정지 과정

수학과 통계학에서, 정상 과정(또는 엄격/엄격하게 고정된 과정 또는 강/강력하게 고정된 과정)은 시간 ^[1]이동 시 무조건적인 결합 확률 분포가 변하지 않는 확률 과정이다.따라서 평균 및 분산과 같은 모수도 시간에 따라 변경되지 않습니다.정지 상태를 직감하기 위해서는 마찰이 없는 추를 상상할 수 있다.진동 운동으로 앞뒤로 흔들리지만 진폭과 주파수는 일정하게 유지됩니다.진자는 움직이고 있지만, 그 "통계량"이 일정하기 때문에(주파수와 진폭) 공정이 정지해 있습니다.그러나 진자에 힘을 가하면(예를 들어 공기와의 마찰), 주파수 또는 진폭이 변화하여 프로세스가 ^[2]비정상적으로 된다.

정상성은 시계열 분석에 사용되는 많은 통계 절차의 기초가 되는 가정이기 때문에 비정상 데이터는 종종 정상 데이터가 되도록 변환된다.정상성 위반의 가장 일반적인 원인은 평균의 추세이며, 단위 근원 또는 결정론적 추세 때문일 수 있습니다.전자의 단위근의 경우 확률적 충격은 영구적인 영향을 미치며 프로세스는 평균 역전이 아니다.결정론적 추세의 후자의 경우, 이 과정을 추세 정지 과정이라고 하며, 확률적 충격은 변수가 결정적으로 진화하는(비정수적인) 평균으로 향하는 경향이 있는 일시적인 효과만 가진다.

추세 정지 프로세스는 엄밀하게 정지되어 있지 않지만 시간 함수인 기본 추세를 제거함으로써 정지 프로세스로 쉽게 변환할 수 있습니다.마찬가지로 하나 이상의 단위 루트를 가진 프로세스는 차분렌싱을 통해 정지할 수 있습니다.추세와 같은 행동을 포함하지 않는 중요한 비정상 과정 유형은 시간에 따라 주기적으로 변화하는 확률 과정인 순환 정지 과정입니다.

많은 어플리케이션에서 엄격한 감각의 스테이션리티는 너무 제한적입니다.그 후 광의의 정지성 또는 N차 정지성과 같은 다른 형태의 정지성이 채용된다.서로 다른 종류의 정상성에 대한 정의는 서로 다른 저자들 간에 일관성이 없다(기타 용어 참조).

엄밀한 감각의 정지성

정의.

$\left\{X_{t}\right\}$ 으로 { $\left\{X_{t}\right\}$ t $\left\{X_{t}\right\}$ { $displaystyle$ \ $left$ \ { X _ { $t$ } \ $right \$ } $F_{X}(x_{t_{1}+\tau },\ldots ,x_{t_{n}+\tau })$ F $F_{X}(x_{t_{1}+\tau },\ldots ,x_{t_{n}+\tau })$ ( $F_{X}(x_{t_{1}+\tau },\ldots ,x_{t_{n}+\tau })$ $F_{X}(x_{t_{1}+\tau },\ldots ,x_{t_{n}+\tau })$ $F_{X}(x_{t_{1}+\tau },\ldots ,x_{t_{n}+\tau })$ + $F_{X}(x_{t_{1}+\tau },\ldots ,x_{t_{n}+\tau })$ , , $F_{X}(x_{t_{1}+\tau },\ldots ,x_{t_{n}+\tau })$ , $F_{X}(x_{t_{1}+\tau },\ldots ,x_{t_{n}+\tau })$ $F_{X}(x_{t_{1}+\tau },\ldots ,x_{t_{n}+\tau })$ + ${\$ ) { $displaystyle F$ _ { $X$ } ( x $_$ { $t$ _ {1 $}$ + \ $tau$ } , \ $ldots _$ { $t }$ )라고 $F_{X}(x_{t_{1}+\tau },\ldots ,x_{t_{n}+\tau })$ 합니다 $\left\{X_{t}\right\}$ value) 시간 $t_{1}+\tau ,\ldots ,t_{n}+\tau$ + $t_{1}+\tau ,\ldots ,t_{n}+\tau$ … , $t_{1}+\tau ,\ldots ,t_{n}+\tau$ + $display$ { $\left\{X_{t}\right\}$ t $\left\{X_{t}\right\}$ } { $displaystyle$ $\ left$ \ { $X$ _ { $t$ $\left\{X_{t}\right\}$ } $t_{1}+\tau ,\ldots ,t_{n}+\tau$ $\$ 、 \ $tau$ , \ $ldots$ , t $_$ { $n$ } + \ $tau$ $t_{1}+\tau ,\ldots ,t_{n}+\tau$ distrib distrib then $\left\{X_{t}\right\}$ 。 $\left\{X_{t}\right\}$ { $\left\{X_{t}\right\}$ t $\left\{X_{t}\right\}$ }는 $\left\{X_{t}\right\}$ \ $styleft$ \ \ { \ { \ { \ { \ { \ { \ { \ \ { \ \ { \ { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $tright$ } 입니다 $\left\{X_{t}\right\}$ .

