}}}$

p/q가 f의 루트가 아니고 c가_i 정수이기 때문에 마지막 불평등 보유

그래서 우리는 그 f(p/q) ≥ 1/q를ⁿ 가지고 있다. f ′(x₀) ≤ M은 M의 정의에 의한 것이고, 1/M > A의 정의에 의한 것이므로, 우리는 그것을 가지고 있다.

${\displaystyle \left \alpha -{\frac {p}{q}}\right =\left {\frac {f({\tfrac {p}{q}})}{f'(x_{0})}}\right \geq {\frac {1}{Mq^{n}}}>{\frac {A}{q^{n}}}\geq \left \alpha -{\frac {p}{q}}\right }$

그것은 모순이다. 그러므로, 그러한 p, q는 존재하지 않는다; 보조정리증을 증명한다.

주장 증명: 이 보조정리법의 결과로 x는 Liouville 번호가 되게 하라. 기사 텍스트에서 언급된 바와 같이 x는 비이성적이다. 만약 x가 대수학이라면, 그 다음 보조마사에 의해, 모든 p, q에 대해 어떤 정수 n과 어떤 양의 실제 A가 존재한다.

${\displaystyle \왼쪽 x-{\frac {p}{q}}\오른쪽 >{\frac {A}{q^{n}}}}}}}}$

만약^r 우리가 m = r + n을 Liouville 숫자로 한다면, 여기서 a, b > 1은 다음과 같은 정수로 존재한다.

${\displaystyle \left x-{\frac {a}{b}}\right <{\frac {1}{b^{m}}}={\frac {1}{b^{r+n}}}={\frac {1}{b^{r}b^{n}}}\leq {\frac {1}{2^{r}}}{\frac {1}{b^{n}}}\leq {\frac {A}{b^{n}}}}$

보조정리랑 모순되는군 따라서, Louville 숫자가 존재한다면, 대수학일 수 없으며, 따라서 초월적이어야 한다.

참고 항목

• 브르주노 수
• 디오판틴 근사

참조

외부 링크

• 초월수의 시작