차동 엔진

차분 엔진은 다항식 함수를 표로 작성하도록 설계된 자동 기계 계산기입니다.그것은 1820년대에 고안되었고 찰스 배비지에 의해 처음 만들어졌다.차분 엔진이라는 이름은 작은 다항식 공효율 집합을 사용하여 함수를 보간하거나 표로 작성하는 방법인 나눗셈 차이 방법에서 파생되었습니다.공학, 과학 및 내비게이션에 사용되는 가장 일반적인 수학 함수 중 일부는 다항식으로 근사할 수 있는 로그 및 삼각함수를 계산하는 차분 엔진의 능력을 사용하여 계산 가능하며, 따라서 차분 엔진은 많은 유용한 숫자의 표를 계산할 수 있습니다.

역사

수학 함수를 위한 기계 계산기의 개념은 기원전 2세기의 안티키테라 메커니즘으로 거슬러 올라갈 수 있는 반면, 초기의 현대의 예들은 17세기의 파스칼과 라이프니츠에 기인한다.1784년 헤시안 군대의 기술자인 J. H. 뮐러는 덧셈 기계를 고안하고 만들고 1786년에 출판된 책에서 차동 기계의 기본 원리를 설명했지만,^[1][2][3] 그는 그 아이디어를 발전시키기 위한 자금을 얻을 수 없었다.

찰스 배비지의 차동 엔진

찰스 배비지는 1819년에^[4] 작은 차동 엔진을 만들기 시작했고 1822년에 완성했습니다(차동 엔진 0).^[5]그는 1822년 6월 14일 왕립천문학회에 제출한 논문에서 "천문표와 ^[6]수학표의 계산에 기계의 적용에 관한 주기"라는 제목의 자신의 발명을 발표했다.이 기계는 십진법을 사용했고 손잡이를 돌려 작동시켰다.영국 정부는 표를 만드는 데 시간이 많이 걸리고 비용이 많이 들었기 때문에 관심을 보였고 그들은 차동 엔진이 이 작업을 ^[7]더 경제적으로 만들 수 있기를 희망했다.

1823년, 영국 정부는 배비지에게 이 프로젝트에 착수할 1700파운드를 주었다.배비지의 디자인은 실현 가능했지만, 그 시대의 금속 가공 기술은 필요한 정밀도와 양만큼 부품을 경제적으로 만들 수 없었습니다.따라서, 그 시행은 정부의 최초 추정치보다 훨씬 더 비싸고 성공을 의심하는 것으로 판명되었다.1830년 설계에 따르면 그것은 약 25,000개의 부품을 가지고 있을 것이고 무게는 4톤으로 ^[8]추정될 것이다.1832년 배비지와 조셉 클레멘트는 6자리 숫자와 2차 ^[9][10]차이에 대해 작동하는 작은 작업 모델(차동 엔진 ^[5]1번 계산 섹션의 7분의 1을 제작했습니다.레이디 바이런은 1833년에 작동하는 프로토타입을 본 것에 대해 다음과 같이 말했습니다. "우리 둘 다 지난 월요일에 생각하는 기계를 보러 갔습니다.2, 3승까지 몇 개 올리고 2차 ^[11]방정식의 근원을 추출했다고 말했다.더 큰 엔진의 작업은 1833년에 중단되었다.

1842년 ^[10][12]정부가 프로젝트를 포기했을 때 배비지는 17,000파운드가 넘는 돈을 개발비로 받았고, 이는 여전히 작동 중인 엔진을 갖추지 못했다.정부는 기계 자체의 개발(예측할 수 없는 비용)이 아니라 기계의 생산량(경제적으로 생산된 표)만을 평가했습니다.배비지는 그 ^[7]곤경을 인정하지 않았거나 인정하지 않았다.한편, 배비지의 관심은 분석 엔진을 개발하는 쪽으로 옮겨갔고, 이는 차이 엔진의 궁극적인 성공에 대한 정부의 신뢰를 더욱 떨어뜨렸다.분석 엔진으로서의 개념을 개선함으로써 배비지는 차이 엔진 개념을 쓸모없게 만들었고,^[7] 이를 구현하려는 프로젝트는 정부의 관점에서 완전히 실패였습니다.

