수학표

Mathematical table
An old book opened to columns of numbers labeled sinus, tangens and secans
사인, 접선 및 이차 삼각함수의 값을 보여주는 Matthias Bernegger의 1619년 수학 표의 페이지를 마주본다. 왼쪽 페이지에는 45° 미만의 각도가 있고, 오른쪽에는 45°보다 큰 각도가 있다. 코사인, 코탄젠트, 코센트는 반대 페이지의 항목을 사용하여 찾을 수 있다.

수학적 표는 다양한 인수를 가진 계산 결과를 보여주는 숫자 목록이다. 삼각형 표는 고대 그리스와 인도에서 천문학과 천체 항법에 응용하기 위해 사용되었으며, 전자 계산기가 값싸고 풍부해질 때까지도 널리 사용되어 연산을 단순화하고 획기적으로 가속화하였다. 대수표와 삼각함수표는 수학, 과학 교과서에서 공통적으로 출제되었으며, 수많은 응용을 위한 특화된 표들이 발표되었다.

역사 및 사용

처음 만들어진 것으로 알려진 삼각함수의 표는 히파르쿠스(기원전 1.190~기원전 120년)와 메넬라루스(기원전 70~140년)에 의해 만들어졌으나 둘 다 없어졌다. 프톨레마이오스의 생존표(c. 90 – c.168 CE)와 함께, 그것들은 모두 화음의 표였으며 반음절, 즉 사인함수의 표는 아니었다.[1] 인도 수학자 아랴바차(476–550 CE)가 제작한 표는 최초로 제작된 사인표로 평가된다.[1] 아랴바하의 탁자는 고대 인도의 표준 사인탁자로 남아 있었다. 상암아극의 마드하바(c.1350 – c.1425)에 의한 사인 및 코사인 함수의 파워 시리즈 확장, 그리고 마드하바의 사인 테이블 표의 계산이 소수점 7, 8자리까지의 정확한 값으로 정해지는 등 이 표의 정확성을 향상시키기 위한 시도가 지속적으로 있었다.

이 1925년도의 수학표는 대학입학시험위원회가 시험의 수학 부분을 수강하는 학생들에게 배포한 것이다.

컴퓨터와 전자계산기가 발명될 때까지 n번째 뿌리의 추출을 포함한 빠른 곱셈, 구획, 지수를 할 때까지 공통 로그 표들이 사용되었다.

차이 엔진으로 알려진 기계식 특수 목적 컴퓨터는 로그 기능의 다항식 근사치, 즉 대형 로그 표를 계산하기 위해 19세기에 제안되었다. 이것은 주로 그 시대의 인간 컴퓨터가 만든 로그 테이블의 오류에 의해 동기 부여되었다. 초기 디지털 컴퓨터는 부분적으로 포를 조준하기 위한 전문적인 수학 표를 생산하기 위해 제2차 세계 대전 동안 개발되었다. 1972년부터 과학적인 계산기의 출시와 사용이 증가하면서 대부분의 수학적 표는 사용되지 않게 되었다.

그러한 표를 구축하기 위한 마지막 주요 노력 중 하나는 1938년 미국에서 작업진행국(WPA)의 프로젝트로 시작된 수학표 프로젝트였으며, 450명의 사무직원을 고용하여 더 높은 수학적 함수를 표로 만들었다. 그것은 제2차 세계대전을 통해 지속되었다.[citation needed]

특수 기능의 표는 여전히 사용된다. 예를 들어, 과학적이고 그래픽적인 계산기를 사용하여 그러한 표를 중복시키고 있지만, 정규 분포의 누적 분포 함수 값 표, 소위 표준 정규 표라고 불리는 표의 사용은 오늘날, 특히 학교에서 공통적으로 남아 있다.

무작위 액세스 메모리에 저장된 테이블을 만드는 것은 컴퓨터 프로그래밍에서 공통 코드 최적화 기법으로, 테이블 검색이 해당 계산보다 빠른 경우(특히 문제의 컴퓨터가 계산의 하드웨어 구현을 하지 않는 경우)에 그러한 테이블을 사용하면 계산 속도가 빨라진다. 본질적으로, 사람들은 표를 저장하는 데 필요한 컴퓨터 메모리 공간의 계산 속도를 거래한다.

로그 표

헨리 브릭스 1617 로가리쓰모름 칠리아스 프리마의 페이지에는 0~67~14자리 정수들의 베이스-10(공통) 로그가 표시된다.
참고서 아브라모위츠와 스테건에서 20세기 공통 로그 표의 일부.
2002 American Practical Navigator의 삼각함수 로그 표의 페이지. 보간 작업을 돕기 위해 차이 열들이 포함되어 있다.

