연산자(수학)

수학에서 연산자는 일반적으로 공간의 요소에 작용하여 다른 공간의 요소를 생성하는 매핑 또는 함수이다.연산자에 대한 일반적인 정의는 없지만 도메인이 함수 집합이나 다른 구조화된 개체일 때 함수 대신 이 용어를 사용하는 경우가 많습니다.또한, 연산자의 영역은 종종 명시적으로 특성화되기 어렵고(예를 들어 적분 연산자의 경우), 관련된 객체로 확장될 수 있다(함수에 작용하는 연산자는 방정식을 만족시키는 함수인 미분 방정식에도 작용한다).다른 예제는 측정 시스템(물리학)을 참조하십시오.

가장 기본적인 연산자는 벡터 공간에 작용하는 선형 지도입니다.그러나 "선형 지도" 대신 "선형 연산자"를 사용할 때 수학자는 종종 함수의 벡터 공간에 대한 동작을 의미하며, 연속성과 같은 다른 특성도 보존합니다.예를 들어, 미분 및 무한 적분은 선형 연산자이며, 미분 연산자, 적분 연산자 또는 적분 미분 연산자라고 합니다.

연산자는 수학적 연산의 기호를 나타내기 위해서도 사용됩니다.이는 컴퓨터 프로그래밍에서 "연산자"의 의미와 관련이 있습니다. 연산자(컴퓨터 프로그래밍)를 참조하십시오.

선형 연산자

가장 일반적인 연산자는 선형 연산자입니다.U와 V를 필드 K 위의 벡터 공간이라고 합니다.매핑 A: U → V는 다음과 같은 경우 선형입니다.

(\displaystyle A(\alpha \mathbf {x} +\displaystyle \mathbf {y})=\alpha A\mathbf {x} +\display A\mathbf {y} }

U의 모든 x, y와 K의 모든 α, β에 대하여.즉, 선형 연산자는 벡터 공간 연산을 보존합니다. 즉, 덧셈 연산과 스칼라 곱셈 연산 전후에 선형 연산자를 적용하든 상관없습니다.좀 더 기술적인 단어로, 선형 연산자는 벡터 공간 사이의 형태이다.

유한 차원 사례에서 선형 연산자는 다음과 같은 방법으로 행렬로 나타낼 수 있다.K $(\displaystyle$ K $)$ 를 $K$ 필드로 $U$ (\ $displaystyle$ U $U$ )와 $V$ (\ $displaystyle$ V)를 $V$ K(\ $displaystyle$ K $K$ $K$ 에 유한차원 벡터 공간으로 $합니다$ $(\$ },\ $ldots,\mathb {u}를$ U $(\displaystyle$ K)로 $합니다$ . $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}$ {{ $displaystyle$ $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}$ V $V$ 의 v m $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}$ {{ $1},\ldots,\mathbf$ ${$ $v}_$ 그러면 x $= x$ $=$ $x$ ^ { $i}$ \ $mathbf {u}$ _ ${$ i $\mathbf{x} = x^i \mathbf{u}_i$ $}$ $U$ )는아인슈타인 표기법에서 $U$ 의 벡터입니다 $.$ $U\to$ V는 $A:U\to V$ 선형 연산자입니다.그리고나서

A\mathbf {x} =x^{i}A\mathbf {u} _{i}=x^{i}(A\mathbf {u} _{i})^{j}\mathbf {v} _{j}.

a_{i}^{j}:=(A\mathbf {u} _{i})^{j}\in K

a

a_{i}^{j}:=(A\mathbf {u} _{i})^{j}\in K

:

a_{i}^{j}:=(A\mathbf {u} _{i})^{j}\in K

(

a_{i}^{j}:=(A\mathbf {u} _{i})^{j}\in K

i )

a_{i}^{j}:=(A\mathbf {u} _{i})^{j}\in K

a_{i}^{j}:=(A\mathbf {u} _{i})^{j}\in K

{

displaystyle a

_ {

i

}^{ j : = (

A

\

mathbf

{

u }

_ {

i

} )

^{j}\in

K

}

는

a_i^j := (A\mathbf{u}_i)^j \in K

고정

A

의 연산자 A

\displaystyle

A의

A

매트릭스입니다.