불완전한 차동 엔진 1호는 런던 ^[13][14]사우스 켄징턴에서 열린 1862년 국제 전시회에서 일반에 공개되었다.

배비지는 훨씬 더 일반적인 분석 엔진을 설계했지만, 이후 1846년과 1849년 사이에 개선된 "차이 엔진 2호" 설계(31자리 숫자와 7차 ^[9]차이)를 만들었습니다.배비지는 분석 엔진을 위해 개발된 아이디어를 활용하여 더 적은 ^[15][16]부품을 사용하면서 새로운 차이 엔진을 더 빨리 계산할 수 있었습니다.

쇼이츠식 계산 엔진

1834년 배비지의 차동 엔진에서 영감을 얻어 Per Georg Scheutz는 여러 실험 모델을 만들었습니다.1837년에 그의 아들 에드워드는 금속으로 작업 모형을 만들자고 제안했고 1840년에 5자리 숫자와 1차 차이로 급수를 계산할 수 있는 계산 부품을 완성했고, 나중에 3차(1842년)로 확장되었다.1843년, 인쇄 부분을 추가한 후, 그 모형은 완성되었다.

1851년 정부의 자금 지원을 받아 더 크고 개선된 기계(15자리 숫자와 4차 차이)의 건설이 시작되어 1853년에 완공되었다.이 기계는 1855년 파리에서 열린 세계 박람회에서 시연되었고 1856년 뉴욕 올버니의 더들리 천문대에 팔렸다.1857년에 납품된,^[17][18][19] 그것은 최초의 인쇄 계산기였다.1857년 영국 정부는 ^[20][21]1859년에 만들어진 다음 쇼이츠의 차동기를 주문했다.무게는 약 10cwt(1,100파운드; 510kg)^[19]로 이전 것과 동일한 기본 구조였다.

다른이들

마틴 와이버그는 쇼이츠의 구조를 개선했지만(c.159년, 그의 기계는 쇼이츠의 15자리 및 4계수와 같은 용량을 가지고 있다), 인쇄된 표(1860년엔 관심표,^[22] 1875년엔 로그표)를 제작하고 발행하는 데만 그의 장치를 사용했다.

1862년 런던의 알프레드 디콘은 작은 차이 엔진(20자리 숫자와 3차 차이)^[17][23]을 생산했습니다.

미국인 조지 B. 그랜트는 1869년 배비지와 쇼이츠(Scenz)의 작품을 알지 못한 채 계산기 작업을 시작했다.1년 후(1870년) 그는 차동 엔진에 대해 배웠고 1871년 자신이 만든 차동 엔진을 직접 설계하기 시작했다.1874년 보스턴 서즈데이 클럽은 1876년에 지어진 대규모 모델 건축을 위한 기부금을 모금했다.정밀도를 높이기 위해 확장할 수 있으며 무게는 약 2,000파운드(910kg)^[23][24][25]입니다.

크리스텔 하만은 1910년 라이프치히에서 처음 출판된 "바우싱거와 피터스의 테이블"을 위해 1909년 16자리 숫자와 2차 차이)의 기계를 하나 만들었다.그것은 무게가 약 40킬로그램 (88파운드)^[26][27][28]이었다.

Burroughs Corporation은 1912년 2차 ^{[29]: 451 [30]}엔진으로 사용되는 항해 연감 사무소를 위한 기계를 만들었다.1929년에 버로스 클래스 11(13자리 숫자와 2차 차이, 또는 11자리 숫자와 5차 차이)^[31]로 대체되었다.

1927년경 알렉산더 존 톰슨은 그의 로그표 "대수 브리태니커"를 위해 적분 및 차분 기계(13자리 숫자와 5차 차이)를 만들었다.이 기계는 4개의 변형된 트라이엄피케이터 ^[32][33][34]계산기로 구성되었다.

