하한 위상

수학에서 하한 위상 또는 오른쪽 반개방 간격 위상은 실제 숫자의 $R$ ${\$에 정의된 위상이며, $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$개방 간격에 의해 생성됨)의 표준 위상과는 다르며, 여러 가지 흥미로운 속성이 있다.그것은 모든 반개방 간격[a,b]에 기초하여 생성된 위상이며, 여기서 a와 b는 실제 숫자다.

결과 위상학적 공간은 로버트 소겐프리 또는 화살표의 이름을 따서 소르겐프리 라인이라고 하며, 때때로 ${\displaystyle {}_{}}$ l ${\$라고 쓰여 있다$.$ 칸토어 세트와 긴 선처럼 소르겐프리 라인은 흔히 일반 위상에서는 그럴듯하게 들리는 많은 추측에 유용한 백례 역할을 한다.$R$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 산물은 소르겐프리 평면으로 알려진 유용한 counterrexample이기도 하다.

완전한 유추에서는 상한 위상 또는 왼쪽 반개방 간격 위상도 정의할 수 있다.

특성.

• 하한 토폴로지는 실수의 표준 토폴로지(개방 구간에서 생성되는)보다 미세하다(개방형 집합이 더 많다).그 이유는 모든 열린 간격은 반쯤 열린 간격의 (계속 무한) 조합으로 쓸 수 있기 때문이다.
• 모든 $실제{\displaystyle }$ a$${\$displaystyle a$} 및$$ $b{\displaystyle }${\$displaystyle$b$\}$에 대해 [${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$ ) ${\$$displaystyle [a,b)}$ 간격이 R l {\$displaystyle \mathb {R} _{l$}($$즉, 열린 상태와 닫힌 상태 모두)에서 열린다.또한$$ 모든 실제$${\$displaystyle a}$에$$대해{ : < < \ \ $\x\in \mathb {R} :x<a\}$ 및${\displaystyle }${${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$: \ ${\displaystyle aa}$ $}{\displaystystyle \{x\in \r}$ :x$\geq$ a$\} 집합$도 열려 $있다$.이는 소르겐프리 선이 완전히 끊겼음을 보여준다.
• $R{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 모든 콤팩트 부분 집합은 최대 카운트 가능한 집합이어야 한다$$.이를 확인하려면 비어 있지 않은 소형 서브셋 C${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ l ${\$$}$ $_{l$ x }} C ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle{\displaystyle }$ x\$in$ C}을(를$)$ $수정$하고 다음과 같은 C ${\$displaystystyle C}의 개방형 커버를 고려하십시오$.$

${\displaystyle {\bigl \{}[x,+\bigl ){\bigr \}\bigl \}{\bigl (}\\\\\bigl)(}\\\\\bigrac {1}{1}{n}}\n\in \mathb {N}{Bigr \}}}}}}}}}}}.}$

$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$이(가) 컴팩트하므로 이 커버에는 유한 서브커버가 있으며, 따라서 ${\displaystyle \mathrm{구간}}({\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$) ,${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle (a(x),x]}$이${\displaystyle (}$가$)$ x {\$displaystyle$ x$\}$와 별도로 C$$ ${\\displaystystyle$ C$}$의 점을 포함하지$$ 않는$$ 실제 숫자 a$)$가 존재한다$.$This is true for all ${\displaystyle x\in C}$. Now choose a rational number ${\displaystyle q(x)\in (a(x),x]\cap \mathbb {Q} }$. Since the intervals ${\displaystyle (a(x),x]}$, parametrized by ${\displaystyle x\in C}$, are pairwise disjoint, the function ${\displaystyle q:C}$${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle Q\mathbb{}}$ ${\$은(는) 주입성이므로$$ $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$은(는) 최대 카운트할 수 있다$$.

• "하한 토폴로지"은 다음과 같은 사실에서 나오는 이름:시퀀스 R에서 만일 그것"오른쪽으로부터 접근 방식 L{\displaystyle L}"나는(_{나는}}은 한계 L{L\displaystyle}는 ϵ 을의 의미하는 한 점인(혹은 순수)()α){\displaystyle(x_{\alpha})};0{\di.spl$aystyle \epsilon >0$$}$에는 0 $displaystyle \alpha _$${$$} 지수$ α α α$$ 0 : $α$< L + \$displaystyle \fall$ \alpha \$geq \lpha_{0}$이 있다.L\leq x_{\alpha}<.L+\epsilon}. 그 Sorgenfrey 라인 따라서 우측 한계 공부하는 데는 만약 f:R→ R\to \mathbb{R}{\displaystyle f:\mathbb{R}}{\displaystyle)}(는 변역 표준 위상을 들고 다니)은 모두 동일한 기능, f{\displaystyle f}의 그 후에 보통 우측 제한)사용될 수 있다.도메인이 하한 토폴로지를 갖추고 코도메인이 표준 토폴로지를 운반하는 경우$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에서 일반적으로 f ${\displaystyle$ f$}$의 제한
• 분리 공리 측면에서 $R{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 완벽하게 정상적인 하우스도르프 공간이다.
• 계수 가능성 공리의 관점에서 R ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ {$R} _{l}$은(는) 첫 번째 카운트 및 분리가 가능하지만$$ 두 번째 카운트는 불가능하다.
• 콤팩트함 속성으로 볼 때, $R{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ {$R} _{$l}}은(는) 린델뢰프 및 파라콤팩트(Paracompact)이지만$$, σ-compact나 국소적 콤팩트(local compact)는 아니다.
• ${\displaystyle {}_{}}$ l {\$displaystyle \mathb {R} _{l}$은(는) 분리 가능한 메트릭 공간은 두 번째로 카운트할 수 있으므로 미터법을 계산할 수 없다$$$.$그러나 소르겐프리 선의 위상은 쿼시메트릭에 의해 생성된다.
• ${\displaystyle {\mathbb{R}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) 배어 공간이다.
• ${\displaystyle {\mathbb{R}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ ^[1]$\mathb {R} _{l}}$에는 연결된 압축이 없다.

참고 항목

• 위상 목록

참조

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446