제거 이론의 주요 정리

대수 기하학에서, 제거 이론의 주요 정리는 모든 투영 계획이 적절하다고 말한다.이 정리의 한 버전은 계략 이론의 존재보다 앞서 있다.그것은 다음과 같은 더 고전적인 환경에서 진술, 증명 및 적용될 수 있다.k를 필드로 하고, k에 대한$$ n차원 투영공간을 $P{\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$로 나타낸다.제거 이론의 주요 정리는 k에 대해 정의된 n과 대수적 다양성 V에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ 투영 지도 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ P ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$→ V ${\displaystyle V\times \mathb {P} _{k}^{n}\}V}$에 자리스키 닫힌 하위 세트를 보낸다는$$ 진술이다.

소거 이론의 주요 정리는 맥컬레이의 다변량 결과물 이론을 일반화한 것이다.n개의 변수에 있는 n개의 동종 다항식의 결과물은 계수의 다항함수 값이며, 다항식이 계수를 포함하는 일부 필드 위에 공통의 비경쟁적 0을 갖는 경우에만 0 값을 취한다.

이것은 다항식 사이의 변수를 제거하기 위해 결과적인 양을 계산하기 때문에 제거 이론에 속한다.사실, 일부 변수에서 동질적인 다항식 방정식의 시스템을 고려할 때, 결과물은 다른 변수에서 방정식을 제공함으로써 이러한 동종 변수를 제거하는데, 이는 원래 시스템의 해법에 이러한 다른 변수들의 값을 갖는 해법이다.

간단한 동기 부여 예제

필드 k에 대한 애핀 평면은 k의 두 ${\displaystyle {복사본\mathrm{}}_{}}$ 중 $A{\displaystyle {}_{}}$2 = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$× ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\$x}\$time L_{$y}}}이다.내버려두다

${\displaystyle \pi \colon L_{x}\time L_{y}\to L_{x}}}$

투영되다

$\displaystyle (x,y)\mapsto \pi(x,y)=x.}$

This projection is not closed for the Zariski topology (nor for the usual topology if ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ or ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$), because the image by ${\displaystyle \pi }$ of the hyperbola H of equation ${\displaystyle xy-1=0}$ is ${\displaysty$$L_{x}\setminus \{0\}}$은(는) 닫히지만 닫히지 않는 것으로, H는 대수적 품종이다.

L ${\displaystyle y_{}}$ ${\$를 투사선 ${\displaystyle P_{}}$ $y{\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle P_{y}$까지 연장하면 하이퍼볼라의 투사 완료 방정식이$$ 된다.

${\displaystyle xy_{1}-y_{0}=0,}$

포함

${\displaystyle {\overline{\pi }}(0,(1,0)=0,}$

여기서${\$은(는) $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$을(를) ${\displaystyle L_{}}$ x ${\displaystyle {}_{}}$ P ${\displaystyle y_{}}$로 연장한 것이다${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle L_{x}\time P_{y}.$$}$

이것은 일반적으로 아핀 평면의 기원이 무한에 있는 하이퍼볼라 점의 투영이며, Y축 방향이라고 표현한다.

More generally, the image by ${\displaystyle \pi }$ of every algebraic set in ${\displaystyle L_{x}\times L_{y}}$ is either a finite number of points, or ${\displaystyle L_{x}}$ with a finite number of points removed, while the image by ${\displaystyle {\overline {\pi }}}$ of any algebraic$L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 설정된 값은 유한한$$ 점 수 또는 전체 선 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$. ${\displaystyle L_{y}.$$}}$$displaystyle${\$overline${\$pi}}$의 대수 집합에 의한 $이미지$가 ${\displaystyle \stackrel{}{\{}}${\$displaystyle {\\overline {\pi}}}$은(는) 자리스키 토폴로지를 위한 폐쇄된 지도라는$$ 것을$$ 뒤따른다.

소거 이론의 주요 정리는 이 성질의 넓은 일반화다.

고전적 제형

For stating the theorem in terms of commutative algebra, one has to consider a polynomial ring ${\displaystyle R[\mathbf {x} ]=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ over a commutative Noetherian ring R, and a homogeneous ideal I generated by homogeneous polynomials ${\displaystyle f_{1},$$\ldots ,f_{k}}($맥컬레이의 원래 교정에서 k는 n과 같았고, R은 정수 위에 있는 다항식 고리였는데, 이 고리들의 내역은 모두 ${\displaystyle {}_{}}$ i ${\displaystyle {}_{}\mathrm{}.}${\$displaystyle f_{i}\mathrm {s$의 계수였다.

Any ring homomorphism ${\displaystyle \varphi }$ from R into a field K, defines a ring homomorphism ${\displaystyle R[\mathbf {x} ]\to K[\mathbf {x} ]}$ (also denoted ${\displaystyle \varphi }$), by applying ${\displaystyle \varphi }$ to the coefficients of the polynomials.

