우카시오비치 논리

In mathematics and philosophy, Łukasiewicz logic (/ˌluːkəˈʃɛvɪtʃ/ LOO-kə-SHEV-itch, Polish: [wukaˈɕɛvitʂ]) is a non-classical, many-valued logic. 그것은 원래 20세기 초 얀 우카시예비치(Jan Wukasiewicz)에 의해 3가지 가치의 논리로 정의되었다;^[1] 그것은 후에 명제적, 1차적으로 모두 무한히 많은 가치의 (모든₀ 유한한 n에 대해) n-값으로 일반화되었다.^[2] ℵ₀ 가치판은 1930년에 우카시오비츠와 알프레드 타르스키에 의해 출판되었다. 그 결과 때로는 우카시오비츠-라고 불린다.타르스키 논리.^[3] 그것은 t-규범 퍼지 로직과^[4] 하위구조 로직의 등급에 속한다.^[5]

이 글은 우카시오비츠(–Tarski) 논리를 그 전체 일반성, 즉 무한 가치 논리로서 제시하고 있다. 3-값 인스턴스화 WW에₃ 대한 기본적인 설명은 3-값 로직을 참조하십시오.

언어

프루카시위츠 논리의 명제적 결합은 시사점 →${\displaystyle \rightarrow$ 부정$$neg {\$displaystyle \neg$ 동등성${\displaystyle }$£ ${\$$displaystyle \$$wedge$$\},$ 약접합사 $\otimes {\displaystyle }$ ${\$$displaystylor$$$$\vee \},$ 약함$.$$e \vee$ $\},$ 강한 절연 $\oplus {\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus$$},$ 명제 상수 ${\$ $1$ ${\$ 접속사 및 분리의 존재는 수축 규칙이 없는 하위구조 로직의 공통적인 특징으로, 우카시오비츠 논리가 속해 있다.

공리

이 절은 유한 값 로직의 추가 공리를 사용하여 확장할 필요가 있다. 덧셈으로 도와줘도 된다. (2014년 8월)

명제 무한 가치 우카시오비츠 논리에 대한 공리의 원래 체계는 시사 및 부정을 원시적 연결체로 사용했다.

${\displaystyle {\reasoned}A&\rightarrow (B\rightarrow A)\\(A\rightarrow B)&\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow C))\\((A\rightarrow B)\rightarrow B)&\rightarrow ((B\rightarrow A)\rightarrow A)\\(\neg B\rightarrow \neg A)&\rightarrow (A\rightarrow B).\end{정렬}}}$

명제적 무한값 우카시오비츠 논리도 단면 t-규격 논리의 공리체계에 다음과 같은 공리를 가미하여 공리화할 수 있다.

부차성

$(A\displaystyle(A\wedge B)\오른쪽 화살표(A\otimes(A\오른쪽 화살표 B))}$

이중 부정

$\displaystyle \neg \neg A\오른쪽 화살표 A.}$

즉, 무한값 우카시오비츠 논리는 기본 t-규격 논리 BL에 이중 부정의 공리를 추가하거나, IMTL 논리에 불능의 공리를 추가함으로써 발생한다.

유한 값 우카시오비치 로직에는 추가적인 공리가 필요하다.

실질가치 의미론

무한값 우카시오비츠 논리는 보초적 미적분학의 문장에 0이나 1뿐만 아니라 그 사이의 어떤 실수도(예: 0.25)의 진리값을 할당할 수 있는 실질값 논리다. 가치평가는 다음과 같은 재귀적 정의를 가지고 있다.

• $displaystyle$이항 연결${\displaystyle }$ive${\displaystyle }$, ${\displaystyle \circ ,}$에 대한 $F_{\circle }(w(\theta ),w$(\phi $)}}$
• $(\displaystyle w(\neg \theta )=)F_{\neg }(w(\theta )),}$
• ${\displaystyle w}$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle w\left\overline$ {$0}\오른쪽)=0$$}$ $및{\displaystyle }$w ${\displaystyle (1\stackrel{}{\mathrm{}}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle w\left\overline {1}=1,}$

그리고 운영의 정의가 다음과 같이 유지되는 경우:

• 시사: ${\displaystyle F_{\\rightarrow }(x,y)=\min\{1,1-x+y\}}$
• 동등성: ${\displaystyle F_{\좌우타로우 }(x,y)=1-x-y }$
• 부정: ${\displaystyle F_{\neg }(x)=1-x}$
• 약한 접속사: ${\displaystyle F_{\wedge }(x,y)=\min\{x,y\}}}$
• 약한 분리: ${\displaystyle F_{\vee }(x,y)=\max\{x,y\}}$
• 강력한 접속사: ${\displaystyle F_{\otimes }(x,y)=\max\{0,x+y-1\}}$
• 강한 분리: ${\displaystyle F_{\oplus }(x,y)=\min\{1,x+y\}.}$