(\displaystyle F_{X}(x_{t_{1}+\tau},\ldots,x_{t_{n}+\displays })=F_{X}(x_{t_{1},\ldots,x_{t_{n})\quad {text{모든}}}\tau,t_{1},\ldots,t_{n}\in \mathbb {R}(\text} 및 모든}}}n\in \mathbbb {n})

(제1호)

$F_{X}(\cdot )$ 에는 $\tau$ $영향$ 을 $F_{X}(\cdot )$ 주지 $\tau$ $F_{X}(\cdot )$ 때문에 $FX는$ 의 함수가 아닙니다 $.$

예

위에 두 개의 시뮬레이션된 시계열 프로세스, 즉 하나는 정상이고 다른 하나는 비정상입니다.증강 Dickey-Fuller(ADF) 테스트 통계는 각 프로세스에 대해 보고되며, 유의 수준 5%의 두 번째 프로세스에 대해 비정상성을 거부할 수 없습니다.

백색 노이즈는 정상 공정의 가장 단순한 예입니다.

표본 공간도 이산(랜덤 변수가 가능한 값 중 하나를 취할 수 있음)인 이산 시간 고정 프로세스의 예는 베르누이 체계입니다.연속 표본 공간이 있는 이산 시간 고정 프로세스의 다른 예로는 자기 회귀 이동 평균 모델의 하위 집합인 일부 자기 회귀 및 이동 평균 프로세스가 있습니다.비삼차적 자기회귀성분이 있는 모델은 매개변수 값에 따라 정상 또는 비정상일 수 있으며, 중요한 비정상적 특수 사례는 모델 내에서 단위 루트가 존재하는 경우입니다.

예 1

Y $(\displaystyle$ Y $)$ 를 $Y$ 임의의 스칼라 랜덤 변수로 하고 시계열 $\left\{X_{t}\right\}$ { $\left\{X_{t}\right\}$ t $\left\{X_{t}\right\}$ }(\ $displaystyle \left\{X_{t}\right$ 을 다음과 같이 $Y$ 합니다.

X_{t}=Y\qquad {text}t.

$\left\{X_{t}\right\}$ 으로 $\left\{X_{t}\right\}$ { $\left\{X_{t}\right\}$ t $}$ { $displaystyle \ left$ \ { $X$ _ { $t$ } \ $right \$ }는 $\left\{X_{t}\right\}$ 정상 시계열이며, 이 시계열에서는 실현이 일련의 상수값으로 구성되며 각 실현에 대해 다른 상수값을 가집니다.이 경우 대수의 법칙은 적용되지 않습니다.단일 실현에 의한 평균값의 제한은 Y $(\displaystyle$ Y $Y$ 의 $Y$ 이 아니라Y(\ $displaystyle$ Y $Y$ 에 $의해$ 결정된 랜덤값을 취하기 때문입니다.

$X_{t}$ 가 에르고딕하지 않기 때문에 X t $\$ X_ ${t}$ 의 $X_{t}$ $X_{t}$ 평균은 수렴되지 않습니다.

예 2

단일 실현에 노이즈가 없는 구조가 있는 정지 프로세스의 또 다른 예로서 Y $(\displaystyle$ $Y$ $)$ 에 $Y$ ( $(0,2\pi ]$ $†)$ { $displaystyle(0$ , $2\pi$ })의 $(0,2\pi ]$ $(0,2\pi ]$ 균일한 분포를 설정하고 시계열 $\left\{X_{t}\right\}$ { $t}(\$ 을 정의합니다.

