기하급수적인 성장

이 그래프는 지수 성장(녹색)이 선형(빨간색) 및 입방형(파란색) 성장을 모두 능가하는 방법을 보여 줍니다.

기하급수적인 성장

기하급수적인 성장은 시간이 지남에 따라 양이 증가하는 과정입니다.시간에 대한 수량의 순간적인 변화율(즉, 미분)이 수량 자체에 비례할 때 발생한다.함수로 설명하면, 지수 성장을 하는 양은 시간의 지수 함수이다. 즉, 시간을 나타내는 변수는 지수이다(2차 성장과 같은 다른 유형의 성장과는 대조적으로).

비례성의 상수가 음수이면 시간이 지남에 따라 양이 감소하고 대신 지수적 붕괴를 겪고 있다고 합니다.동일한 간격을 갖는 정의의 이산 영역의 경우, 함수 값이 기하 급수를 형성하기 때문에 기하학적 성장 또는 기하학적 붕괴라고도 합니다.

$시간$ t가 이산 구간(즉, 정수 곱하기 0, 1, 2, 3, ...)으로 진행됨에 따라 $증가율$ r에서 $변수$ x의 지수적 성장에 대한 공식은 다음과 같다.

x_{t}=x_{0}(1+r)^{t}

$여기$ 서₀ x는 시간 0에서의 x $값$ 입니다.세균 군체의 성장은 종종 그것을 설명하기 위해 사용된다.한 박테리아는 스스로 두 개로 나뉘고, 각각은 네 개, 여덟 개, 열여섯 개, 서른 두 개로 나뉘게 됩니다.증가량은 계속 증가하고 있는 세균의 숫자에 비례하기 때문에 계속 증가하고 있다.이와 같은 성장은 바이러스 감염의 확산, 복리로 인한 부채의 증가, 바이러스 비디오의 확산과 같은 실제 활동이나 현상에서 관찰된다.실제로 초기 지수 성장은 영구히 지속되지 않고 외부 요인에 의한 상한으로 인해 결국 둔화되어 로지스틱 성장으로 전환되는 경우가 많습니다.

"지수적 성장"과 같은 용어는 "급성장"으로 잘못 해석될 수 있습니다.실제로 기하급수적으로 성장하는 것은 처음에는 ^[1]^[2]느리게 성장할 수 있습니다.

예

박테리아는 최적의 조건에서 기하급수적으로 성장한다.

생물학

배양물의 미생물의 수는 필수 영양소가 고갈될 때까지 기하급수적으로 증가할 것입니다. 그래서 더 많은 유기체가 자랄 수 있는 영양소는 더 이상 없습니다.일반적으로 첫 번째 유기체는 두 개의 딸 유기체로 나뉘는데, 이들은 각각 4개로 나뉘고, 8개로 나뉘고, 그 다음에 다시 나뉘게 됩니다.지수 성장은 일정한 성장률을 나타내기 때문에, 지수 성장 셀이 안정된 상태라고 종종 가정합니다.그러나 세포는 신진대사와 유전자 ^[3]발현을 개조하면서 일정한 속도로 기하급수적으로 성장할 수 있다.
바이러스(예: COVID-19 또는 천연두)는 일반적으로 인공 면역이 없는 경우 처음에는 기하급수적으로 확산된다.감염된 사람마다 여러 명의 새로운 사람을 감염시킬 수 있습니다.

물리

유전체 내부의 눈사태 붕괴입니다자유 전자는 외부적으로 인가된 전기장에 의해 충분히 가속되어 유전 매체의 원자 또는 분자와 충돌하면서 추가적인 전자를 해방시킵니다.이러한 2차 전자는 또한 가속되어 더 많은 수의 자유 전자를 생성합니다.결과적으로 전자와 이온의 기하급수적인 성장은 물질의 완전한 유전 파괴로 이어질 수 있습니다.
핵 연쇄 반응(원자로와 핵무기의 배후에 있는 개념).핵분열을 겪는 각 우라늄 핵은 여러 개의 중성자를 생성하며, 각각의 중성자는 인접한 우라늄 원자에 의해 흡수되어 차례로 핵분열을 일으킨다.중성자 흡수 확률이 중성자 탈출 확률(우라늄의 형태와 질량의 함수)을 초과할 경우 중성자 및 유도 우라늄 분열의 생산 속도는 제어되지 않은 반응으로 기하급수적으로 증가한다.기하급수적인 증가율 때문에 연쇄 반응의 어느 시점에서도 에너지의 99%가 지난 4.6세대 동안 방출될 것입니다.첫 번째 53세대는 실제 폭발에 이르는 대기 시간으로 간주하는 것이 적절합니다. 이 기간은 3~^[4]4세대밖에 걸리지 않습니다."
전기 또는 전기음향 증폭의 선형 범위 내에 있는 양의 피드백은 증폭된 신호의 기하급수적인 증가를 초래할 수 있지만, 공진 효과가 신호의 일부 구성 주파수보다 유리할 수 있습니다.

