다중화 분석

멀티솔루션 분석(MRA) 또는 멀티스케일 근사치(MSA)는 실질적으로 관련된 대부분의 이산 파장 변환(DWT)의 설계 방법과 고속 파장 변환(FWT) 알고리즘에 대한 정당성이다.1988/89년 스테판 말랏과 이브 마이어에 의해 이러한 맥락에서 도입되었으며, 1981/83년 피터 J. 버트, 에드워드 H에 의해 도입된 미분방정식(다림법) 이론의 마이크로로컬 분석과 피라미드 이미지 처리 방법의 선구자가 있다.아델슨과 제임스 L. 크롤리.

정의

Lebesgue 공간 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle R\mathbb{}}$) ${\displaystyle$ L$^{2}(\mathb {R}$)의 다중해석 분석은 중첩된 하위공간 시퀀스로 구성된다$$.

${\desstyle \{0\}\subset V_{1}\subset V_{0}\subset V_{-1}\subset \dots \subset V_{-n}\subset V_{-(n+1)}\subset \subset L^{2}(mathb {R})}}}}}}}}$

시간 공간 및 스케일 빈도뿐만 아니라 완전성과 규칙성 관계에서 특정 자기 만족 관계를 만족시키는 것.

• 시간의 자기 유사성은 각 아공간 V가_k 2의^k 정수 배수로 교대할 때 불변성을 요구한다.즉, 각 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$$$ ${\displaystyle k_{}}$, ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \in }$ Z ${\$$displaystyle$ $f\in V_{k},\;m\in \mathb {Z}$에 대해 함수 g는 $g{\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 2^{}}$ k )${\displaystyle g(x)=f(x-m2^{$$k$에도 포함되어 있다.
• 자기 닮음 규모에서 요구 서로 각각dilation 인자 2k-l 스케일링에 동의 subspaces Vkm그리고 4.9초 만 ⊂ Vl, k>l,{\displaystyle V_{km그리고 4.9초 만}\subset V_{나는},\, k>, l,}은time-scaled 형태이다. 각 f에 즉, ∈ Vk{\displaystylef\in V_{km그리고 4.9초 만}}이 g∈ V나는{\displaystyleg\in V_{나는}}과 함께 있다. ∀)∈${\displaystyle R}$: ${\displaystyle g}$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$) ${\displaystyle \forall x\in \mathb {R} :\;g(x)=f(2^{k-l}x)}$.
• 서브 스페이스 시퀀스에서 k>l의 경우 l-th 서브 스페이스의 공간 분해능 2가^l k-th 서브 스페이스의 분해능 2보다^k 높다.
• 규칙성은 모델 아공간 V가₀ 1개 또는 유한한 수의 생성함수 $ϕ{\displaystyle \pi$ $}$ 또는$$$ϕ$ ${\displaystyle 1_{}}$의 정수 이동의 선형 선체($지형적$으로 또는 심지어$$위상적으로 닫힘$)$로 생성될 것을 요구한다$.$이러한 정수 이동은 적어도 무한대의 붕괴에 특정 조건을 부과하는 하위 공간 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle R\mathbb{}}$) ${\displaystyle V_{0}\subset L^{2}(\mathb {R}$)에 대한 프레임을 형성해야 한다$.$발생 함수는 스케일링 함수 또는 아버지 웨이블렛이라고도 한다.대부분의 경우 그러한 기능들은 컴팩트한 지지로 단편적으로 연속되어야 한다.
• 완전성은 중첩된 ${\displaystyle 하위공간}$이 전체 공간을 채울 것을 요구한다. 즉, 이들의 결합은 ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}$( R )${\displaystyle$ L$^{2}(\mathb {R} )$에서 밀도가 높아야 하며$,$ 너무 중복되지 않아야 한다. 즉, 교차점에는 0 요소만 포함되어야 한다.

중요한 결론

직교 교대조에서 1개의 연속(또는 적어도 경계가 있는 변동)이 콤팩트하게 지원되는 스케일링 기능의 경우, 여러 가지 차감을 할 수 있다.이런 종류의 기능이 존재한다는 증거는 잉그리드 다우베키스 덕분이다.

Assuming the scaling function has compact support, then ${\displaystyle V_{0}\subset V_{-1}}$ implies that there is a finite sequence of coefficients ${\displaystyle a_{k}=2\langle \phi (x),\phi (2x-k)\rangle }$ for ${\displaystyle k \leq N}$, and ${\displaystyle a_k}$${\displaystyle {}_{}=}$ > ${\displaystyle k >N}$에 ${\displaystyle \mathrm{대한}}$ 0 ${\displaystyle a_{k}=0$ 다음과 같은 경우

${\displaystyle \phi(x)=\sum _{k=-N}^{N}a_{k}\phi(2x-k)}$

모파 또는 모파울렛으로 알려진 또 다른 함수 정의

$[\displaystyle \cHB(x):=\sum _{k=-N}^{N}(1)^{k}a_{1-k}\phi(2x-k),}$

one can show that the space ${\displaystyle W_{0}\subset V_{-1}}$, which is defined as the (closed) linear hull of the mother wavelet's integer shifts, is the orthogonal complement to ${\displaystyle V_{0}}$ inside ${\displaystyle V_{-1}}$. Or put differently, ${\displaystyle V_$${-1}$은(는) W 0 ${\$ W_${0}$과(와) ${\displaystyle {V\mathrm{}}_{}}$0 {\$displaystyle$ V_${0}$의 직교합계( $({\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus$ $\}$으로 표시되며$,$ 자체 유사성으로는 ${\displaystyle {W\mathrm{}}_{}}$ $0{\displaystyle {}_{}}$ ${\$이 있으며 완전성이$$ 있다.

${\displaystyle L^{2}(\mathb {R} )={\mbox{locking of }}\bigoplus _{k\in \mathb {Z}{W_{k}}}}}}$

이리하여 집합

${\displaystyle \{\displaystyle \{k,n}(x)={\sqrt{2}}^{-k}\chost (2^{-k}x-n):\;k,n\in \mathb {Z} \}}}$

L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle R\mathbb{}}$) ${\displaystyle L^{2}(\mathb {R} )}$의 계산 가능한 전체 정형 파장 기준이다$.$

참고 항목

• 멀티스케일 모델링
• 축척 공간
• 시간-빈도 분석
• 웨이블렛

참조

• Chui, Charles K. (1992). An Introduction to Wavelets. San Diego: Academic Press. ISBN 0-585-47090-1.
• Akansu, A.N.; Haddad, R.A. (1992). Multiresolution signal decomposition: transforms, subbands, and wavelets. Academic Press. ISBN 978-0-12-047141-6.
• 크롤리, J. L. (1982)시각 정보, 박사 논문, 카네기-멜론 대학, 1982.
• Burrus, C.S.; Gopinath, R.A.; Guo, H. (1997). Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms: A Primer. Prentice-Hall. ISBN 0-13-489600-9.
• Mallat, S.G. (1999). A Wavelet Tour of Signal Processing. Academic Press. ISBN 0-12-466606-X.