마테른 공분산 함수

통계에서 Matérn 공분산(Matérn colvanity)은 공간 통계, 지리통계학, 머신러닝, 이미지 분석 및 미터법 공간에 대한 다변량 통계 분석의 응용에 사용되는 공분산 함수다.^[1]스웨덴의 산림 통계학자 베르틸 마테른의 이름을 딴 것이다.^[2]일반적으로 d 단위가 서로 떨어져 있는 두 지점에서 측정한 측정값 사이의 통계 공분산을 정의하는 데 사용된다.공분산은 점 사이의 거리에만 의존하기 때문에 정지해 있다.거리가 유클리드 거리인 경우 마테른 공분산도 등방성이다.

정의

d 거리 단위로 분리된 두 점 사이의 Matérn 공분산은 다음과 같이 주어진다.

C_{\nu }(d)=\sigma ^{2}{\frac {2^{1-\nu }}{\Gamma (\nu )}}{\Bigg (}{\sqrt {2\nu }}{\frac {d}{\rho }}{\Bigg )}^{\nu }K_{\nu }{\Bigg (}{\sqrt {2\nu }}{\frac {d}{\rho }}{\Bigg )},

여기서 $\Gamma$ $\Gamma$ 은 $\Gamma$ 감마함수, $K_{\nu }$ { $K_{\nu }$ {\ $displaystyle K_{\nu$ }}}은 $K_{\nu }$ 제2종류의 수정된 베셀함수, ρ과 and은 공분산의 양의 매개변수다.

Matérn 공분산을 갖는 가우스 $\lceil \nu \rceil -1$ 은 평균 제곱의 $\lceil \nu \rceil -1$ $⌉$ - $\lceil \nu \rceil -1$ {\ $displaystyle$ \ $lceil \nu$ \ $rceil$ -1 $}$ 배 $\lceil \nu \rceil -1$ 차이가 난다.^[3]^[4]

스펙트럼 밀도

$\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ ^{ $n}$ 에 정의된 Matern 공분산을 갖는 공정의 전력 스펙트럼은 $\mathbb {R} ^{n}$ Matern 공분산 함수의 (n차원) 푸리에 변환이다(Wiener-Khinchin 정리 참조).명시적으로, 이것은 다음에 의해 주어진다.

S(f)=\sigma ^{2}{\frac {2^{n}\pi ^{\frac {n}{2}}\Gamma (\nu +{\frac {n}{2}})(2\nu )^{\nu }}{\Gamma (\nu )\rho ^{2\nu }}}\left({\frac {2\nu }{\rho ^{2}}}+4\pi ^{2}f^{2}\right)^{-\left(\nu +{\frac {n}{2}}\right)}.

^[3]

ν의 특정 값에 대한 단순화

integer 반정수에 대한 단순화

ν $\nu =p+1/2,\ p\in \mathbb {N} ^{+}$ = $\nu =p+1/2,\ p\in \mathbb {N} ^{+}$ + $\nu =p+1/2,\ p\in \mathbb {N} ^{+}$ / 2 $\nu =p+1/2,\ p\in \mathbb {N} ^{+}$ , $\nu =p+1/2,\ p\in \mathbb {N} ^{+}$ $\nu =p+1/2,\ p\in \mathbb {N} ^{+}$ N $\nu =p+1/2,\ p\in \mathbb {N} ^{+}$ + ${\$ 이( $\nu =p+1/2,\ p\in \mathbb {N} ^{+}$ 가) 있을 때, Matérn 공분산은 지수 및 $순서$ p{\ $displaystyle$ p}의 다항식의 산물로 기록할 수 있다 $p$ ^[5]

C_{p+1/2}(d)=\sigma ^{2}\exp \left(-{\frac {{\sqrt{2p+1}d}{\rho }}}\right){\frac {p!}{{(2p)!}\sum _{i=0}^{p}{\frac {(p+i)!}{{i!(p-i)!}}}\왼쪽 \frac {2{\sqrt {2p+1}d}{\rho }}}^{p-i}

다음과 같은 이점을 제공한다.

$\nu =1/2\ (p=0)$ = $\nu =1/2\ (p=0)$ / $\nu =1/2\ (p=0)$ ( $\nu =1/2\ (p=0)$ = 0 $\nu =1/2\ (p=0)$ ) ${\displaystyle \nu$ = $C_{1/2}(d)=\sigma ^{2}\exp \left(-{\frac {d}{\rho }}\right),$ $/2\ ($ $C_{1/2}(d)=\sigma ^{2}\exp \left(-{\frac {d}{\rho }}\right),$ $=0)}$ : $C_{1/2}(d)=\sigma ^{2}\exp \left(-{\frac {d}{\rho }}\right),$ 1 $C_{1/2}(d)=\sigma ^{2}\exp \left(-{\frac {d}{\rho }}\right),$ / 2 $C_{1/2}(d)=\sigma ^{2}\exp \left(-{\frac {d}{\rho }}\right),$ ( d $C_{1/2}(d)=\sigma ^{2}\exp \left(-{\frac {d}{\rho }}\right),$ ) $C_{1/2}(d)=\sigma ^{2}\exp \left(-{\frac {d}{\rho }}\right),$ = $C_{1/2}(d)=\sigma ^{2}\exp \left(-{\frac {d}{\rho }}\right),$ $C_{1/2}(d)=\sigma ^{2}\exp \left(-{\frac {d}{\rho }}\right),$ $C_{1/2}(d)=\sigma ^{2}\exp \left(-{\frac {d}{\rho }}\right),$ $C_{1/2}(d)=\sigma ^{2}\exp \left(-{\frac {d}{\rho }}\right),$ ( $C_{1/2}(d)=\sigma ^{2}\exp \left(-{\frac {d}{\rho }}\right),$ - $C_{1/2}(d)=\sigma ^{2}\exp \left(-{\frac {d}{\rho }}\right),$ $C_{1/2}(d)=\sigma ^{2}\exp \left(-{\frac {d}{\rho }}\right),$ ) $C_{1/2}(d)=\sigma ^{2}\exp \left(-{\frac {d}{\rho }}\right),$ , ${\displaystyle C_{1/2}(d)=\sigma ^{2}\ex \{{d$ }}}}}}}}} \ik $(-{d}}}}}}}}},$ }, $C_{1/2}(d)=\sigma ^{2}\exp \left(-{\frac {d}{\rho }}\right),$ }, \ $ik$ )
for $\nu =3/2\ (p=1)$ : $C_{3/2}(d)=\sigma ^{2}\left(1+{\frac {{\sqrt {3}}d}{\rho }}\right)\exp \left(-{\frac {{\sqrt {3}}d}{\rho }}\right),$
for $\nu =5/2\ (p=2)$ : ${\displaystyle C_{5/2}(d)=\sigma ^{2}\left(1+{\frac {{\sqrt {5}}d}{\rho }}+{\frac {5d^{2}}{3\rho ^{2}}}\right)\exp \left(-{\frac {{\sqrt {5}}d}{\rho }}\r$ $ight.}$

무한 ν의 한계에서 가우스 사건

$\nu \rightarrow \infty$ → $\nu \rightarrow \infty$ $\nu \rightarrow \infit$ 로서 $\nu \rightarrow \infty$ Matérn 공분산은 제곱 지수 공분산 함수로 수렴된다.

\lim_{\nu \righrow \inflt }C_{\nu }(d)=\sigma ^{2}\exp \left(-{\frac{d^{2}}\rho ^{2}}:}\오른쪽).

0에서의 테일러 시리즈 및 스펙트럼 모멘트

$d\rightarrow 0$ → 0 $d\rightarrow 0$ 에 대한 동작은 다음 Taylor 시리즈를 통해 얻을 수 있다 $d\rightarrow 0$ ( $\nu =1$ 참고문헌 필요, 아래의 공식은 $\nu =1$ = $\nu =1$ ${\displaystyle \nu =1}).$

C_{\nu }(d)=\sigma ^{2}\left(1+{\frac {\nu }{2(1-\nu )}}\left({\frac {d}{\rho }}\right)^{2}+{\frac {\nu ^{2}}{8(2-3\nu +\nu ^{2})}}\left({\frac {d}{\rho }}\right)^{4}+{\mathcal {O}}\left(d^{5}\right)\right).

정의 시 다음과 같은 스펙트럼 모멘트를 테일러 시리즈에서 도출할 수 있다.

{\begin{aigned}\lambda _{0}&=C_{\nu }(0)=\sigma ^{2},\[8pt]\lambda _{2}&=-\왼쪽.{\frac {\partial ^{2}C_{\nu }(d){\partial d^{2}}}\right _{d=0}={\frac {\sigma ^{2}\rho ^{2}(\nu -1)}.\end{정렬}}

참고 항목

반지름 기준 함수

참조

^ Genton, Marc G. (1 March 2002). "Classes of kernels for machine learning: a statistics perspective". The Journal of Machine Learning Research. 2 (3/1/2002): 303–304.
^ Minasny, B.; McBratney, A. B. (2005). "The Matérn function as a general model for soil variograms". Geoderma. 128 (3–4): 192–207. doi:10.1016/j.geoderma.2005.04.003.
^ ^a ^b ^c 라스무센, 칼 에드워드, 윌리엄스, 크리스토퍼 K. I.(2006) 가우스식 기계 학습 과정
^ 산트너, 티제이, 윌리엄스, 비제이, 앤 노츠, W. I.(2013).컴퓨터 실험의 설계와 분석.스프링거 사이언스 & 비즈니스 미디어.
^ Abramowitz and Stegun. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. ISBN 0-486-61272-4.

[Genton2002-1] Genton, Marc G. (1 March 2002). "Classes of kernels for machine learning: a statistics perspective". The Journal of Machine Learning Research. 2 (3/1/2002): 303–304.

[2] Minasny, B.; McBratney, A. B. (2005). "The Matérn function as a general model for soil variograms". Geoderma. 128 (3–4): 192–207. doi:10.1016/j.geoderma.2005.04.003.

[RasmWill2006-3] 라스무센, 칼 에드워드, 윌리엄스, 크리스토퍼 K. I.(2006) 가우스식 기계 학습 과정

[R-4] 산트너, 티제이, 윌리엄스, 비제이, 앤 노츠, W. I.(2013).컴퓨터 실험의 설계와 분석.스프링거 사이언스 & 비즈니스 미디어.

[5] Abramowitz and Stegun. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. ISBN 0-486-61272-4.

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