경제학

경제 성장은 지수 성장을 의미하는 백분율로 표현된다.

자금

일정한 금리의 복리는 ^[5]자본의 기하급수적인 성장을 제공한다.규칙 72도 참조하십시오.
피라미드 방식이나 폰지 방식도 이러한 유형의 성장을 보여줌으로써 소수의 초기 투자자들에게는 높은 이익과 다수의 투자자들 사이에서 손실을 초래한다.

컴퓨터 공학

컴퓨터의 처리 능력.무어의 법칙과 기술적 특이성도 참조하십시오.(지수적인 성장에는 특이점이 없습니다.)여기서의 특이점은 상상할 수 없는 미래를 전달하기 위한 은유이다.이 가상의 개념과 기하급수적인 성장의 연결고리는 미래학자 레이 커즈와일에 의해 가장 큰 소리로 만들어졌다.)
계산 복잡도 이론에서, 기하급수적으로 복잡한 컴퓨터 알고리즘은 문제 크기를 지속적으로 증가시키기 위해서만 기하급수적으로 증가하는 자원(예: 시간, 컴퓨터 메모리)을 필요로 한다.따라서 시간 $복잡도 x$ 2 알고리즘의 경우 $크기$ x = $10$ 의 문제가 완료되는 데 10초가 걸리고 $크기$ $x$ = 11의 문제가 20초가 걸리면 $크기$ x = $12$ 의 문제는 40초가 걸립니다.이런 종류의 알고리즘은 보통 30~100개의 매우 작은 문제 크기에서 사용할 수 없게 됩니다(대부분의 컴퓨터 알고리즘은 훨씬 큰 문제, 즉 지수 알고리즘으로는 물리적으로 불가능한 몇 만 개 또는 수백만 개의 항목을 합리적인 시간에 해결할 수 있어야 합니다).또, 무어의 법칙의 효과는, 프로세서 속도를 2배로 하면, 문제의 사이즈를 일정하게 늘릴 수 있기 때문에, 상황에 큰 도움이 되지 않습니다.예를 들어, 느린 프로세서가 x $사이즈$ 의 문제를 $시간$ t로 해결할 수 있는 경우, 2배 빠른 프로세서는 x + $일정$ $사이즈$ 의 문제를 $동시$ 에 해결할 수 있습니다.따라서 기하급수적으로 복잡한 알고리즘은 대부분 실용적이지 않습니다. 보다 효율적인 알고리즘을 찾는 것은 오늘날 컴퓨터 과학의 주요 목표 중 하나입니다.

인터넷 현상

인터넷 밈이나 비디오와 같은 인터넷 콘텐츠는 기하급수적으로 확산될 수 있으며,^[6] 흔히 바이러스의 확산에 비유하여 "소문"이라고 한다.소셜 네트워크등의 미디어를 사용하면, 1명이 같은 컨텐츠를 동시에 많은 사람에게 전달해, 한층 더 많은 사람에게 전파하는 등,^[7] 급속히 확산됩니다.예를 들어, 강남스타일 동영상은 2012년 7월 15일 유튜브에 업로드되어 첫날 수십만 명, 20일째 수백만 명의 시청자를 기록했으며, 두 ^[6]^[8]달도 채 되지 않아 수억 명이 누적 시청했다.

기본식

기하급수적인 증가:

(\displaystyle {aligned}a&=3\b&=2\r&=5\end{aligned})

기하급수적인 증가:

({displaystyle {argined}a&=24\b&=bfrac {1}{2}}\r&=5\end{aligned})

$x$ 는 시간 t에 따라 기하급수적으로 달라진다.

(\displaystyle x(t)=a\cdot b^{t/\display })

여기

서 상수 a는

x

의 초기값입니다.

x(0)=a,

상수

b는 양의 성장인자이고,

θ

는 시간 상수이다. 즉, x가

b

의 1계수만큼 증가하는 데

필요

한 시간:

x(t+\cdot)=a\cdot b^{\frac {t}{\frac }}=a\cdot b^{\frac {t}{\frac }{\cdot }}=x(t)\cdot b.