강접합사의$$ $진실함수{\displaystyle {}_{}}$ F${{\$은(는) 우카시오에비치 t-표준이며, 강접합성의$$ $진실함수{\displaystyle {}_{}}$ F$⊕{\$은(는) 이중 t-콘ormm이다. Obviously, ${\displaystyle F_{\otimes }(.5,.5)=0}$ and ${\displaystyle F_{\oplus }(.5,.5)=1}$, so if ${\displaystyle T(p)=.5}$, then ${\displaystyle T(p\wedge p)=$$각각$의 논리적으로 동등한 명제는 T${\displaystyle (}$p ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle p}$)${\displaystyle }$= T(${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathrm{\vee }}$ p ) = T${\displaystyle (}$ p p p${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1\mathrm{}p1}$ p ) = 1$${\$displaystyle$T($p\ve$p)=$0}$인 반면$$, 각 논리적으로 동등한 명제는 $T(\neg$ p$\$$wedge$ \$neg$ p$)=$0}이다.$T$$neg p\vee \neg$ p$)=1}.$

진실함수 $F{\displaystyle {}_{}}$→ ${\$은(는) 우카시오비츠 t-norm의 잔류공이다. 기본 연결부의 모든 진리 기능은 연속적이다.

정의에 따르면, 공식은 [0, 1] 구간에 있는 실제 숫자에 의한 명제 변수의 각 평가에서 1로 평가한다면 무한 가치 우카시오비츠 논리의 상호관계학이다.

유한 값 및 계수 가능한 의미론

실제 가치 의미론(Real-valued semantics Uwkasiewicz(1922년)에 대해 정확히 동일한 가치평가 공식 사용. 또한 (이형성까지) 의미론을 정의했다.

• 도메인을 { 0, 1/(n - 1) 2/(n - 1) ..., 1 }(으)로 선택하여 임의의 유한 집합의 카디널리티 n n 2
• 도메인을 {p/q 0 ≤ p ≤ q로 선택하여 카운트할 수 있는 집합 여기서 p는 음이 아닌 정수이고 q는 양의 정수 }이다.

일반 대수 의미론

우카시오에비치 t-규범에 의해 결정된 표준 실질가치의 의미론만이 우카시오에비치 논리의 가능한 의미론만은 아니다. 명제 무한 가치 우카시오비츠 논리의 일반 대수적 의미론들은 모든 MV-알제브라의 등급에 의해 형성된다. 표준 실질가치의 의미론(standard real-valued semantics)은 표준 MV-algebra라고 불리는 특별한 MV-algebra이다.

다른 t-규범 퍼지 로직과 마찬가지로, 명제 무한 가치의 우카시예비치 논리는 오직 선형 알제어에 관해서뿐만 아니라 논리가 건전한 모든 알제브라(MV-알제브라)의 클래스에 관해서도 완전성을 누린다. 이는 일반적, 선형적, 표준적 완전성 이론에 의해 표현된다.^[4]

다음 조건은 동일하다.

• ${\displaystyle }$명제적 무한 가치 우카시예비치 논리에서는 ${\displaystyle A}$이(가) 입증 가능하다$$.
• ${\displaystyle A}$은(는) 모든 MV-algebras에서 유효함$$(일반적인 완전성)
• ${\displaystyle A}$은(는) 모든 선형 정렬 MV-알게브라스(선형 완전성)에서 유효함$$
• ${\displaystyle \mathrm{표준}}$ MV-알지브라(표준 $완성도$)에서는 {\displaystyle A}이$($가) 유효하다$.$

폰트, 로드리게스, 토렌스는 1984년 무한 가치의 우카시예비치 논리의 대안 모델로 와즈베르크 대수학을 도입했다.^[6]

1940년대 그리고르 모이스일에 의해 그의 우카시오비츠–을 이용하여 n값의 우카시오비츠 논리에 대수적 의미론을 제공하려고 시도하였다.모이실(LM) 대수(모이실이 우카시예비치 알제브라스라 불렀음)는 n ≥ 5의 잘못된 모델인 것으로 밝혀졌다. 이 문제는 1956년 앨런 로즈에 의해 공개되었다. C. C. Chang의 MV-algebra, ℵ-값₀(무한 다값) 우카시오비츠–타르스키 논리는 1958년에 출판되었다. 자명하게 더 복잡하게(완료된) n-값인 우카시예비치 로직의 경우, 적절한 알제브라는 1977년 Revaz Grigolia에 의해 출판되어 MV-algebras라고_n 불렸다.^[7] MV알게브라는_n LM알게브라의_n 하위 등급으로, n≥ 5에 대한 포함이 엄격하다.^[8] 1982년에 Roberto Cignoli는 LM-algebras에_n n-값인 Wukasiewicz 논리에 대한 적절한 모델을 생산해내는 몇 가지 추가적인 제약조건을 발표하였다; Cignoli는 그의 발견을 적절한 Wukasiewicz 알제브라라고 불렀다.^[9]

참조

추가 읽기

• Rose, A.: 1956, Calcul Propositional Imbicatif ℵ₀ Valeurs de Wukasiewicz, C. R. Acad. 파리 243, 1183–1185.
• 로즈, A.: 1978, 추가 ℵ₀ 가치의 공식화 우카시위츠 프로포지엄 칼쿨리, 기호논리학 저널 43(2), 207–210. 도이:10.2307/2272818
• 시뇰리, R, "루카시위츠의 알헤브라는 많은 가치를 지닌 논리 - 역사적 개요". 아귀졸리 외(Eds.) 대수학 및 증명-이론적 논리의 측면, LNAI 4460, 스프링어, 2007, 69-83. doi:10.1007/978-3-540-75939-3-3-3_5