행렬 차이 방정식

행렬 차이 방정식은 한 시점에 변수의 벡터 값(또는 때로는 행렬)이 행렬을 사용하여 하나 이상의 이전 시점의 자체 값과 관련되는 차이 방정식이다.^[1]^[2]방정식의 순서는 변수 벡터의 표시된 두 값 사이의 최대 시간 간격이다.예를 들어,

\mathbf {x} _{t}=\mathbf {A} \mathbf {x} _{t-1}+\mathbf {B} \mathbf {x} _{t-2}

$2차$ 행렬 차이 $방정식$ 의 $예$ 로서, x는 $변수$ 의 $n$ × $1 벡터$ , A와 B는 n × n 행렬이다.이 방정식은 방정식의 끝에 벡터 상수 항이 추가되지 않기 때문에 동질적이다.동일한 방정식이 다음과 같이 기록될 수도 있다.

\mathbf {x} _{t+2}=\mathbf {A} \mathbf {x} _{t+1}+\mathbf {B} \mathbf {x} _{t}}}

또는 로서

\mathbf {x} _{n}=\mathbf {A} \mathbf {x} _{n-1}+\mathbf {B} \mathbf {x} _{n-2}

가장 흔히 접하는 행렬 차이 방정식은 일차다.

비균형 1차 케이스 및 안정 상태

비균형 1차 행렬 차이 방정식의 예는 다음과 같다.

\mathbf {x} _{t}=\mathbf {A} \mathbf {x} _{t-1}+\mathbf {b}}

가법 상수 벡터 $b$ .이 시스템의 안정 상태는 벡터 $x$ 의 값 $x *$ 이며, 이 값에 도달하면 이후에서 이탈되지 않는다. $x *$ 는 차이 방정식에서 $x t$ = $x t -1$ = $x *$ 를 설정하고 $x *$ 를 구하는 방법으로 찾을 수 있다.

\mathbf {x}^{*}=[\mathbf {I} -\mathbf {A}^{-1}\mathbf {b}}}

여기서 $나$ 는 n×n 아이덴티티 매트릭스이고 $,$ [ $I$ - A $]$ 가 변위할 수 없다고 가정되는 곳이다.그 다음, 균질하지 않은 방정식은 안정상태로부터의 편차의 관점에서 동질적 형태로 다시 작성될 수 있다.

\left[\mathbf {x} _{t}-\mathbf {x} ^{*}\오른쪽]=\mathbf {A} \left[\mathbf {x} _{t-1}-\mathbf {x} ^{*}\rig]}

1차 케이스의 안정성

1차 행렬 차이 방정식 $[x t$ - x $*]$ = $A [x t -1$ - $x *]$ 은 안정적이다. 즉, 변환 행렬 $A$ 의 모든 고유값이 1보다 작은 절대값을 갖는 경우에만 $x$ 가_t 점증적으로 안정 상태 $x *$ 로 수렴된다.

1차 케이스의 해결책

방정식이 동질적 $형식 t$ y = $Ay$ 로_t−1 입력되었다고 가정한다.그런 다음, 벡터 $y$ 의 초기 값이며 해결책을 찾기 위해 반드시 알아야 하는 초기 $조건 0$ y에서 반복하여 대체할 수 있다.

{\begin{aligned}\mathbf {y} _{1}&=\mathbf {A} \mathbf {y} _{0}\\\mathbf {y} _{2}&=\mathbf {A} \mathbf {y} _{1}=\mathbf {A} ^{2}\mathbf {y} _{0}\\\mathbf {y} _{3}&=\mathbf {A} \mathbf {y} _{2}=\mathbf {A} ^{3}\mathbf {y} _{0}\end{aligned}}

등등, 그래서 수학적 유도에 의해 $t$ 의 측면에서 해답은

\mathbf {y} _{t}=\mathbf {A}^{t}\mathbf {y} _{0}}}

또한 $A$ 가 대각선으로 가능한 경우 A의 고유값과 고유벡터 측면에서 $A$ 를 다시 쓸 수 있어, 그 해결방법은 다음과 같다.

\mathbf {y} _{t}=\mathbf {P} \mathbf {D} ^{t}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {y} _{0}}}

여기서 $P$ 는 열이 $A$ 의 고유 벡터인 $n$ × n $행렬$ 이고(유전자 값이 모두 구별된다고 가정함) $D$ 는 대각선 원소가 $A$ 의 고유값인 $n$ × n 대각선 행렬이다.이 해결책은 위의 안정성 결과에 동기를 부여한다.A의^t 고유값이 모두 절대값의 통일보다 작을 경우에만 시간이 지남에 따라 0 행렬로 축소된다.