$> 0$ , $b$ > $1$ 이면 x는 기하급수적으로 증가합니다. $"$ < $0$ $and$ b > $1$ $또는$ " > $0$ $and$ 0 < $b$ < $1$ "일 경우 x는 지수붕괴가 됩니다.

예: 박테리아가 10분마다 두 배씩 증가한다면, 1시간 후에는 몇 개의 박테리아가 존재할까요? $이$ 질문은 a = $1$ , b = $2$ 및 $θ$ = $10분$ 을 $의미$ 합니다.

\displaystyle x(t)=a\cdot b^{t/\cdot}=1\cdot 2^{t/(10cdottext{min}}}}

({displaystyle x(1cdot {hr})=1\cdot 2^{(60cdot {min})}/(10cdot {min})}=1\cdot 2^{6}=64).}

1시간 혹은 6번의 10분 간격 후에 64개의 박테리아가 있을 것이다.

무차원 $비음수$ b와 시간 $θ$ (단위수와 시간 단위의 곱으로 나타낼 수 있는 물리량)의 많은 쌍 $(b, θ$ )은 $로그$ b에 $비례$ 하여 동일한 성장률을 나타낸다.1이 아닌 $고정$ b(예: 또는 2)에 대해 성장률은 0이 아닌 시간 $θ$ 로 주어진다.0이 아닌 시간 $θ$ 에 대해 성장률은 무차원 $양수$ b로 주어진다.

따라서 지수 성장의 법칙은 다른 베이스를 사용함으로써 다르지만 수학적으로 동등한 형태로 작성될 수 있습니다.가장 일반적인 형식은 다음과 같습니다.

x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot 2^{t/T}=x_{0}\cdot \left(1+{\frac {r}{100}}\right)^{t/p

여기

서₀ x는 초기

수량

x(0

)

를 나타냅니다.

매개변수(지수적 붕괴의 경우 음수):

성장 $상수$ k는 $계수$ e에 의한 증가 빈도(단위 시간당 횟수)입니다. 금융학에서는 로그 수익, 연속 복합 수익 또는 관심 힘이라고도 합니다.
e폴딩 시간 is은 e배만큼 증가하는 데 걸리는 시간입니다.
두 배 시간 T는 두 배까지 걸리는 시간입니다.
p $기간$ 의 r(치수가 없는 수)의 증가율.

$k$ , $θ$ , T의 양 및 p에 대해서도 r은 $다음$ 방정식에 의해 주어진 일대일 접속을 가진다(위의 자연대수를 취함으로써 도출할 수 있다).

k=marchfrac {1}{\display}}=marchfrac {\ln2}{T}}=param frac {ln \left(1+{\frac {r}{100}}\right)}{p}

여기

서 k =

0

은 r =

0

에 해당하고

θ

및

T

는 무한에 해당합니다.

p가 시간 단위인 $경우$ , $몫$ $t$ /p는 단순히 시간 단위 수입니다.t $/ p$ 는 $시간$ 자체가 아닌 (차원이 없는) 시간 단위 수 $표기법$ t를 사용하여 t로 $대체$ 할 수 있지만, 여기서는 균일성을 위해 이를 피했습니다.이 경우 마지막 공식에서 $p$ 에 의한 나눗셈도 숫자 나눗셈이 아니라 무차원 수를 단위를 포함한 정확한 양으로 변환한다.

성장률에서 배증시간을 계산하는 일반적인 근사법은 70의 규칙, 즉 $T\simeq 70/r$ 70 $T\simeq 70/r$ / $T\simeq 70/r$ r \ $displaystyle$ T \ $simeq$ 70 $/r$ 입니다.

지수 성장(굵은 선)과 붕괴(흐린 선)의 두 배 시간과 반감기(반감기 선)의 두 배와 70/t 및 72/t 근사치를 비교한 그래프.SVG 버전에서는 그래프 위에 마우스를 올려 그래프와 그 보완을 강조 표시합니다.