1928년 Leslie Comrie는 Brunsviga-Duppla 계산기를 2차(15자리 숫자)^[29]의 차분 엔진으로 사용하는 방법을 설명했습니다.그는 1931년 국가회계기계의 등급 3000을 ^{[23]: 137–138} 6차 미분엔진으로 사용할 수 있다는 점도 언급했다.

작동 중인 2번 차동 엔진 2개 구축

1980년대 동안, 호주 시드니 대학의 부교수인 앨런 G.^[35] 브롬리는 런던의 과학 박물관 도서관에서 배비지의 차이와 분석 엔진에 대한 원본 그림을 연구했습니다.이 작업을 통해 과학박물관은 1985년부터 1991년까지 당시 컴퓨터 큐레이터였던 도론 스와드(Doron Swade) 밑에서 차분 엔진 2호기의 작업 부분을 구축했습니다.이것은 1991년 배비지의 탄생 200주년을 기념하기 위한 것이었다.2002년에는 배비지가 원래 차동 엔진용으로 설계한 프린터도 ^[36]완성되었습니다.원래의 설계 도면을 엔지니어링 메이커의 사용에 적합한 도면으로 변환한 결과, 배비지의 설계(계획이 ^[37]도난당했을 경우의 보호책으로 도입되었을 가능성이 있음)에서 몇 가지 사소한 오류가 발견되어 수정이 필요했습니다.일단 완성되면 엔진과 프린터 모두 완벽하게 작동하며 여전히 작동합니다^{[citation needed]}.차이 엔진과 프린터는 19세기 기술로 달성할 수 있는 허용 오차로 구성되었고, 배비지의 설계가 효과가 있었는지에 대한 오랜 논쟁을 해결했다(배비지의 엔진 미완성에 대해 이전에 발전된 이유 중 하나는 공학 방법이 후기 지오에서 충분히 개발되지 않았기 때문이다).rgian 시대).그것은 8,000개의 부품으로 구성되어 있으며 무게는 약 5톤이다.^[38]

이 프린터의 주된 목적은 인쇄기에 사용할 고정 판을 제작하는 것입니다.이 판은 부드러운 석고로 타이프를 눌러 플롱을 만드는 것입니다.배비지는 이전 표의 많은 오류는 인간의 계산 실수가 아니라 수동 조판 ^[7]과정의 오류에서 비롯된 것임을 인식하여 엔진의 결과를 대량 인쇄로 직접 전달하고자 했습니다.프린터의 용지 출력은 주로 엔진의 성능을 확인하는 수단입니다.

Nathan Myhrvold는 과학 박물관의 차동 엔진에 대한 출력 메커니즘 건설에 자금을 지원할 뿐만 아니라, 2008년 5월 10일부터 2016년 ^{[39][40][38][41]}1월 31일까지 캘리포니아 마운틴 뷰의 컴퓨터 역사 박물관에 전시된 두 번째 완전한 차동 엔진 2호의 건설을 위탁했습니다.그 후, 그것은 시애틀의 Intelligental Ventures로 옮겨져 메인 로비 바로 밖에서 전시되고 있습니다.

작동

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차동 엔진은 1부터 N까지 번호가 매겨진 여러 개의 열로 구성됩니다.기계는 각 열에 소수점 하나를 저장할 수 있습니다.기계는 열 n + 1의 값만 열 n에 추가하여 새 값 n을 생성할 수 있습니다. 열 N은 상수만 저장할 수 있으며 열 1은 현재 반복에서 계산 값을 표시하고 인쇄합니다.

엔진은 컬럼에 초기 값을 설정하여 프로그래밍됩니다.열 1은 계산 시작 시 다항식 값으로 설정됩니다.열 2는 X의 동일값으로 다항식의 제1도함수 이상에서 도출된 값으로 설정된다.3~N의 각 열은 다항식의 (${\displaystyle n}$- ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }${$displaystyle (n-1)}$ 1차$$ 이상의${\displaystyle }$도함수로부터 도출된 값으로 설정된다.