a_{i}^{j}

a_{i}^{j}x^{i}=y^{j}

j

a_{i}^{j}

{

displaystyle

a

_

{

i

}^{

j

} = y

a_{i}^{j}x^{i}=y^{j}

{

display

a

_

{ i }^{

a_{i}^{j}x^{i}=y^{j}

}

=

y }인

A\mathbf{x} = \mathbf{y}

경우

,

a j {

displaystyle x

}

및

A\mathbf {x} =\mathbf {y}

x

A\mathbf {x} =\mathbf {y}

{

display

style A\

mathbf { x }

a_{i}^{j}x^{i}=y^{j}

=

y

a_{i}^{j}x^{i}=y^{j}

}

x

에서

a_i^j

선택할 필요가 없습니다.따라서 고정 기저에서 n-by-m 행렬은

U {\

displaystyle

U

}

에서

U

V {\

displaystyle

V

V

까지의 선형 연산자와 쌍사적으로 대응한다.

유한 차원 벡터 공간 사이의 연산자와 직접 관련된 중요한 개념은 순위, 결정식, 역 연산자, 그리고 아이겐스페이스의 개념이다.

무한 차원의 경우 선형 연산자도 큰 역할을 합니다.순위와 결정식의 개념은 무한 차원 행렬로 확장될 수 없습니다.그렇기 때문에 무한 차원의 경우 선형 연산자(및 일반적으로 연산자)를 연구할 때 매우 다른 기술이 사용됩니다.무한 차원 사례에서 선형 연산자에 대한 연구는 함수 분석으로 알려져 있습니다(다양한 종류의 함수가 무한 차원 벡터 공간의 흥미로운 예를 형성하기 때문에 그렇게 불립니다).

실수의 수열 또는 벡터 공간의 벡터 수열은 그 자체로 무한 차원 벡터 공간을 형성합니다.가장 중요한 경우는 실수 또는 복소수의 시퀀스이며, 이러한 공간은 선형 부분 공간과 함께 시퀀스 공간이라고 알려져 있습니다.이러한 공간의 연산자를 시퀀스 변환이라고 합니다.

바나흐 공간 위의 유계 선형 연산자는 표준 연산자 노름에 관해 바나흐 대수를 형성한다.바나흐 대수의 이론은 아이겐스페이스 이론을 우아하게 일반화하는 스펙트럼의 매우 일반적인 개념을 발전시킨다.

유계 연산자

U와 V를 같은 순서 필드 상의 2개의 벡터 공간(예를 $\mathbb {R}$ R $\mathbb {R}$ \ $displaystyle \mathbb {R}$ )으로 하고, 규범을 갖춥니다.그런 다음 다음과 같이 C > 0이 존재하는 경우 U에서 V까지의 선형 연산자를 경계라고 부릅니다.

\ displaystyle \ A \ mathbf { x } \ _ { V } \ leq C \ \ mathbf { x } \ { U }

U의 모든 x에 대해

유계 연산자는 벡터 공간을 형성합니다.이 벡터 공간에서는 U와 V의 규범과 호환되는 규범을 도입할 수 있습니다.

\displaystyle \A\=\inf\{C:\A\mathbf {x} \_{V}\leq C\\mathbf {x} \_{U}\}.}

U에서 자체 연산자의 경우 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\ displaystyle \ AB \ leq \ A \ \ cdot \ B \ }

이 성질을 가진 임의의 단수 정규 대수를 바나흐 대수라고 한다.스펙트럼 이론을 그러한 대수학으로 일반화시키는 것은 가능하다.C*-알제브라는 일부 추가 구조를 가진 바나흐 대수로, 양자 역학에서 중요한 역할을 한다.

예

기하학.

기하학에서는 벡터 공간의 추가 구조가 연구되기도 한다.이러한 벡터 공간을 자신에게 생물적으로 매핑하는 연산자는 이러한 연구에서 매우 유용하며, 자연스럽게 구성에 따라 그룹을 형성한다.

예를 들어 벡터 공간의 구조를 보존하는 생물연산자는 정확하게 가역선형 연산자이다.이들은 구성 아래 일반적인 선형 그룹을 형성합니다.이들은 연산자의 덧셈에 따라 벡터 공간을 형성하지 않는다. 예를 들어 id와 -id는 모두 반전 가능(부사적)하지만 이들의 합계 0은 그렇지 않다.