로그 선형 성장에 따른 재구성

$변수$ x가 x $x(t)=x_{0}(1+r)^{t}$ ( $x(t)=x_{0}(1+r)^{t}$ ) $x(t)=x_{0}(1+r)^{t}$ $x(t)=x_{0}(1+r)^{t}$ 0 ( $x(t)=x_{0}(1+r)^{t}$ + $x(t)=x_{0}(1+r)^{t}$ ) $x(t)=x_{0}(1+r)^{t}$ {\ $display x$ ( t) = $x_{0} (1+r)^{$ 에 따라 지수 성장 방정식의 양쪽의 대수를 취함으로써 알 수 있듯이 x의 로그는 시간에 따라 선형적으로 성장합니다.

\displaystyle \log x(t)=\log x_{0}+t\cdot \log(1+r)}

이를 통해 지수적으로 증가하는 변수를 로그-선형 모델로 모델링할 수 있습니다.예를 들어, x에 $대한$ 시간 간 데이터에서 증가율을 경험적으로 추정하려면 $t$ 에 대한 로그 x를 $선형$ 으로 회귀시킬 수 있습니다.

미분 방정식

지수 $x(t)=x_{0}e^{kt}$ x ( $x(t)=x_{0}e^{kt}$ $=$ $x(t)=x_{0}e^{kt}$ $x(t)=x_{0}e^{kt}$ $x(t)=x_{0}e^{kt}$ $x(t)=x_{0}e^{kt}$ t ${\$ x $(t$ )= $x_{0}e^{kt}}$ 는 $x(t)=x_{0}e^{kt}$ 선형 미분 방정식을 만족합니다.

{\displaystyle\frac{dt}}=kx}

시간

t에서 x의

순간당

변화는 x

(t)

의

값

에 비례하며

x (t)

의

x(0)=x_{0}

은 x

x(0)=x_{0}

(

x(0)=x_{0}

=

x(0)=x_{0}

({

(0)=

x_{0

임을 나타냅니다.

미분방정식은 직접적분을 통해 해결됩니다.

{\frac {aligned} {\frac {dt} {\frac {dt} {x} {x} {x} {x(t)} {\frac {x} &=k\int {0} {0} {t} {\t} {\frac {d}\end { aligned}

하도록

\displaystyle x(t)=x_{0}e^{kt}}

위의 미분방정식에서는 k < $0$ 이면 $그$ 양은 지수붕괴를 경험한다.

이 성장 모형의 비선형 변동은 로지스틱 함수를 참조하십시오.

기타 증가율

장기적으로는 모든 종류의 지수 성장이 모든 종류의 선형 성장(말서스 대재앙의 기초)과 모든 다항식 성장, 즉 $모든$ α를 능가할 것이다.

\displaystyle \lim _{t\to\infty}{\frac {t^{\alpha}}}{ae^{t}}=0.}

지수보다 느리고 선형보다 빠른(장기적으로는) 생각할 수 있는 성장률의 전체 계층이 있습니다.다항식의 정도 computed 함수값으로 계산하기 참조.

증가율은 지수보다 빠를 수도 있습니다.가장 극단적인 경우, 성장이 유한 시간 내에 제한되지 않고 증가할 때, 그것은 쌍곡선 성장이라고 불립니다.지수 성장과 쌍곡선 성장 사이에는 테트레이션에서 시작하는 하이퍼 $A(n,n)$ 과 A $A(n,n)$ ( $A(n,n)$ , $A(n,n)$ n ) $A(n,n)$ \ $displaystyle$ A ( $n$ , $A(n,n)$ ) $A(n,n)$ erm , ,A ( n , n ) 、 Ackermann 함수의 대각선입니다.

로지스틱 성장

J형 지수 증가(왼쪽, 파란색)와 S형 로지스틱 증가(오른쪽, 빨간색)입니다.

실제로 초기 지수적 성장은 영구히 지속되지 않는 경우가 많습니다.어느 정도 시간이 지나면 외부 또는 환경적인 요인에 의해 느려질 것입니다.예를 들어 리소스 ^[9]제한으로 인해 인구 증가가 상한에 도달할 수 있습니다.1845년 벨기에 수학자 피에르 프랑수아 베르헐스트는 "논리학적 성장"^[10]이라고 불리는 이와 같은 수학적 성장 모델을 처음으로 제안했다.

모델의 제한

무한 성장이 물리적으로 현실적이지 않기 때문에 물리적 현상의 지수 성장 모델은 제한된 영역 내에서만 적용된다.성장이 처음에는 기하급수적일 수 있지만 모델링된 현상은 결국 이전에 무시되었던 부정적인 피드백 요인이 유의하게 되는 영역(로지스틱 성장 모델로 이어짐) 또는 연속성 또는 순간 피드백과 같은 지수 성장 모델의 다른 기본 가정이 무너지는 영역으로 진입할 것이다.