타이밍.

배비지 설계에서는 주축의 각 회전마다 하나의 반복(즉, 하나의 전체 덧셈 및 반송 작업 세트)이 발생합니다.홀수 열과 짝수 열은 번갈아 한 주기로 추가를 수행합니다.$열{\displaystyle }$n {\$style$ n$}$의 조작 순서는 다음과 같습니다.

1. 카운트업, $열{\displaystyle }$n + $({displaystyle$ n$+1})$의 값 수신(추가 단계)
2. 카운트업된 값에 대해 반송 전파를 수행합니다.
3. 0까지 카운트다운하고 열${\displaystyle }n{\displaystyle }$ -$$에 추가합니다({ $displaystyle n$- 1 。
4. 카운트다운 값을 원래 값으로 재설정합니다.

스텝 1, 2, 3, 4는 홀수 열마다 발생하며 스텝 3, 4, 1, 2는 짝수 열마다 발생합니다.

배비지의 원래 디자인은 크랭크를 메인 샤프트에 직접 배치했지만, 기계를 크랭킹하는 데 필요한 힘은 사람이 편안하게 다루기에는 너무 컸다는 것을 나중에 깨달았습니다.따라서 두 모델은 크랭크에 4:1 감속 기어가 적용되어 있으며, 1회 전체 사이클을 수행하려면 크랭크를 4바퀴 회전해야 합니다.

순서

각 반복은 새로운 결과를 생성하며, 아래 그림의 맨 오른쪽에 있는 핸들을 4번 완전히 돌리는 것에 대응하는 4단계로 이루어집니다.4가지 단계는 다음과 같습니다.

• 스텝 1. 모든 짝수 열(2,4,6,8)이 홀수 열(1,3,5,7)에 동시에 추가됩니다.내부 스위프 암은 각 짝수 컬럼을 회전시켜 각 휠에 있는 모든 숫자를 0까지 카운트다운합니다.휠이 0으로 바뀌면 홀수/짝수 열 사이에 위치한 섹터 기어로 값이 전달됩니다.이러한 값은 홀수 열로 전송되어 카운트 업됩니다."9"에서 "0"으로 전달되는 홀수 열 값이 있으면 캐리 레버가 작동합니다.
• 2단계. 캐리 전파는 캐리 레버를 나선형으로 폴링하는 뒤쪽의 나선형 암에 의해 이루어지며, 따라서 어떤 레벨의 캐리라도 위의 휠을 1개씩 증가시킬 수 있습니다.그러면 캐리(carry)를 만들 수 있고, 그래서 팔이 나선형으로 움직입니다.동시에 섹터 기어는 원래 위치로 돌아가며, 이로 인해 균일한 칼럼 휠이 원래 값으로 다시 증가합니다.섹터 기어는 한쪽이 두 배 높이로 되어 있어, 짝수 칼럼 휠과 계속 접촉한 상태에서 들어 올려 홀수 칼럼 휠에서 분리할 수 있습니다.
• 3단계. 짝수 열(2,4,6)에 홀수 열(3,5,7)을 추가하고, 1열은 섹터 기어를 통해 엔진 왼쪽 끝에 있는 인쇄 메커니즘으로 값이 전달된다는 점을 제외하면 1단계와 같습니다."9"에서 "0"으로 전달되는 모든 짝수 열 값이 캐리 레버를 활성화합니다.다항식의 결과인 열 1 값이 첨부된 프린터 메커니즘으로 전송됩니다.
• 스텝 4. 이것은 스텝2와 비슷하지만 짝수 컬럼을 반송하고 홀수 컬럼을 원래 값으로 되돌립니다.

뺄셈

엔진은 음수를 10의 보완수로 나타냅니다.뺄셈은 음수를 더하는 것과 같다.이것은 현대의 컴퓨터가 2의 보완으로 알려진 뺄셈을 수행하는 것과 같은 방식으로 작동합니다.

