디오판틴 세트

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수학에서 디오판틴 방정식은 P(x₁, ...x, x_j, y_1k, ..., y) = 0(일반적으로 약칭 P(x, y) = 0) 형태의 방정식이며 여기서 P(x, y)는 정수 계수가 있는 다항식이고 여기서 x₁, x는_j 파라미터를 나타내고 y, ..., y는_1k 미지의 것을 나타낸다.

디오판틴 집합은 일부^j 디오판틴 방정식 P(x, y) = 0에 대해 N의 부분 집합이다.

${\displaystyle {\n}\in S\iff(\exists {\bar {m}\in \m}^{k})(P({\bar {n},{\m})=0).}$

즉, 관련된 디오판타인 방정식이 해당 매개변수 값에서 충족될 경우에만 디오판타인 집합 S에 매개변수 값이 있다. S와 실존적 정량화에서 모두 자연수의 사용은 단지 계산성과 모델 이론에서 일반적인 응용을 반영한다. 우리는 디오판틴 정수의 집합에 대해 똑같이 잘 말할 수 있고 자연수에 대한 정량화를 정수에 대한 정량화로 자유롭게 대체할 수 있다.^[2] 또한 P가 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 다항식이라고 가정하고$$ P에 적절한 분모를 곱하여 정수 계수를 산출하는 것으로 충분하다. 그러나 합리성에 대한 정량화가 정수에 대한 정량화로도 대체될 수 있을지는 악명높게도 어려운 문제다.^{[citation needed]}

MRDP 정리에서는 정수의 집합이 계산적으로 열거할 수 있는 경우에만 디오판틴이라고 명시한다.^[3] 정수 S 집합은 정수가 S의 멤버인 경우 정지하고 다른 경우 영구적으로 실행되는 알고리즘이 있는 경우에만 계산적으로 열거된다. 이것은 숫자 이론에 속하는 것으로 보이는 일반 디오판틴 집합의 개념을 오히려 논리적이거나 반복적인 이론적 용어로 취할 수 있다는 것을 의미한다. 그러나 이것은 명백하지 않고, 몇 십 년 동안의 일의 절정을 상징했다.

마티야세비치의 MRDP 정리 완성은 힐베르트의 10번째 문제를 해결했다. 힐버트의 10번째 문제는^[4] 주어진 디오판틴 방정식이 정수들 사이에 해답을 가지고 있는지 여부를 결정할 수 있는 일반적인 알고리즘을 찾는 것이었다. 힐버트의 10번째 문제는 그렇게 형식적인 수학적 진술은 아니지만, 총 계산 가능한 술어를 가진 의사결정 알고리즘의 (철학적) 식별을 거의 보편적으로 수용함으로써 우리는 MRDP 정리를 이용하여 10번째 문제를 해결할 수 없다는 결론을 내릴 수 있다.

예

펠 방정식

${\displaystyle x^{2}-d(y+1)^{2}=1}$

매개변수가 있는 디오판틴 방정식의 예다. $이{\displaystyle }$ 방정식은 매개 변수 d ${\displaystyle d}$이(가) 0이거나 완벽한 정사각형이 아닐 때 정확히$$ 알 수 없는 $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x,y}$에 해법이 있다. 즉, 이 방정식은 세트의 디오판틴 정의를 제공한다.

{0,2,3,5,6,7,8,10,...}

0과 완벽한 정사각형이 아닌 자연수로 구성된다.

디오판틴 정의의 다른 예는 다음과 같다.

• $a{\displaystyle }$= (${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$+${\displaystyle }$3 ) ${\displaystyle y}${\$displaystyle a=(2x+$3)$y}$ 방정식은 a의 검정력이 2가 아닌 $경우$에만 N ${\$에 해법이 있다.
• $a{\displaystyle }$= (${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle 2}$)${\displaystyle }$( y${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle a=(x+2)(y+2)}$ 등식은 a가 1보다 크고 소수일 $때$에만 N$${\$displaysty \mathb {N}$에 해법이$$ 있다.
• ${\displaystyle a}$ +${\displaystyle }x{\displaystyle }$= ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle$ a${\displaystyle +x}$$=b}$ 방정식은 ${\displaystyle \le }$ b${\displaystyle }$. ${\displaystyle$$$displaystyle ($a\...\,b$$)$과 같은$$ 쌍 집합을${\displaystyle \mathrm{정의}}$한다$.$

마티야세비치 정리

마티야세비치-로빈슨-다비스-라고도 불리는 마티야세비치의 정리Putnam 또는 MRDP 정리, 다음과 같이 말한다.

계산적으로 열거할 수 있는 모든 집합은 디오판틴과 그 반대다.

다음과 같은 알고리즘이 있는 경우 정수의 S 집합은 계산적으로 열거된다. 각 정수 입력 n에 대해, n이 S의 멤버라면, 알고리즘은 결국 정지하고, 그렇지 않으면 영원히 실행된다. 그것은 영원히 실행되며 S의 멤버를 나열하는 알고리즘이 있다고 말하는 것과 같다. 집합 S는 정수 계수 f(n₁, x, ..., x_k)가 있는 일부 다항식이 있는 경우 정확히 디오판틴이다. 정수 n은 S에 있고, 정수 x는_1k f(n, x₁, ..., x_k) = 0인 경우에 한한다.

반대로, 모든 세트 디오판토스 계산할 수 있게:디오판토스 방정식=0f(n, x1,..., xk)을 고려해 보세요. 이제 우리는 단순힜고, 모든 시간에 대해 인쇄합니다, x1,...,xk(몇가지 간단한 주문, 미국에서 그들의 절대 값의 합이 증가하는 주문에 일관된)에게 가능한 모든 값는 알고리즘=0. 여f(n, x1,..., xk)을 열거 가능하다.alg은오리템은 분명히 영원히 실행될 것이며, f(n, x₁, ..., x_k) = 0이 x₁, ..., x로_k 솔루션을 갖는 n을 정확하게 나열할 것이다.

증명기법

유리 마티야세비치는 디오판틴 방정식에 대한 해결책이 기하급수적으로 증가할 수 있다는 것을 보여주기 위해 기하급수적으로 증가하는 피보나치 숫자와 관련된 방법을 이용했다. 줄리아 로빈슨, 마틴 데이비스, 힐러리 푸트남(MRDP)의 초기 연구는 계산적으로 열거할 수 있는 모든 세트가 디오판틴이라는 것을 보여주기에 충분하다는 것을 보여주었다.

힐버트의 10번째 문제에 대한 적용

힐버트의 10번째 문제는 디오판틴 방정식의 해결 가능성을 결정하는 일반 알고리즘을 요구한다. 마티야세비치의 결과와 대부분의 반복적으로 열거할 수 있는 언어가 해독할 수 없다는 사실을 결합한 것은 힐버트의 10번째 문제에 대한 해결이 불가능하다는 것을 암시한다.

정제

이후 연구에서는 디오판타인 방정식의 해결능력에 대한 문제가 9개의 자연수 변수(마티야세비치, 1977년) 또는 11개의 정수 변수(Zhi Wei Sun, 1992년)만 있어도 불해독성이라는 것을 보여주었다.

추가 애플리케이션

마티야세비치의 정리는 그 후 미적분과 미분 방정식의 많은 문제들이 해결할 수 없다는 것을 증명하기 위해 사용되었다.

또한 마티야세비치의 결과로부터 괴델의 첫 불완전성 정리를 다음과 같이 더 강한 형태로 이끌어낼 수 있다.

주어진 수 이론의 일관된 공리화에 대응하여,^[5] 해결책이 없는 디오판틴 방정식을 명시적으로 구성할 수 있지만, 그러한 사실은 주어진 공리화 안에서 증명될 수 없다.

불완전성 이론에 따르면, 강력하고도 일관된 공리 이론은 불완전하며, 이는 그 명제들 중 일부의 진리가 형식주의 안에서 성립될 수 없다는 것을 의미한다. 위의 진술은 이 불완전성이 반드시 디오판타인 방정식의 용해성을 포함해야 하며, 문제의 이론이 숫자 이론이라고 가정한다.

메모들

참조

• Matiyasevich, Yuri V. (1970). Диофантовость перечислимых множеств [Enumerable sets are Diophantine]. Doklady Akademii Nauk SSSR (in Russian). 191: 279–282. MR 0258744. 소련 수학 11(2), 페이지 354–357의 영어 번역.
• Davis, Martin (1973). "Hilbert's Tenth Problem is Unsolvable". American Mathematical Monthly. 80: 233–269. doi:10.2307/2318447. ISSN 0002-9890. Zbl 0277.02008.
• Matiyasevich, Yuri V. (1993). Hilbert's 10th Problem. MIT Press Series in the Foundations of Computing. Foreword by Martin Davis and Hilary Putnam. Cambridge, MA: MIT Press. ISBN 0-262-13295-8. Zbl 0790.03008.
• Shlapentokh, Alexandra (2007). Hilbert's tenth problem. Diophantine classes and extensions to global fields. New Mathematical Monographs. Vol. 7. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83360-4. Zbl 1196.11166.
• Sun Zhi-Wei (1992). "Reduction of unknowns in Diophantine representations" (PDF). Science China Mathematics. 35 (3): 257–269. Zbl 0773.11077.

외부 링크

• 마티야세비치 스콜라페디아에 대한 정리 기사.
• Diopantine Set on PlanetMath.