지수 성장 편향

연구는 인간이 기하급수적인 성장을 이해하는 데 어려움을 겪는다는 것을 보여준다.지수 성장 편향은 복합 성장 과정을 과소평가하는 경향이다.이러한 편견은 ^[11]재정적인 영향도 미칠 수 있습니다.

다음은 이러한 편견을 강조하는 몇 가지 이야기들이다.

체스판의 밥

옛 전설에 따르면, 비지어 시사 벤 다히르가 인도 왕 샤림에게 아름다운 수제 체스판을 선물했다고 합니다.왕은 선물로 무엇을 받고 싶냐고 물었고 신하들은 첫 번째 사각형에 쌀 한 톨, 두 번째 사각형에 쌀 두 톨, 세 번째 사각형에 쌀 네 톨을 달라고 해서 왕을 놀라게 했다.왕은 흔쾌히 승낙하고 쌀을 가져다 달라고 부탁했다.처음에는 모든 것이 잘 되었지만, N사각형의 $2곡물$ 의ⁿ⁻¹ 요구는 21사각형의 100만곡 이상, 41사각형의 a.k.a.100만곡 이상을 요구했고, 최종사각형의 쌀은 전 세계에 부족했다.(From Swirski,^[12] 2006년)

체스판의 후반부는 기하급수적으로 증가하는 영향력이 조직의 전체 비즈니스 전략에 상당한 경제적 영향을 미치는 시기입니다.

수련

프랑스 아이들은 기하급수적인 성장의 한 측면으로 보이는 수수께끼를 제안받습니다: "지수적으로 증가하는 양이 일정한 한계에 도달하는 명백한 급작스러움".그 수수께끼는 연못에서 자라는 수련 식물을 상상한다.그 식물은 매일 크기가 두 배로 커지는데, 만약 내버려두면 30일 만에 연못을 질식시켜 물 속의 다른 모든 생물들을 죽게 할 것이다.매일매일 식물의 생육이 적기 때문에 연못의 절반을 덮을 때까지는 걱정할 필요가 없다고 판단하고 있습니다.그날은 언제가 될까요?29일째,^[13]^[12] 연못을 구할 날이 하루밖에 남지 않았다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Suri, Manil (March 4, 2019). "Opinion Stop Saying 'Exponential.' Sincerely, a Math Nerd" – via NYTimes.com.
^ "10 Scientific Words You're Probably Using Wrong". HowStuffWorks. July 11, 2014.
^ Slavov, Nikolai; Budnik, Bogdan A.; Schwab, David; Airoldi, Edoardo M.; van Oudenaarden, Alexander (2014). "Constant Growth Rate Can Be Supported by Decreasing Energy Flux and Increasing Aerobic Glycolysis". Cell Reports. 7 (3): 705–714. doi:10.1016/j.celrep.2014.03.057. ISSN 2211-1247. PMC 4049626. PMID 24767987.
^ Sublette, Carey. "Introduction to Nuclear Weapon Physics and Design". Nuclear Weapons Archive. Retrieved 2009-05-26.
^ 크로더, 에반스 & 노엘 2008, 314–315페이지.
^ ^a ^b Ariel Cintrón-Arias (2014). "To Go Viral". arXiv:1402.3499 [physics.soc-ph].
^ Karine Nahon; Jeff Hemsley (2013). Going Viral. Polity. p. 16. ISBN 978-0-7456-7129-1.
^ YouTube (2012). "Gangnam Style vs Call Me Maybe: A Popularity Comparison". YouTube Trends.
^ Crauder, Bruce; Evans, Benny; Noell, Alan (2008). Functions and Change: A Modeling Approach to College Algebra. Houghton Mifflin Harcourt. p. 398. ISBN 978-1-111-78502-4.
^ Bernstein, Ruth (2003). Population Ecology: An Introduction to Computer Simulations. John Wiley & Sons. p. 37. ISBN 978-0-470-85148-7.
^ Stango, Victor; Zinman, Jonathan (2009). "Exponential Growth Bias and Household Finance". The Journal of Finance. 64 (6): 2807–2849. doi:10.1111/j.1540-6261.2009.01518.x.
^ ^a ^b Porritt, Jonathan (2005). Capitalism: as if the world matters. London: Earthscan. p. 49. ISBN 1-84407-192-8.
^ Meadows, Donella (2004). The Limits to Growth: The 30-Year Update. Chelsea Green Publishing. p. 21. ISBN 9781603581554.