차이의 방법

차분 엔진의 원리는 뉴턴의 차분 분할법이다.다항식의 초기값(및 그 유한차이)이 X의 어떤 값에 대해 어떤 수단으로 계산될 경우, 차분 엔진은 일반적으로 유한차이의 방법으로 알려진 방법을 사용하여 근처의 임의의 수의 값을 계산할 수 있다.예를 들어, 2차 다항식을 고려합니다.

${\displaystyle p(x)=2x^{2}-3x+2,}$

p(0), p(1), p(2), p(3), p(4) 등의 값을 표로 작성하는 것을 목적으로 합니다.다음 표는 다음과 같이 구성되어 있습니다.두 번째 열은 다항식의 값을 나타내고 세 번째 열은 두 번째 열에 두 개의 왼쪽 인접 라우터의 차이를 나타내고 네 번째 열은 세 번째 열에 두 개의 인접 라우터의 차이를 나타냅니다.

x	p(x) = 2x2 - 3x + 2	diff1(x) = ( p(x + 1) - p(x) )	diff2(x) = ( diff1(x + 1) - diff1(x) )
0	2	−1	4
1	1	3	4
2	4	7	4
3	11	11
4	22

세 번째 값 열의 숫자는 일정합니다.실제로 n차수의 다항식으로 시작하면 열 번호 n + 1은 항상 일정합니다.이것이 그 방법의 성공 뒤에 있는 결정적인 사실이다.

이 테이블은 왼쪽에서 오른쪽으로 작성되었지만 더 많은 값을 계산하기 위해 오른쪽에서 왼쪽으로 계속 작성할 수 있습니다.p(5)를 계산하려면 가장 낮은 대각선의 값을 사용합니다.네 번째 열 상수 값 4에서 시작하여 열 아래로 복사합니다.그런 다음 4와 11을 더하여 세 번째 열을 계속하면 15가 됩니다.그런 다음 이전 값 22를 가져와서 세 번째 열에서 15를 더하여 두 번째 열을 계속합니다.따라서 p(5)는 22 + 15 = 37이다.p(6)를 계산하기 위해 p(5) 값에 대해 동일한 알고리즘을 반복합니다. 네 번째 열에서 4를 가져와서 세 번째 열 값 15에 더해서 19를 얻은 다음 두 번째 열 값 37에 더해서 56을 얻습니다.이 과정은 무한히 계속될 수 있다.다항식의 값은 곱할 필요 없이 생성됩니다.차분 엔진은 추가할 수 있는 기능만 있으면 됩니다.루프 간에 2개의 번호(이 예에서는 첫 번째 열과 두 번째 열의 마지막 요소)를 저장해야 합니다.차수 n의 다항식을 표로 작성하려면 n개의 숫자를 저장할 수 있는 충분한 저장 공간이 필요합니다.

1991년에 최종적으로 제작된 배비지의 차분 엔진 2호는 각각 31자리 소수점 이하 8개의 숫자를 저장할 수 있으며, 따라서 7차 다항식을 그 정밀도로 표로 만들 수 있다.Sheutz사의 최고의 기계들은 각각 ^[42]15자리로 4개의 숫자를 저장할 수 있었다.

초기값

열의 초기 값은 먼저 함수의 연속된 N개 값을 수동으로 계산하고 역추적, 즉 필요한 차이를 계산하여 계산할 수 있습니다.

$Col{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ 0$({$$displaystyle$$$1_${$$0$ ${\displaystyle \mathrm{연산<img\; alt="1\_\{0\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/2e5120fdb64146fb2d84f979ec73a8e0e2932eea"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:2.217ex;\; height:2.509ex;">}}$ $시작{\displaystyle }$시 함수 값을 가져옵니다(0$).$ $Col{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2 $({$은 f${\displaystyle }$1$({$$displaystyle$$f$($1$$)})$과${\displaystyle }$f(0$)$^[43]의 차이입니다.

