문장(수학적 논리학)

이 글은 술어 논리학의 영역에 있는 기술적 수학적 글이다. 일반적인 영어의 의미는 문장(언어)을 참조하고, 덜 기술적인 입문 기사는 문장(논어)을 참조한다.

수학 논리학에서 술어 논리의 문장(또는 닫힌 공식)^[1]은 자유 변수가 없는 부울 값 잘 형성된 공식이다. 문장은 명제를 표현하는 것으로 볼 수 있는데, 그것은 진실하거나 거짓이어야 한다. 문장들이 구체적이고 고정된 진리 값을 가질 수 있도록 하기 위해 자유 변수가 없다는 제한이 필요하다. (일반) 공식의 자유 변수는 여러 값에 걸쳐 있을 수 있으므로, 그러한 공식의 진리 값은 달라질 수 있다.

그 안에 논리적인 연관성이나 정량자가 없는 문장을 원자문장이라고 한다; 원자 공식과 유사하게. 그리고 나서 문장은 결합체와 정량자를 적용하여 원자 공식으로 만들어진다.

일련의 문장들을 이론이라고 부른다. 따라서, 개별적인 문장들을 이론이라고 부를 수 있다. 문장의 진리(혹은 거짓)를 제대로 평가하려면 이론의 해석을 참고해야 한다. 1차 이론의 경우, 해석을 흔히 구조라고 부른다. 구조나 해석이 주어진다면, 문장은 고정된 진리값을 갖게 될 것이다. 이론은 그 모든 문장이 사실인 해석을 제시할 수 있을 때 만족한다. 모든 문장을 진실이라고 하는 이론의 해석을 자동적으로 발견하기 위한 알고리즘의 연구는 만족도 모듈로 이론의 문제로 알려져 있다.

예

1차 논리에서의 다음 예

${\displaystyle \forall y\forall x(x^{2}=y)}$

문장이야 이 문장은 양의 실수 Ⅱ에서는⁺ 참이고, 실수 Ⅱ에서는 거짓이며, 복합수 Ⅱ에서는 참이다.(일반 영어에서는 해당 구조의 모든 구성원이 그 특정 구조물의 구성원의 제곱이라는 의미로 해석된다.) 반면에 공식은

${\displaystyle \property x(x^{2}=y)}$

자유 변수 y가 있기 때문에 문장이 아니다. 실수의 구조에서 이 공식은 (임의적으로) y = 2로 대체하면 참이지만 y = –2로 대체하면 거짓이다.

결론에 이르지 못한 진리값보다는 자유변수의 존재가 중요한데, 예를 들어, 그 진술이 항상 진실인 복잡한 숫자의 구조에서도 여전히 문장으로 간주되지 않는다. 그런 공식을 대신 술어라고 할 수도 있다.

참고 항목

• 접지식
• 개방식
• 문(로직)
• 프로포지션

참조

• Hinman, P. (2005). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-56881-262-0.
• Rautenberg, Wolfgang (2010), A Concise Introduction to Mathematical Logic (3rd ed.), New York: Springer Science+Business Media, doi:10.1007/978-1-4419-1221-3, ISBN 978-1-4419-1220-6.