원천

메도스, 도넬라랜더스, 조르겐목초지, 데니스성장의 한계: 30년간의 갱신.Chelsea Green Publishing, 2004.ISBN 9781603581554
메도스, 도넬라 H, 데니스 L.메도스, 유르겐 랜더스, 윌리엄 W.베렌스 3세(1972) 성장의 한계뉴욕: 유니버시티 북스.ISBN 0-8763-165-0
Porritt, J. 세계가 중요한 것처럼 자본주의, Earthscan 2005.ISBN 1-84407-192-8
스왈스키, 피터문헌과 지식: 서술적 사고 실험, 진화 및 게임 이론의 탐구.뉴욕: 루트리지.ISBN 0-415-42060-1
Thomson, David G. 10억에 이르는 청사진: 지수 성장을 달성하기 위한 7가지 필수 요소, Wiley 2005년 12월, ISBN 0-471-747-5
치렐, S. V. 2004지구인구의 초특급성장에 대한 가능한 원인에 대하여M. G. 드미트리예프와 A. P. 페트로프의 사회 및 경제 역학의 수학적 모델링 / 367-9페이지.모스크바:러시아 국립 사회 대학교, 2004.

외부 링크

한정된 세계에서의 성장– 지속가능성과 지수함수 - 프레젠테이션
Albert Bartlett 박사: 산술, 인구 및 에너지 — 비디오 및 오디오 스트리밍 58분

[1] Suri, Manil (March 4, 2019). "Opinion Stop Saying 'Exponential.' Sincerely, a Math Nerd" – via NYTimes.com.

[2] "10 Scientific Words You're Probably Using Wrong". HowStuffWorks. July 11, 2014.

[SlavovBudnik2014-3] Slavov, Nikolai; Budnik, Bogdan A.; Schwab, David; Airoldi, Edoardo M.; van Oudenaarden, Alexander (2014). "Constant Growth Rate Can Be Supported by Decreasing Energy Flux and Increasing Aerobic Glycolysis". Cell Reports. 7 (3): 705–714. doi:10.1016/j.celrep.2014.03.057. ISSN 2211-1247. PMC 4049626. PMID 24767987.

[4] Sublette, Carey. "Introduction to Nuclear Weapon Physics and Design". Nuclear Weapons Archive. Retrieved 2009-05-26.

[FOOTNOTECrauderEvansNoell2008314–315-5] 크로더, 에반스 & 노엘 2008, 314–315페이지.

[aca-6] Ariel Cintrón-Arias (2014). "To Go Viral". arXiv:1402.3499 [physics.soc-ph].

[7] Karine Nahon; Jeff Hemsley (2013). Going Viral. Polity. p. 16. ISBN 978-0-7456-7129-1.

[8] YouTube (2012). "Gangnam Style vs Call Me Maybe: A Popularity Comparison". YouTube Trends.

[9] Crauder, Bruce; Evans, Benny; Noell, Alan (2008). Functions and Change: A Modeling Approach to College Algebra. Houghton Mifflin Harcourt. p. 398. ISBN 978-1-111-78502-4.

[10] Bernstein, Ruth (2003). Population Ecology: An Introduction to Computer Simulations. John Wiley & Sons. p. 37. ISBN 978-0-470-85148-7.

[11] Stango, Victor; Zinman, Jonathan (2009). "Exponential Growth Bias and Household Finance". The Journal of Finance. 64 (6): 2807–2849. doi:10.1111/j.1540-6261.2009.01518.x.

[Porritt-2005-12] Porritt, Jonathan (2005). Capitalism: as if the world matters. London: Earthscan. p. 49. ISBN 1-84407-192-8.

[Meadows-2004-13] Meadows, Donella (2004). The Limits to Growth: The 30-Year Update. Chelsea Green Publishing. p. 21. ISBN 9781603581554.

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v t 하이퍼 오퍼레이션
기본적인	후계자(0) 추가 (1) 곱셈 (2) 지수화(3) 테트레이션(4) 펜테이션(5)
왼쪽 인수의 역수	이전 버전(0) 감산(1) 중분류 (2) 루트 추출(3) 슈퍼루트(4)
오른쪽 인수의 역수	이전 버전(0) 감산(1) 중분류 (2) 로그(3) 슈퍼 로그 연산(4)
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