계산할 함수가 다음과 같이 표현되는 다항식 함수인 경우

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},}$

초기 값은 데이터 점을 계산하지 않고 상수 계수₀ a, a₁, a₂, ..., a에서_n 직접 계산할 수 있습니다.초기값은 다음과 같습니다.

• $Col{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$0 ({$displaystyle 1_{0})$ =$$ a₀
• $Col{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ 0$$({$displaystyle 2_{0}})$ =$$ a₁ + a₂₃ + a₄ + a + ...+ a_n
• $Col{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 3 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$({$displaystyle 3_{0})$ =$$ 2a₂ + 6a₃ + 14a₄ + 30a₅ + ...
• $Col{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 4 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$({$displaystyle 4_{0})$ =$$ 6a₃ + 36a₄ + 150a₅ + ...
• $Col{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 5 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$({$displaystyle 5_{0})$ =$$ 24a₄ + 240a₅ + ...
• $Col{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 6 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$({$displaystyle 6_{0})$ =$$ 120a₅ + ...
• $(\displaystyle...}$

파생상품의 사용

일반적으로 사용되는 많은 함수는 해석 함수이며, 예를 들어 테일러 급수로 표현될 수 있습니다.초기 값은 어느 정도의 정확도로도 계산할 수 있으며, 올바르게 수행되면 엔진이 첫 번째 N단계에 대해 정확한 결과를 제공합니다.그런 다음 엔진은 기능의 근사치만 제공합니다.

Taylor 급수는 함수를 한 점에서 도함수로부터 얻은 합계로 표현한다.예를 들어, 0의 사인 함수는 모든 도함수에 대해 0 또는${\displaystyle }$±$$(\$displaystyle \pm$1)의$$ 값을 갖는 등 많은 함수의 경우 더 높은 도함수를 얻기 어렵습니다.0을 계산의 시작으로 설정하면 단순화된 Maclaurin 시리즈를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\x^{n}}$

계수에서 초기 값을 계산하는 방법은 다항식 함수와 동일한 방법을 사용할 수 있습니다.이제 다항식 상수 계수는 다음 값을 갖습니다.

${displaystyle a_{n}\equiv {f^{(n)}(0)}{n!}}}$

곡선 피팅

위에서 설명한 방법의 문제는 오류가 누적되어 시리즈가 실제 함수에서 분리되는 경향이 있다는 것입니다.일정한 최대 오차를 보장하는 해결책은 곡선 피팅을 사용하는 것입니다.최소 N개의 값이 원하는 계산 범위를 따라 균등하게 계산됩니다.가우스 감소와 같은 곡선 피팅 기술을 사용하여 함수의 N-1차 다항식 보간법을 ^[43]찾을 수 있습니다.최적화된 다항식을 사용하여 위와 같이 초기값을 계산할 수 있습니다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

추가 정보

외부 링크

• 배비지에 대한 컴퓨터 역사 박물관 전시와 차이 엔진
• 배비지 과학 박물관, 런던배비지의 계산 기계 프로젝트와 현대 재건 및 모델 구축 프로젝트를 포함한 배비지의 연구에 대한 과학 박물관의 설명.
• 메카노 차동 엔진 #1
• 메카노 차동 엔진 #2
• 배비지의 첫 번째 차이 엔진– 그 작동 방식
• 배비지 차동엔진 1호기 비용분석
• 애니메이션을 사용한 엔진 작동
• 시드니 파워하우스 박물관의 차분 엔진 No.1 표본 작품
• Differential Engine No.2 기가픽셀 이미지
• 액션 비디오의 Scheutz Differential Engine.1856년 더들리 천문대의 초대 관장인 벤자민 압토프 굴드가 구입했습니다.굴드는 배비지를 알고 있었다.Difference Engine은 천문대를 위해 수년 동안 천문학적 계산을 수행했고, 현재는 Smithsonian 국립 박물관의 국립 소장품 중 일부입니다.
• Babbage DE 2와 그 구조에 관한 비디오 링크: