마티외 웨이블렛

마티외 방정식은 주기 계수를 갖는 선형 2차 미분 방정식이다.프랑스의 수학자인 E. Léonard Mathieu는 1868년 "타원막의 진동에 관한 기억"에서 오늘날 마티외 방정식이라고 불리는 이 미분 방정식을 처음 소개했다."마티외 기능은 굴절, 진폭 왜곡, 반전 진자, 부유체 안정성, 무선 주파수 쿼드폴, 진동 등 다양한 물리적 현상에 변형된 밀도를 가진 매체에서 적용할 수 있다."^[1]

타원실린더 파동

이것은 다진화 분석을 제공하는 광범위한 파장 시스템이다.디테일 및 스무딩 필터의 크기는 홀수 특성 지수를 갖는 제1종 마티외 함수에 해당한다.이러한 필터의 노치 수는 특성 지수를 선택하여 쉽게 설계할 수 있다.이 방법에 의해 도출된 타원기통 파장은 그 대칭성으로 인해 광학 및 전자기학 분야에 응용될 수 있는 잠재력을 가지고 있다.

마티외 미분 방정식

마티외 방정식은 타원형 실린더의 파동 방정식과 관련이 있다.1868년 프랑스의 수학자 에밀 레오나르 마티외는 오늘날 마티외 방정식이라고 불리는 미분 방정식을 도입했다.^[3]

${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ,${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$이(가) 주어지면, Mathieu 방정식은 다음과 같이 주어진다$.$

${\디스플레이 스타일 {\frac {d^{2}y}{fil^{2}}+(a-2q\cos 2w)y=0.}$

마티외 방정식은 주기 계수를 갖는 선형 2차 미분 방정식이다.q = 0의 경우 주파수의 제곱인 잘 알려진 고조파 오실레이터로 감소한다.^[4]

마티외 방정식의 해법은 타원-실린더 고조파인데, 마티외 함수로 알려져 있다.그들은 다음을 포함하여 타원형 기하학 관련 광범위한 파장-가이드 문제에 오랫동안 적용되어 왔다.

1. 단계 지수 타원 코어 광섬유에 대한 약한 가이드라인에 대한 해석
2. 타원파 가이드의 동력 전달
3. 타원형 경음기 안테나의 복사파 평가
4. 임의 편심성을 가진 타원형 고리형 마이크로스트립 안테나 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu$}$$)
5. 코팅된 스트립에 의해 산란

Mathieu 함수: cosine-elliptic 및 sine-elliptic 함수

일반적으로 마티외 방정식의 해법은 주기적이지 않다.단, 주어진 q의 경우, a의 많은 특별한 값(유전자값)에 대해 주기적인 해법이 존재한다.물리적으로 관련된 몇 가지 해결책의 경우, 주기 $period{\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$ 또는$$ $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$이어야 한다$.$ 1종류의 마티외 함수라고 하는 짝수 및 홀수 주기 솔루션을 구별하는 것이 편리하다.

다음과 같은 네 가지 간단한 유형 중 하나를 고려할 수 있다.${\displaystyle }$ 솔루션$({\displaystyle \pi }$ 또는$$ $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$) 대칭(짝수 또는 홀수)

$q{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle q\neq 0}$의 경우$,$ 특성 값 a${\displaystyle }$= ${\displaystyle r_{}}$( $q{\displaystyle }$ ) ${\displaystyle a=a_{r}(q)$ $또는$ a${\displaystyle }$= ${\displaystyle b_{}}$ (${\displaystyle {}_{}q)}$ ${\displaystystyle a=b_{r}(q)$에 해당하는 유일한 주기적 솔루션 y는 다음과$$ 같은 기호를 갖는다.

ce와 se는 각각 코사인-백과 사인-백의 약어다.

• 주기적인 솔루션:
  $${\displaystyle ce_{r}(\omega ,q)=\sum _{m}A_{r,m}\cos {m\omega }{\text{{}{}a=a_{r}(q)}$$

  
• 홀수 주기적 솔루션:
  $${\displaystyle se_{r}(\omega ,q)=\sum _{m}A_{r,m}\sin {m\omega }{\text{{}{{a=b_{r}(q)}$$

  

여기서 y의 기간이 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }($ if 2 $even{\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle 2\pi }).$

r을 지정하면 $A{\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle m_{}}$ ${\$에서 A m ${\$을 짧게 나타낸다$.$

$q{\displaystyle }$→ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle q\to 0$ r${\displaystyle \mathrm{r}}$ 0 {\$displaystyle$ r$\neq$ 0$\}$ :

그림 1은 타원 코사인 두 개의 예시 파형을 보여주며, 이 파형의 형태는 파라미터 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu }$ 및 q에 따라$$ 크게 달라진다.