로그는 곱셈과 나눗셈의 문제를 훨씬 쉬운 덧셈과 뺄셈 문제로 변환하기 때문에, 전자 계산기와 컴퓨터의 출현 이전의 계산에 공통 로그(base-10)를 포함하는 표가 널리 사용되었다. Base-10 로그에는 고유하고 유용한 추가 속성이 있다. 10의 힘 인자에 의해서만 다른 1보다 큰 숫자의 공통 로그는 모두 맨티사라고 알려진 동일한 분수를 가진다. 공통 로그의 표에는 일반적으로 맨티사만 포함되었다. 특징으로 알려진 로그의 정수 부분은 원래 숫자로 숫자를 세면 쉽게 결정할 수 있었다. 유사한 원리로 1보다 작은 양의 숫자의 로그의 신속한 계산이 가능하다. 따라서 전체 양의 소수점 범위에 공통 로그의 단일 표를 사용할 수 있다.[2] 특성 및 사마귀 사용에 대한 자세한 내용은 공통 로그를 참조하십시오.

역사

주요 기사: 로그의 역사

1544년, 마이클 스티펠은 초기 버전의 로그 테이블로 여겨져 온 2의 정수와 힘의 표를 수록한 산술적 정수를 출판했다.[3][4][5]

로그의 방법은 1614년 존 네이피어가 '미리피티 로가리쓰모름 캐논리스 설명서(Logarithms의 놀라운 규칙 설명)'라는 책에서 공개적으로 제기하였다.[6] 이 책에는 57쪽 분량의 설명서와 90쪽 분량의 자연 로그 관련 표들이 실려 있었다. 영국의 수학자 헨리 브릭스(Henry Briggs)는 1615년 네이피어를 방문하여 현재 공통 또는 베이스 10 로그로 알려진 것을 형성하기 위해 네이피어의 로그 재확인을 제안했다. 네이피어는 브릭스에게 수정된 표의 계산을 위임했다. 1617년, 그들은 로가리스모룸 칠리아스 프리마("The First Sournal Logarithms")를 출판했는데, 이 책자는 14번째 소수점까지 계산된 첫 1000개의 정수에 대한 간략한 설명과 표를 주었다.

동력수 또는 지수 표기법의 역인 공통 로그(common logarithms)를 통해 이용할 수 있는 연산 진전은 손으로 계산하는 것이 훨씬 더 빠를 정도였다.

삼각표

주요 기사: 삼각표

삼각법 계산은 천문학의 초기 연구에 중요한 역할을 했다. 초기 테이블은 이전 테이블의 새로운 값을 계산하기 위해 삼각형 정체성(반각, 각도-섬 정체성 등)을 반복적으로 적용하여 구성되었다.

간단한 예

위의 그림 1619의 베른거 표와 같은 삼각 함수 표를 사용하여 75도, 9분, 50초의 사인 함수를 계산하려면 75도, 10분 정도 반올림한 다음, 75도 페이지에서 10분 입력(위: 0.9666746)을 찾으면 된다.

그러나 이 대답은 소수점 네 자리까지만 정확하다. 더 높은 정확도를 원한다면 다음과 같이 선형적으로 보간할 수 있다.

Bernegger 표에서:

죄(75° 10°) = 0.9666746
죄(75° 9°) = 0.9666001

이 값들의 차이는 0.0000745이다.

원호 1분에 60초가 있으므로 그 차이를 50/60으로 곱하여 (50/60)*0.0000745 21 0.0000621의 교정을 얻은 다음, 그 교정을 죄(75° 9′)에 추가하여 다음을 얻는다.

죄(75° 9′ 50″) ≈ 죄(75° 9′) + 0.0000621 = 0.9666001 + 0.0000621 = 0.9666622

현대의 계산기는 죄(75° 9 9 50″) = 0.9666219991을 주므로, 우리의 보간된 대답은 베른거 표의 7자리 정밀도에 정확하다.

정밀도가 더 높은 테이블(값당 더 많은 자릿수)의 경우 전체 정확도를 얻기 위해 더 높은 순서의 보간이 필요할 수 있다.[7] 전자 컴퓨터 이전 시대에는 이런 방식으로 테이블 데이터를 보간하는 것이 항법, 천문학, 측량 등 응용에 필요한 수학적 기능의 높은 정확도 값을 얻는 유일한 실용적인 방법이었다.

항법 노트와 같은 응용에서 정확성의 중요성을 이해하려면 지구의 적도나 자오선을 따라 있는 해발 1분간의 원호(사실, 모든 큰 원)가 1해리(약 1.852km 또는 1.151mi)와 같다는 점을 알아야 한다.

참고 항목

참조

  1. ^ a b J J O'Connor and E F Robertson (June 1996). "The trigonometric functions". Retrieved 4 March 2010.
  2. ^ E. R. Hedrick, Logarithmic 및 Trigonometric Tables(맥밀런, 뉴욕, 1913)
  3. ^ Stifelio, Michaele (1544), Arithmetica Integra, London: Iohan Petreium
  4. ^ Bukhshtab, A.A.; Pechaev, V.I. (2001) [1994], "Arithmetic", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
  5. ^ Vivian Shaw Groza and Susanne M. Shelley (1972), Precalculus mathematics, New York: Holt, Rinehart and Winston, p. 182, ISBN 978-0-03-077670-0
  6. ^ Ernest William Hobson (1914), John Napier and the invention of logarithms, 1614, Cambridge: The University Press
  7. ^ 아브라모위츠와 스테건 수학함수집, §4 소개

외부 링크