The theorem is: there is an ideal ${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$ in R, uniquely determined by I, such that, for every ring homomorphism ${\displaystyle \varphi }$ from R into a field K, the homogeneous polynomials ${\displaystyle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})}$ have a nontrivi$\phi {\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0}$. ${\displaystyle \varphi({\mathfrak{r}}}=\{0\}$인 경우에만 대수학 마감).$}$

Moreover, ${\displaystyle {\mathfrak {r}}=0}$ if k < n, and ${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$ is principal if k = n. In this latter case, a generator of ${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$ is called the resultant of ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}.$$}$

증거 및 관련 결과에 대한 힌트

위의 표기법을 사용하여 먼저 $\phi {\displaystyle }$( ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (f_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k}}}}}$이(가) 비종교 공통 0이 없다는$$ 조건을 특성화해야 한다.This is the case if the maximal homogeneous ideal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle }$ is the only homogeneous prime ideal containing ${\displaystyle \varphi (I)=\langle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})\rangle .}$Hilbert's Nullstellensatz asserts that this is the case if and only if ${\displaystyle \varphi (I)}$ contains a power of each ${\displaystyle x_{i},}$ or, equivalently, that ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{d}\subseteq \varphi (I)}$ for some positive integer d.

이 연구를 위해 매컬레이는 현재 매컬레이 매트릭스 d라고 불리는 매트릭스를 도입했다.Its rows are indexed by the monomials of degree d in ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$ and its columns are the vectors of the coefficients on the monomial basis of the polynomials of the form ${\displaystyle m\varphi (f_{i}),}$ where m is a monomial of degree ${\displaystyle d-\mathrm{deg}(f_i).}$$[\displaystyle d-\property(f_{i}).$$}}$은(는) $m{\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ ${\displaystyle d^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\phi }$ ($){\daystyle {\mathfrak{m}^{d}\subseteq \varphi$ ($I)}$을(를$$) 가지고 있다.

k < n이면 매컬레이 매트릭스의 순위는 d마다 행의 수보다 낮으므로, $\phi {\displaystyle ({f\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$) ,${\displaystyle \phi ({}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ )${\displaystyle \varphi(f_{1}),\ldots ,\varphi(f_{k})}$는 항상 비종교 공통 0을 갖는다$$.

Otherwise, let ${\displaystyle d_{i}}$ be the degree of ${\displaystyle f_{i},}$ and suppose that the indices are chosen in order that ${\displaystyle d_{2}\geq d_{3}\geq \cdots \geq d_{k}\geq d_{1}.}$ The degree

${\displaystyle D=d_{1}+d_{2}+\cdots +d_{n}-n+1=1+\sum _{i=1}^{n}(d_{i}-1)}$

is called Macaulay's degree or Macaulay's bound because Macaulay's has proved that ${\displaystyle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})}$ have a non-trivial common zero if and only if the rank of the Macaulay matrix in degree D is lower than the number to its rows.즉, 위의 d는 D와 동일한 것으로 모두 한 번 선택할 수 있다.

따라서 제거 이론의 주요 정리에 의해 존재가 주장되는 $이상적$${\displaystyle }$r ,$${\$displaystyle${\$mathfrak{r}}$는 k < n, 그렇지 않으면 D학위의 맥컬레이 행렬의 최대 미성년자에 의해 생성되는 경우 제로 이상이다.

If k = n, Macaulay has also proved that ${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$ is a principal ideal (although Macaulay matrix in degree D is not a square matrix when k > 2), which is generated by the resultant of ${\displaystyle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{n}).$$}}$ R이 모든 계수가 $\phi {\displaystyle }$( ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle \phi }$(${\displaystyle f_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k}}}}$인 정수 다항식의 링이라면 일반적으로 이 이상도 최상이다.

기하학적 해석

앞의 $공식$에서 다항 링 R${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x\mathbf{}}$ ${\displaystyle ]}$= R${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle x_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$] ${\displaystyle$ R$[\mathbf {x} ]=R[x_{1},\ldots,x_{n}}}}}}}$은(R이 필드 위에서 정밀하게 생성되는 경우 대수적 품종) 체계 형태를 정의한다$$.

${\displaystyle \mathb {P} _{R}^{n-1}=\operatorname {Proj}(R[\mathbf {x} ])\to \operatorname {Spec}(R).}$

정리는 I에 의해 정의된 자리스키 폐쇄형 세트 V(I)의 영상이 폐쇄형 세트 V(r)라고 단언한다.그러므로 형태론은 닫힌다.

참고 항목

• 정량자 제거
• 맥컬레이의 결과물
• 그뢰브너 기준

참조

• Mumford, David (1999). The Red Book of Varieties and Schemes. Springer. ISBN 9783540632931.
• Eisenbud, David (2013). Commutative Algebra: with a View Toward Algebraic Geometry. Springer. ISBN 9781461253501.
• Milne, James S. (2014). "The Work of John Tate". The Abel Prize 2008–2012. Springer. ISBN 9783642394492.