\displaystyle X_{t}=\cos(t+Y)\quad\text{ for }t\in\mathbb {R}}

$다음$ 으로 $\left\{X_{t}\right\}$ { $\left\{X_{t}\right\}$ t $}$ { $2\pi$ $\ left$ \ { X _ { $t$ } \ $right \$ }는 $\left\{X_{t}\right\}$ ( $(t+Y)$ t $(t+Y)$ + $Y )$ modulo $(t+Y)$ $2\pi$ ${\$ { $displaystyle$ $2$ \ pi $2\pi$ 은(는) 모든 t{\ $displaystyle$ 2 $\pi$ $t$ 에 $Y$ 대해Y와 $Y$ 한 균일한 분포를 따르므로 완전히 정지되어 있습니다.

예 3

백색 소음이 반드시 고정된 것은 아니라는 점에 유의하십시오. ${\$ { $displaystyle$ \ $(0,2\pi )$ $}$ $(0,2\pi )$ 、 \ $displaystyle$ ( $(0,2\pi )$ 0 , $2$ \ $pi$ ) \ $displaystyle$ \ $(0,2\pi )$ ( \ $displaystyle \ left$ \ { $z$ _ { t $}$ \ $\left\{z_{t}\right\}$ right \ $\left\{z_{t}\right\}$ ) $(0,2\pi )$ 으로 균등하게 분포된 랜덤 $\left\{z_{t}\right\}$ 라고 합니다.

$z_{t}=\cos(t\obega)\cos(t=1,2,...)$

그리고나서

{\displaystyle{\begin{정렬}\mathbb{E}(z_{t})&, ={\frac{1}{2\pi}}\int _ᆳ^ᆴ\cos(t\omega)\,d\omega=0,\\\operatorname{바르}(z_{t})&, ={\frac{1}{2\pi}}\int _{0}^{2\pi}\cos=1/2,\\\operatorname{Cov}(z_{t},z_{j})& ^ᆺ(t\omega)\,d\omega, ={\frac{1}{2\pi}}\int _ᆾ^ᆿ\cos(t\omega)\cos(j\omega)\,d\omega=0\quad\foral.나는 t\neq j.\end { aligned }}

따라서 { $\{z_{t}\}$ t $\{z_{t}\}$ }({ $displaystyle \{z_{$ t}\})은 $\{z_{t}\}$ $\{z_{t}\}$ 백색 소음이지만 완전히 정지된 소음은 아닙니다.

N차 정상성

Eq.1에서 확률 프로세스의 $n개$ 샘플의 $n$ 는 $모든$ n개(\ $displaystyle$ n $n$ 에 $n$ 대해 시프트된 샘플의 분포와 같아야 한다. N차 고정성은 $(\displaystyle$ n $)$ 의 모든 n개(\displaystyle n)에 $n$ 대해서만 요구되는 약한 형태의 고정성이다 $.$ $splaystyle$ N $N$ 랜덤 프로세스 $\left\{X_{t}\right\}$ { $\left\{X_{t}\right\}$ $\left\{X_{t}\right\}$ $}({$ 는 $\left\{X_{t}\right\}$ 다음과 같은 경우 ^[3]^{: p. 152}N차 정지 상태라고 합니다.

(\displaystyle F_{X}(x_{t_{1}+\tau},\ldots,x_{t_{n}+\displays })=F_{X}(x_{t_{1},\ldots,x_{t_{n})\quad {text{모든}}}\tau,t_{1}\ldots,\in \mathbbb {R}(\text{} 및 모든})\n\in \{1,ldots,N}}\quad {text}

(제2호)

약하거나 광의의 정지 상태

정의.

신호 처리에서 일반적으로 사용되는 더 약한 형태의 정지성은 약한 감지 정지성, 넓은 감지 정지성(Weak-sense stationity 、 Wide-sense stationity （ WSS ）。WSS 랜덤 프로세스는 첫 번째 모멘트(즉, 평균)와 자기변동성이 시간에 따라 달라지지 않으며 두 번째 모멘트는 모든 시간에 대해 유한해야 한다.유한 평균과 공분산을 갖는 완전히 고정된 공정도 ^[4]^{: p. 299}WSS입니다.