이러한 공간에 유클리드 메트릭을 보존하는 연산자는 등각군을 형성하고, 원점을 고정하는 연산자는 직교군으로 알려진 부분군을 형성한다.벡터 튜플의 방향도 보존하는 직교 그룹의 연산자는 특수 직교 그룹 또는 회전 그룹을 형성합니다.

확률론

측정 시스템은 기대, 분산 및 공분산과 같은 확률 이론에도 관여합니다.사실, 모든 공분산은 기본적으로 점곱이다; 모든 분산은 그 자체로 벡터의 점곱이며, 따라서 2차 노름이다; 모든 표준 편차는 노름이다; 이 점곱에 대응하는 코사인은 피어슨 상관 계수이다; 기대값은 기본적으로 적분 연산자이다.공간의 가중치 도형을 측정하기 위해 ed).

미적분학.

함수 해석의 관점에서 미적분은 미분 ${\frac {d}{dt}}$ ${\frac {d}{dt}}$ ${\frac {d}{dt}}$ t $({$ 와 Volterra 연산자 $\int _{0}^{t}$ $\int _{0}^{t}$ t({ $displaystyle \int$ _ ${0}^t$ 의 두 선형 연산자를 연구하는 것이다.

푸리에 급수 및 푸리에 변환

푸리에 변환은 응용 수학, 특히 물리학과 신호 처리에 유용합니다.이것은 다른 정수 연산자이며, 주로 한 (일시적) 도메인의 함수를 다른 (주파수) 도메인의 함수로 변환하기 때문에 효과적으로 반전할 수 있는 방식으로 유용합니다.역변환 연산자가 있기 때문에 정보가 손실되지 않습니다.단순한 주기 함수의 경우, 이 결과는 연속 주기 함수가 일련의 사인파와 코사인파의 합으로 표현될 수 있다는 정리에 기초합니다.

f(t)={a_{0}\over2}+\sum _{n=1}^{\infty}{a_{n}\cos(\omega nt)+b_{n}\sin(\omega nt)}}

튜플(a₀, a₁, b₁, a₂, b₂, …)은 사실상 무한차원 벡터 공간 θ의² 요소이며, 따라서 푸리에 급수는 선형 연산자이다.

일반 함수 R → C를 다룰 때 변환은 다음과 같은 적분 형식을 취합니다.

f(t)={1 \over {\infty {2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{g(\obmega)e^{i\obe t},d\obe }

라플라스 변환

라플라스 변환은 또 다른 적분 연산자로 미분 방정식을 푸는 과정을 단순화하는 데 관여합니다.

f = f(s)일 때, 다음과 같이 정의된다.

F(s)=mathcal {L}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t),dt.

스칼라 및 벡터 필드의 기본 연산자

벡터 미적분에는 세 가지 연산자가 핵심입니다.

Grad(그라디언트) (연산자 기호 ${\$ { $displaystyle \nabla$ $\nabla$ 포함)는 스칼라 필드의 모든 점에 해당 필드의 가장 큰 변화율의 절대값을 나타내는 벡터를 할당합니다.
Div (Divergence) (연산자 기호 ${\$ { $displaystyle \nabla \cdot$ 포함)는 벡터 연산자로, 벡터 필드의 특정 점으로부터의 발산 또는 수렴을 측정합니다.
컬(연산자 기호 $\nabla \times$ symbol × ${\displaystyle \nabla \times$ })은 벡터 필드의 컬(감기, 회전) 트렌드를 특정 포인트에서 측정하는 벡터 연산자입니다.

벡터 미적분 연산자의 물리학, 공학 및 텐서 공간으로의 확장으로서, 그라데이션, div 및 컬 연산자는 종종 벡터 ^[1]미적분뿐만 아니라 텐서 미적분과도 연관된다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ H.M. Schey (2005). Div Grad Curl and All that. New York: W W Norton. ISBN 0-393-92516-1.

[Vector_and_Tensor_Operators-1] H.M. Schey (2005). Div Grad Curl and All that. New York: W W Norton. ISBN 0-393-92516-1.

[1]

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