은비

이 글은 검증을 위해 인용구가 추가로 필요하다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. 출처 찾기: "Silver ratio" – 뉴스 · 신문 · 책 · 학자 · JSTOR (2016년 4월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

은비

실버 직사각형
표현
십진법	2.4142135623730950488...
대수형	1 + √2
연속분수	${\displaystyle \textstyle 2+{\putac {1}{2+{\putac {1}{2+{\putac {1}{\ddots }}}}}}}}$
이진수	10.01101010000010011110...
16진법	2.6A09E667F3BCC908B2F...

수학에서, 두 수량의 작은 수량의 비율이 작은 수량의 합에 대한 큰 수량의 비율과 같을 경우, 두 수량은 은비(또는 은 평균)^[1][2]에 있다(아래 참조). 이것은 은비를 불합리한 수학 상수로 정의하는데, 그 값은 1에 제곱근 2를 더한 값으로 약 2.4142135623이다. 그것의 이름은 황금 비율에 대한 암시인데, 황금 비율이 연속 피보나치 숫자의 제한 비율인 것과 유사하게, 은 비율은 연속적인 펠 수의 제한 비율이다. 은비는 Δ로_S 표시된다.

수학자들은 2의 제곱근, 수렴, 사각 삼각수, 펠 수, 옥타곤 등과의 연관성 때문에 (아마도 최근까지 특별한 이름을 붙이지 않은 채) 그리스 시대부터 은비율을 연구해 왔다.

위에서 설명한 관계는 대수적으로 표현될 수 있다.

${\displaystyle {\frac {2a+b}{a}}}}={\frac {a}{b}\equiv \delta _{S}}}$

또는 동등하게

${\displaystyle 2+{\frac {b}{a}}={\frac {a}{b}\equiv \delta_{S}}}$

은비는 또한 단순 연속분수 [2; 2, 2, 2, ...]로 정의할 수 있다.

${\displaystyle 2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots{1}}}}}}}}=\delta _{S}}}}$

이 지속 분수의 수렴(Convergents)2/1, 5/2, 12/5, 29/12, 70/29, ...)는 연속된 Pell 숫자의 비율이다. 이러한 분수는 연속 피보나치 숫자의 비율에 따른 황금 비율의 근사치와 유사하게 은비의 정확한 합리적 근사치를 제공한다.

은색 사각형은 일반 팔각형에 연결되어 있다. 일반 팔각형을 2개의 이소셀 사다리꼴과 직사각형으로 분할하면 직사각형은 가로 세로 비율이 1:Δ인_S 은색 직사각형이고, 사다리꼴의 4면은 1:1:1:Δ의_S 비율이다. 일반 팔각형의 가장자리 길이가 t인 경우 팔각의 간격(상대방 사이의 거리)은 Δt이고_S 팔각의 면적은 2 Δt이다_S².^[3]

계산

비교를 위해, a, b > 0의 두 수량은 다음과 같은 경우 황금비율 φ이라고 한다.

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}}}={\frac {a}{b}=\varphi }$

단, 다음과 같은 경우 은비 Δ이다_S.

${\displaystyle {\frac {2a+b}{a}}}}={\frac {a}{b}=\delta _{S}.}$

동등하게,

${\displaystyle 2+{\frac {b}{a}}={\frac {a}{b}=\delta_{S}}}}$

그러므로

${\displaystyle 2+{\frac {1}{\delta _{S}=\delta _{S}.}$

Δ_S 곱하기 및 재배열하기

${\displaystyle {\delta _{S}^{2}-2\delta _{S}-1=0.}$

2차 공식을 사용하면 두 가지 용액을 구할 수 있다. Δ는_S 양의 수량의 비율이기 때문에, 반드시 양의 수량이므로,

${\displaystyle \delta _{S}=1+{\sqrt{2}}:2.41421356237\dots }$

특성.

숫자-이론적 특성

은비(은비)는 피소-비자야라간수(PV 번호)로, 그 결합액 1 - √2 = -1/Δ_S ≈ -0.41은 절대값이 1보다 작기 때문이다. 사실 그것은 황금 비율 다음으로 두 번째로 작은 2차 PV 수이다. 즉 Δ에서 ⁿ
_S 가장 가까운 정수까지의 거리가 1/Δ ⁿ
_S ≈ 0.41임을ⁿ 의미한다. 따라서 Δ ⁿ
_S, n = 1, 2, 3, ... (토러스 원소로 인식됨)의 분수 부분의 순서가 수렴된다. 특히 이 시퀀스는 같은 분포를 따르는 mod 1이 아니다.

파워스

은비율의 하한력은

${\displaystyle \delta _{S}^{-1}=1\delta _{S}-2=[0;2,2,2,\dots ]\ 약 0.41421}$

${\displaystyle \delta _{S}^{0}=0\delta _{S}+1=[1]=1}$

${\displaystyle \delta _{S}^{1}=1\delta _{S}+0=[2,2,2,2,\dots ]\ 약 2.41421}$

${\displaystyle \delta_{S}^{2}=2\delta_{S}+1=[5;1,4,1,1,\dots ]\ 약 5.82842}$

${\displaystyle \delta \delta _{S}^5\delta _{S}+2=[14,14,14,\dots ]\ 약 14.07107}$

$\delta \delta _{S}^{4}=12\delta _{S}+5=[33;1,32,1,32,\dots ]\ 약 33.97056}$

권력은 패턴으로 계속된다.

${\displaystyle \delta _{S}^{n}=K_{n}\delta _{S}+K_{n-1}$

어디에

${\displaystyle K_{n}=2K_{n-1}+K_{n-2}}$

예를 들어 다음 속성을 사용하십시오.

$\delta \delta _{S}^{5}=29\delta _{S}+12=[82;82,82,\dots ]\ 약 82.01219}$

초기 조건으로 K₀ = 1과₁ K = 2를 사용하면 Binet과 같은 수식이 반복 관계를 해결함으로써 얻어진다.

${\displaystyle K_{n}=2K_{n-1}+K_{n-2}}$

어떤 것이 되느냐

${\displaystyle K_{n}={\frac {1}{2{\sqrt{2}}:\왼쪽(\delta _{S}^{n+1}-{(\delta _{S}}-){n+1}^{n+1}\오른쪽)}}}$

삼각형 특성

은비는 π/8 = 22.5°의 삼각비와 밀접하게 연결되어 있다.

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{8}}={\sqrt{2}}-1={\frac {1}{\frac _}}}}}}}}$

${\displaystyle \frac {\pi }{8}}=\tan {\frac {3\pi }{8}}={\sqrt{2}}+1=\s}}}}$

그래서 옆길이 a인 정규 8각형의 면적은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle A=2a^{2}\cot {\frac {\pi }{8}}}{8}=2}\delta _{s}a^{2}\simeq 4.828427a^{2}.}$

참고 항목

• 금속 평균
• 암만-벤커 타일링

참조

추가 읽기

• Buitrago, Antonia Redondo(2008). "폴리곤, 대각선, 그리고 청동 평균," 넥서스 네트워크 저널 9,2: 건축과 수학, 페이지 321-2. 스프링거 사이언스 & 비즈니스 미디어. ISBN 9783764386993.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Silver Ratio". MathWorld.
• "계속 분수에 대한 소개: 은의 의미", 피보나치 숫자 및 황금 부분.
• 조르지오 피에트로콜라의 타르타펠라고 "은 사각형과 그 배열"