따라서 연속시간 랜덤프로세스 $\left\{X_{t}\right\}$ { $\left\{X_{t}\right\}$ t $\left\{X_{t}\right\}$ }({ $displaystyle$ \left $\{X_{t}\$ right $\left\{X_{t}\right\}$ \}) WSS에서는 $m_{X}(t)\triangleq \operatorname {E} [X_{t}]$ $mX$ [ X t $m_{X}(t)\triangleq \operatorname {E} [X_{t}]$ t $)$ \ $triangleq$ \ $operatorname {E}$ 및 autoco { $X$ 에 다음과 같은 제한이 있습니다. $K_{XX}(t_{1},t_{2})\triangleq \operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]$ $K_{XX}(t_{1},t_{2})\triangleq \operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]$ X ( $K_{XX}(t_{1},t_{2})\triangleq \operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]$ ) $K_{XX}(t_{1},t_{2})\triangleq \operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]$ ( $K_{XX}(t_{1},t_{2})\triangleq \operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]$ $K_{XX}(t_{1},t_{2})\triangleq \operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]$ - $K_{XX}(t_{1},t_{2})\triangleq \operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]$ X ( $K_{XX}(t_{1},t_{2})\triangleq \operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]$ ) $]{$ $style$ K_ ${XX}(t_{1$ }, $t_{2})\triangleq$ \ $operatorname$ {E} $[(X_{1}-m_{X}(t_{$ 1})] ( $X_{2})$

{\displaystyle {begin {aligned}&m_{X}(t)=m_{X}(t+\tau)&{\text{})&{\in \mathbb {R}(t_{1},t_{2})=K_{X}(t_0)&{t}&{t}.

(제3호)

첫 번째 속성은 평균 $m_{X}(t)$ m $m_{X}(t)$ ( $m_{X}(t)$ $){displaystyle m_{X}(t)}$ 가 $m_{X}(t)$ 일정해야 함을 의미합니다.두 번째 속성은 공분산 함수가 t $({$ 과 $t_{1}$ $t_{2}$ 2 $({$ $t_{1}$ 의 $t_{2}$ 차이에만 의존하며 두 개의 ^[3]^{: p. 159}변수가 아닌 하나의 변수에 의해 색인화되어야 함을 의미합니다.그래서 글을 쓰는 대신

디스플레이 스타일!K_{XX}(t_{1}-t_{2},0),

표기법은 $\tau =t_{1}-t_{2}$ 치환 $\tau =t_{1}-t_{2}$ $\tau =t_{1}-t_{2}$ 1 - $\tau =t_{1}-t_{2}$ {\ $displaystyle$ \ $displaystyle = t_{1}-t_{2$ 로 단축됩니다.

\displaystyle K_{XX}(\tau)\triangleq K_{XX}(t_{1}-t_{2},0)}

이는 $\tau =t_{1}-t_{2}$ 이 $\tau =t_{1}-t_{2}$ $\tau =t_{1}-t_{2}$ - $\tau =t_{1}-t_{2}$ 2 { $\tau =t_{1}-t_{2}$ \ $displaystyle$ = $t_$ {1 $}-t_{$ 2 $\tau =t_{1}-t_{2}$ 에만 의존함을 의미합니다.

디스플레이 스타일!R_{X}(t_{1},t_{2})=R_{X}(t_{1}-t_{2},0)\triangleq R_{X}(\tau)}

세 번째 속성은 두 번째 순간은 항상 $유한$ 해야 한다고 $말합니다$

동기

와이드센스 고정성의 주요 장점은 힐베르트 공간의 맥락에 시계열을 배치한다는 것입니다.H를 {x(t)}에 의해 생성된 힐베르트 공간(즉, 주어진 확률 공간상의 모든 제곱 적분 가능한 랜덤 변수의 힐베르트 공간에서 이러한 랜덤 변수의 모든 선형 조합 집합의 닫힘)이라고 하자.자기변위함수의 양의 정의에 의해, 보히너의 정리로부터, 실선상에^{−2 $π$ iξ⋅t} 양의 측도μ({displaystyle\ $mu})$ 가 $\mu$ 존재하며, H는 {e}에 의해 생성된 L(μ)의² 힐버트 부분공간에 동형이다.그런 다음 연속된 시간 정지 확률 프로세스에 대해 다음과 같은 푸리에형 분해를 제공한다: $t$ 에 대해 직교 증분을 갖는 확률적 과정 $\omega _{\xi }$ {\ $displaystyle$ $\obega$ _ ${\xi}}$ 이 $\omega _{\xi }$ 존재한다.

X_{t}=\int e^{-2\pi i\cdot t},d\Omega _{\displayda

여기서 오른쪽의 적분은 적절한(리만) 의미로 해석됩니다.이제 단위 원에 스펙트럼 측정이 정의되어 이산 시간 정지 프로세스에 대해서도 동일한 결과가 유지된다.

선형 시간 불변(LTI) 필터를 사용하여 WSS 랜덤 신호를 처리할 경우 상관 함수를 선형 연산자로 생각하면 도움이 됩니다.순환 연산자이기 때문에(두 인수 간의 차이에만 의존), 고유 함수는 푸리에 복소수입니다.또한 LTI 연산자의 고유함수도 복잡한 지수이기 때문에 WSS 랜덤 신호의 LTI 처리는 매우 다루기 쉬우며 모든 연산은 주파수 영역에서 수행될 수 있습니다.따라서 WSS 가정은 신호 처리 알고리즘에서 널리 사용됩니다.

복잡한 확률적 과정의 정의

{ $\left\{X_{t}\right\}$ t $}$ { $displaystyle$ $\$ { X _ { $t$ } \ $right \$ }인 $\left\{X_{t}\right\}$ $\left\{X_{t}\right\}$ 경우 자기변동함수는 $K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]$ $K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]$ ( t $K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]$ , $K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]$ 2) $K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]$ $K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]$ $K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]$ [ $K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]$ ( $K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]$ $K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]$ 1 $K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]$ - $K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]$ $K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]$ ( $K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]$ $K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]$ ) $K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]$ ] ( $K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]$ t $K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]$ - $K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]$ ( $K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]$ $K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]$ right ) $style$ )로 $K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]$ 됩니다 $K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]$ $}-m_$ {X $}(t_{$ 1}){\ $overline {(X_{2}}-m_{X}(t_{$ 2})}}}}}}}}이며 $K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]$ , Eq.3의 요구 사항 외에 $J_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]$ $J_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]$ J $J_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]$ 1, $J_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]$ t 2) $J_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]$ $J_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]$ ( $J_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]$ 가 $J_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]$ 합니다 $J_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]$ $}-m_{X}(t_{$ 1})( $X_{t_$ {2 $}}-m_{X}($ t_{2})) ] ]}은 $J_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]$ (는) 시간 지연에만 의존합니다. $\left\{X_{t}\right\}$ 에서 $\left\{X_{t}\right\}$ { $\left\{X_{t}\right\}$ t $}$ { $displaystyle \ left$ \ { $X$ _ { $t$ } \ $right \$ }는 $\left\{X_{t}\right\}$ WSS 입니다.

{begin {aligned}&m_{X}(t)=m_{X}(t+\tau)&{\text{})&{\in \mathbb {R}(t_{1},t_{2})=K_{X}(t_0)&{t}&{t}.J_{X}(t_{1}-t_{2},0)&{\text{모든}}t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \\&\operatorname {E} \\in[X(t)^{2}]<\infty & {\text{\in}\mathbbbb}\in {\in}\mathbbbbbb}\in} \mathbbbbb}\{{{{{{1

(제4호)

공동정전성

정상성의 개념은 두 가지 확률적 과정으로 확장될 수 있다.

공동 엄밀한 감각의 정상성

2개의 확률 프로세스 $\left\{X_{t}\right\}$ { $X$ t $}({$ displaystyle $\left\{X_{t}\right\})$ $\left\{Y_{t}\right\}$ 및 $\left\{X_{t}\right\}$ { $\left\{Y_{t}\right\}$ t $\left\{Y_{t}\right\}$ }({ $displaystyle\left\})$ $Y_{t}\right$ $F_{XY}(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{m}},y_{t_{1}^{'}},\ldots ,y_{t_{n}^{'}})$ $F_{XY}(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{m}},y_{t_{1}^{'}},\ldots ,y_{t_{n}^{'}})$ $F_{XY}(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{m}},y_{t_{1}^{'}},\ldots ,y_{t_{n}^{'}})$ t $F_{XY}(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{m}},y_{t_{1}^{'}},\ldots ,y_{t_{n}^{'}})$ , $F_{XY}(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{m}},y_{t_{1}^{'}},\ldots ,y_{t_{n}^{'}})$ $F_{XY}(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{m}},y_{t_{1}^{'}},\ldots ,y_{t_{n}^{'}})$ $F_{XY}(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{m}},y_{t_{1}^{'}},\ldots ,y_{t_{n}^{'}})$ m $F_{XY}(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{m}},y_{t_{1}^{'}},\ldots ,y_{t_{n}^{'}})$ $F_{XY}(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{m}},y_{t_{1}^{'}},\ldots ,y_{t_{n}^{'}})$ t $F_{XY}(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{m}},y_{t_{1}^{'}},\ldots ,y_{t_{n}^{'}})$ $F_{XY}(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{m}},y_{t_{1}^{'}},\ldots ,y_{t_{n}^{'}})$ $F_{XY}(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{m}},y_{t_{1}^{'}},\ldots ,y_{t_{n}^{'}})$ t $))$ { $displaystyle F_{XY}(x_{t_{1},\ldots,x_t_{m}$ _y}^{ $1})$ 인 경우 합동 엄밀한 정지상태라고 불립니다.

{\displaystyle F_{XY}(x_{t_{1},\ldots,x_{t_{m},y_{1}^{'}},\ldots,y_{t_{n}^{'}})=F_{XY}(x_{t_{1}+\tau },\ldots,x_{m}+\tau },y_{t_{1}^{'}+\tau },y_{t_{n}^{'}+\tau },y_qad {text{for }+\tau},\tau },

(제5호)

조인트(M + N)차 정상성

2개의 랜덤 프로세스 $\left\{X_{t}\right\}$ { $X$ t $}$ { $displaystyle \$ left \ { $\left\{Y_{t}\right\}$ $_$ { $t$ } \ $right$ \} 및 $\left\{X_{t}\right\}$ $\left\{Y_{t}\right\}$ { Y $\left\{Y_{t}\right\}$ $}$ { $displaystyle \$ \ { } $Y_{t}\right\}}$ 는 $\left\{Y_{t}\right\}$ 다음과 같은 ^[3]^{: p. 159}경우 함께 (M + N)차 정지 상태라고 합니다.

{\displaystyle F_{XY}(x_{t_{1},\ldots,x_{t_{m},y_{1}^{'}},\ldots,y_{t_{n}^{'}})=F_{XY}(x_{t_{1}+\tau },\ldots,x_{m}+\tau },y_{t_{1}^{'}+\tau },y_{t_{n}^{'}+\tau },y_qad {text{for }+\tau},\tau },

(제6호)

관절이 약하거나 광의의 정지 상태

2개의 확률 프로세스 $\left\{X_{t}\right\}$ { $X$ t $}({$ displaystyle $\left\{X_{t}\right\})$ $\left\{Y_{t}\right\}$ 및 $\left\{X_{t}\right\}$ { $\left\{Y_{t}\right\}$ t $\left\{Y_{t}\right\}$ }({ $displaystyle\left\})$ $K_{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-m_{Y}(t_{2}))]$ ${t}\right$ 와이드센스 고정 및 상호 호환성 함수 $K_{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-m_{Y}(t_{2}))]$ X Y $K_{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-m_{Y}(t_{2}))]$ ( $K_{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-m_{Y}(t_{2}))]$ , $K_{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-m_{Y}(t_{2}))]$ 2) $K_{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-m_{Y}(t_{2}))]$ $K_{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-m_{Y}(t_{2}))]$ [ $K_{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-m_{Y}(t_{2}))]$ ( $K_{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-m_{Y}(t_{2}))]$ $K_{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-m_{Y}(t_{2}))]$ 1 - m $K_{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-m_{Y}(t_{2}))]$ ( $K_{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-m_{Y}(t_{2}))]$ 1) $K_{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-m_{Y}(t_{2}))]$ ( $K_{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-m_{Y}(t_{2}))]$ $K_{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-m_{Y}(t_{2}))]$ 2 - $K_{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-m_{Y}(t_{2}))]$ Y ( $K_{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-m_{Y}(t_{2}))]$ 2 $K_{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-m_{Y}(t_{2}))]$ ) $K_{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-m_{Y}(t_{2}))]$ ]{ $t$ }{ t } { $display style$ K_1 } { t } { t } { t } { t } $-m_{Y}(t_{2$ }) $K_{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-m_{Y}(t_{2}))]$ ] }는 $K_{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-m_{Y}(t_{2}))]$ $\tau =t_{1}-t_{2}$ - $\tau =t_{1}-t_{2}$ t $\tau =t_{1}-t_{2}$ - $\tau =t_{1}-t_{2}$ $({$ \ $displaystyle = t_{1}-t_{2$ 에만 의존하며, 이는 다음과 같이 요약할 수 있습니다.