멀티플라이어솔루션 분석 필터와 마티외 방정식

웨이블렛은 각각 $\psi {\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \psi$($t$ 스케일링 함수는 $\varphi {\displaystyle }$(${\displaystyle t}$${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ $\Psi$$$${\displaystyle (\backslash }$$omega$$\})$$${\$displaystyle$ \Phi (t$)$로 표시되며, 해당 스펙트럼은$$$\psi {\displaystyle \mathrm{}}$${\displaystyle \mathrm{}}$${\displaystyle }$(\$displaystyle \Phi (.$

The equation ${\displaystyle \phi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n\in Z}h_{n}\phi (2t-n)}$, which is known as the dilation or refinement equation, is the chief relation determining a Multiresolution Analysis (MRA).

${\displaystyle H}$ (${\displaystyle \Omega }$ )${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle \frac{\sqrt{2\mathrm{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}\underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle \underset{}{Z}}$ h ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ j ${\displaystyle {\Omega }^{}}$ k ${\$ {1$}{\sqrt{2}}}\sum _{k\in$ Z}$h_{k}$e^{$j}omegak}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle G}$ (${\displaystyle \Omega }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{2\mathrm{}}}{}}$ ${\displaystyle \sum _{}}$ ${\displaystyle \underset{}{g}}$ Z ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ e e e ${\displaystyle j^{}}$ j$$ ${\displaystyle k^{}}$ {\$displaystyle$ G$(\omega )={\frac {1}{\sqrt{2}}}\sum _{k\in$ Z}g_${j}e^\omegak}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

마티외 파장의 "세부 필터"의 전송 기능은 다음과 같다.

${\displaystyle G_{\nu }(\omega )=e^{j(\nu -2)[{\frac {\omega -\pi }{2}}]}.{\frac {ce_{\nu }({\frac {\omega -\pi }{2}},q)}{ce_{\nu }(0,q)}}}$

마티외 파장의 "스무팅 필터"의 전송 기능은 다음과 같다.

${\displaystyle H_{\nu }(\omega )=-e^{j\nu [{\frac {\omega }{2}}]}.{\frac {ce_{\nu }({\frac {\omega }{2}},q)}{ce_{\nu }(0,q)}}}$

특성 지수인 ${\displaystyle \nu$}은(는) 적절한 초기 조건을 보장하도록 선택해야 한다$$. 즉, G ${\displaystyle {\nu }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}0}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle G_{\nu }=0}$ 및 $G$ ${\displaystyle \nu }$( $pi$${\displaystyle )}$ = ${\displaystyle 1}${\$displaysty G_{\nu(\pi )$는 필터 요건과 호환된다$.$따라서 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu}$은(는) 홀수여야$$ 한다.

전달 함수의 크기는 타원-신의 계수에 정확히 해당한다.

Mathieu MRA에 대한 필터 전송 기능의 예는 그림 2에 나와 있다.a의 값은 각각의 경우에서 고유값으로 조정되어 주기적인 해법으로 이어진다.이러한 솔루션은 0${\displaystyle }$Ω${\displaystyle \Omega }$인 간격 $0$에 ν {\$displaystyle$ 0$\$$leq \leq$ \$pi}$의 수 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \leq$\pi}을(를) 나타낸다$.$

마티외 MRA의 G 및 H 필터 계수는 다음과 같이 마티외 함수의$$ 값${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}}$ $2$ l${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}{}_l}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle Z_{}}$ ${\$A_{$2l+1}\}_{l\in$ Z$}}$의 단위로 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {h_{l}{\sqrt{2}}=-{\frac {A_{2l+1}/2}{ce_{\nu }},q}}}}}}}}$

${\displaystyle {\frac{g_{l}{\sqrt{2}}=(-1)^{l}{\frac {A_{2l-3 }/2}}{ce_{\nu }{,q}}}}}}}}}}}}}}$

계수 사이에 다음과 같은 반복 관계가 존재한다.

$(\displaystyle)(a-1-q)A_{1}-qA_{3}=0}$

${\displaystyle(a-m^{2})A_{m}-q(A_{m-2}+A_{m+2}=0})$

$m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle m\geq 3$ m 홀수.

${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle l_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{l}}_{}}$- 1 ${\$l$-1},$ > 0 ${\displaystyle \forall l>0}$을(를) 보여주는 것은 간단하다

Normalising conditions are ${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{k=+\infty }{h_{k}=-1}}$ and ${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{k=+\infty }{(-1)^{k}h_{k}=0}}$.

마티외 파장의 파형

마티외 파장은 계단식 알고리즘에 의한 로우패스 재구성 필터에서 파생될 수 있다.마티외 웨이블렛은 소형 지원이 없으므로 무한 임펄스 응답 필터(IIIR 필터)를 사용해야 한다.그림 3은 파랑의 모양과 같은 새로운 패턴을 보여준다.파라미터에 따라 일부 파형(예: 그림 3b)은 다소 특이한 형태를 나타낼 수 있다.

참조