\displaystyle { begin { aligned }&m_{X}(t)=m_{X}(t+\tau)&{\text{모든}}\in \mathbb {R}\m_{Y}(t)=m_{Y}(t+\tau)&{\text{\mathbbbp}\in}\mathbbbbbbb {R}\in}\in}\in}\in}\mathb}\m_{X}\in}\in}\text{\in}\in}\textYY}(t_{1},t_{2})=K_{YY}(t_{1}-t_{2},0)&{\text{모든}t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \\&K_{XY}(t_{1}-t_{2})=K_{XY}(t_{1}-t_{2})&{\text}&{\text}&{\text})

(제7호)

정상성 유형 간의 관계

확률 프로세스가 N차 정지 상태일 경우 $M\leq N$ M ${\$ $M\leq N$ (\ $displaystyle M\leq$ N $M\leq N$ 에 대해 M차 정지 상태이기도 합니다.
확률 프로세스가 2차 정지 상태( $N=2$ $N=2$ { $디스플레이 스타일$ N $=2}$ )이고 2차 모멘트가 유한한 경우에는 광의 정지 ^[3]^{: p. 159}상태이기도 합니다.
확률 프로세스가 광의의 정지 상태일 경우, 반드시 2차 ^[3]^{: p. 159}정지 상태일 필요는 없습니다.
확률적 과정이 엄밀한 감각의 정지 상태이고 유한한 두 번째 모멘트를 갖는다면, 그것은 광의 감각의 ^[4]^{: p. 299}정지 상태일 것이다.
두 개의 확률적 과정이 함께 (M + N)차 정지 상태일 경우, 이것은 개별 프로세스가 각각 M차 ^[3]^{: p. 159}N차 정지 상태임을 보장하지 않는다.

기타 용어

엄격한 고정성 이외의 고정성 유형에 사용되는 용어는 다소 혼합될 수 있습니다.몇 가지 예를 들어 보겠습니다.

프리스틀리는 넓은 감각의 정지성에 대해 여기서 주어진 것과 유사한 조건이 ^[5]^[6]m까지의 모멘트에 적용되는 경우 m까지의 정지 상태를 사용한다.따라서 넓은 의미의 정상성은 "순서 2에 대한 정상성"과 동일하며, 이는 여기서 주어진 2차 정상성의 정의와는 다르다.
Honarkha와 Caers는 또한 다중 지점 지리 통계의 맥락에서 정상성의 가정을 사용한다. 여기서 높은 n 지점 통계는 공간 ^[7]영역에서 정상적이라고 가정한다.
Tahmasebi와 Sahimi는 비정상 시스템 ^[8]모델링에 사용할 수 있는 적응형 섀넌 기반 방법론을 제시했습니다.

차이점

시계열을 정지 상태로 만드는 한 가지 방법은 연속된 관측치 간의 차이를 계산하는 것입니다.이를 차이점이라고 합니다.차이렌싱은 시계열 수준의 변화를 제거하여 추세를 제거함으로써 시계열의 평균을 안정화하는 데 도움이 됩니다.이것은 또한 차이를 적절히 취할 경우 계절성을 제거할 수 있다(예: 연도를 제거하기 위해 1년 간격으로 관측치를 차이).

로그와 같은 변환은 시계열의 분산을 안정화하는 데 도움이 됩니다.

비정상 시계열을 식별하는 방법 중 하나는 ACF 그림입니다.계절 패턴이 원래 시계열보다 ACF 그림에서 더 잘 보일 수 있지만 항상 ^[9]그렇지는 않습니다.비정상 시계열은 정지된 것처럼 보일 수 있습니다.

비정상성을 식별하는 또 다른 접근법은 일련의 라플라스 변환을 살펴보는 것입니다. 라플라스 변환은 지수적 경향과 사인파적 계절성(복잡한 지수적 경향)을 모두 식별합니다.웨이브릿 변환 및 푸리에 변환과 같은 신호 분석의 관련 기술도 유용할 수 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Gagniuc, Paul A. (2017). Markov Chains: From Theory to Implementation and Experimentation. USA, NJ: John Wiley & Sons. pp. 1–256. ISBN 978-1-119-38755-8.
^ Laumann, Timothy O.; Snyder, Abraham Z.; Mitra, Anish; Gordon, Evan M.; Gratton, Caterina; Adeyemo, Babatunde; Gilmore, Adrian W.; Nelson, Steven M.; Berg, Jeff J.; Greene, Deanna J.; McCarthy, John E. (2016-09-02). "On the Stability of BOLD fMRI Correlations". Cerebral Cortex. doi:10.1093/cercor/bhw265. ISSN 1047-3211. PMC 6248456. PMID 27591147.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Park,Kun Il (2018). Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. ISBN 978-3-319-68074-3.
^ ^a ^b Ionut Florescu (7 November 2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-59320-2.
^ Priestley, M. B. (1981). Spectral Analysis and Time Series. Academic Press. ISBN 0-12-564922-3.
^ Priestley, M. B. (1988). Non-linear and Non-stationary Time Series Analysis. Academic Press. ISBN 0-12-564911-8.
^ Honarkhah, M.; Caers, J. (2010). "Stochastic Simulation of Patterns Using Distance-Based Pattern Modeling". Mathematical Geosciences. 42 (5): 487–517. doi:10.1007/s11004-010-9276-7.
^ Tahmasebi, P.; Sahimi, M. (2015). "Reconstruction of nonstationary disordered materials and media: Watershed transform and cross-correlation function" (PDF). Physical Review E. 91 (3): 032401. doi:10.1103/PhysRevE.91.032401. PMID 25871117.
^ "8.1 Stationarity and differencing OTexts". www.otexts.org. Retrieved 2016-05-18.

추가 정보

Enders, Walter (2010). Applied Econometric Time Series (Third ed.). New York: Wiley. pp. 53–57. ISBN 978-0-470-50539-7.
Jestrovic, I.; Coyle, J. L.; Sejdic, E (2015). "The effects of increased fluid viscosity on stationary characteristics of EEG signal in healthy adults". Brain Research. 1589: 45–53. doi:10.1016/j.brainres.2014.09.035. PMC 4253861. PMID 25245522.
Hyndman, Athanasopoulos (2013).예측: 원칙과 프랙티스.텍스트https://www.otexts.org/fpp/8/1

외부 링크

랜덤 함수의 스펙트럼 분해(스프링거)

[1] Gagniuc, Paul A. (2017). Markov Chains: From Theory to Implementation and Experimentation. USA, NJ: John Wiley & Sons. pp. 1–256. ISBN 978-1-119-38755-8.

[2] Laumann, Timothy O.; Snyder, Abraham Z.; Mitra, Anish; Gordon, Evan M.; Gratton, Caterina; Adeyemo, Babatunde; Gilmore, Adrian W.; Nelson, Steven M.; Berg, Jeff J.; Greene, Deanna J.; McCarthy, John E. (2016-09-02). "On the Stability of BOLD fMRI Correlations". Cerebral Cortex. doi:10.1093/cercor/bhw265. ISSN 1047-3211. PMC 6248456. PMID 27591147.

[KunIlPark-3] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Park,Kun Il (2018). Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. ISBN 978-3-319-68074-3.

[Florescu2014-4] Ionut Florescu (7 November 2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-59320-2.

[5] Priestley, M. B. (1981). Spectral Analysis and Time Series. Academic Press. ISBN 0-12-564922-3.

[6] Priestley, M. B. (1988). Non-linear and Non-stationary Time Series Analysis. Academic Press. ISBN 0-12-564911-8.

[7] Honarkhah, M.; Caers, J. (2010). "Stochastic Simulation of Patterns Using Distance-Based Pattern Modeling". Mathematical Geosciences. 42 (5): 487–517. doi:10.1007/s11004-010-9276-7.

[8] Tahmasebi, P.; Sahimi, M. (2015). "Reconstruction of nonstationary disordered materials and media: Watershed transform and cross-correlation function" (PDF). Physical Review E. 91 (3): 032401. doi:10.1103/PhysRevE.91.032401. PMID 25871117.

[9] "8.1 Stationarity and differencing OTexts". www.otexts.org. Retrieved 2016-05-18.

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목차

엄밀한 감각의 정지성

정의.

예

예 1

예 2

예 3

N차 정상성

약하거나 광의의 정지 상태

정의.