1차 매트릭스 시스템에서 단일 스칼라 변수의 역학 추출

n차원 시스템 $y t$ = $Ay$ 에서_t−1 시작하여 상태 변수 중 하나인 y( $y 1$ )의 역학을 추출할 수 있다. $y$ 에_t 대한 위의 솔루션 $방정식$ 은_1,t y에 대한 $솔루션$ 이 $A$ 의 n 고유값이라는 것을 보여준다.따라서 $y$ 의₁ 진화를 기술하는 방정식은 동일한 고유값을 포함하는 해법이 있어야 한다.이 서술은 직관적으로 $y$ 의₁ 진화 방정식을 동기부여하는데, 이는 다음과 같다.

y_{1,t}=a_{1}y_{1,t-1}+a_{2}y_{1,t-2}++a_{n}y_{1,t-n}}

여기서 모수 $a$ 는_i 행렬 $A$ 의 특성 방정식에서 나온 것이다.

\putda ^{n}-a_{1}\n1}\putda ^{n-1-a_{2}\putda ^{n2}-\property -a_{n}\putda ^{0}=0}=0.

따라서 n차원 1차 선형 시스템의 각 개별 스칼라 변수는 행렬 차이 방정식과 동일한 안정성 특성(안정성 또는 불안정성)을 갖는 일변량 n차 방정식에 따라 진화한다.

고차 케이스의 솔루션 및 안정성

더 높은 순서의 행렬 차이 방정식(즉, 한 기간보다 긴 시간 지연)은 블록 행렬(매트릭스 매트릭스)을 사용하여 1차 순서의 형태로 변환하여 해결할 수 있으며, 그 안정성을 분석할 수 있다.예를 들어, 2차 방정식이 있다고 가정합시다.

\mathbf {x} _{t}=\mathbf {A} \mathbf {x} _{t-1}+\mathbf {B} \mathbf {x} _{t-2}

변수 벡터 $x$ 는 $n$ × $1$ 이고 $A$ 와 $B$ 는 $n$ × $n$ 이다.이것은 양식으로 쌓을 수 있다.

{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{t}\\\mathbf {x} _{t-1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{t-1}\\\mathbf {x} _{t-2}\end{bmatrix}}

여기서 $I$ 는 $n$ × $n$ ID 행렬이고 $0$ 은 $n$ × n $0$ 행렬이다.그런 다음 전류 및 한 번 지연된 변수의 $2n$ × 1 $누적$ 벡터를 $z$ 로_t, $2n$ × 2n 블록 행렬을 $L$ 로 나타내면 해결책 이전과 같다.

\mathbf {z} _{t}=\mathbf {L}^{t}\mathbf {z} _{0}}}

또한 이전과 마찬가지로 이 쌓인 방정식, 즉 원래의 2차 방정식은 행렬 $L$ 의 모든 고유값이 절대값의 통일보다 작을 경우에만 안정적이다.

비선형 행렬 차이 방정식:리카티 방정식

선형 2차-가우스 제어에서 아래 $H$ 로 표시된 현재 및 미래 비용 행렬의 역진화를 위한 비선형 행렬 방정식이 발생한다.이 방정식을 이산다이나믹 리카티 방정식이라고 하며, 2차 비용함수를 최적화하기 위해 외생 벡터를 조작하여 선형 매트릭스 차이 방정식에 따라 진화하는 가변 벡터를 제어할 때 발생한다.이 Riccati 방정식은 다음과 같은 형태 또는 이와 유사한 형태를 가정한다.

\mathbf {H} _{t-1}=\mathbf {K} +\mathbf {A} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {A} -\mathbf {A} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {C} \left[\mathbf {C} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {C} +\mathbf {R} \right]^{-1}\mathbf {C} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {A}

여기서 $H$ , $K$ , $A$ 는 $n$ × $n$ , $C$ 는 $n$ × $k$ , $R$ 은 $k$ × $k$ , $n$ 은 제어될 벡터 내의 원소의 수, $k$ 는 제어 벡터 내의 원소의 수다.파라미터 $매트릭스$ $A$ 와 C는 선형 방정식에서, 파라미터 $매트릭스$ $K$ 와 R은 2차 비용 함수에서 나온다.자세한 내용은 여기를 참조하십시오.

일반적으로 이 방정식은 $t$ 의 $관점$ 에서_t H에 대해 분석적으로 풀 수 없다. 오히려 Riccati 방정식을 반복함으로써 $H$ 에_t 대한 값의 순서를 찾는다.그러나 $R$ = $0,$ $n$ = $k$ + $1$ 이면 이 Riccati 방정식을 스칼라 이성적 차이 방정식으로 줄임으로써 분석적으로 해결할 수 있다는 것이 입증되었다^[3]. 더욱이, $전환$ 행렬 $A$ 가 비정규적인 경우, Riccati 방정식을 행렬의 고유값 측면에서 분석할 수 있다.수적으로 ^[4]발견되다

대부분의 맥락에서 시간을 통해 거꾸로 $H$ 의 진화는 안정적이다. 즉, $H$ 는 다른 모든 행렬이 합리적일지라도 비합리적일 수 있는 특정한 고정 $행렬$ H*로 수렴한다는 뜻이다.확률론적 제어 § 이산 시간을 참조하십시오.

참고 항목

참조

^ Cull, Paul; Flahive, Mary; Robson, Robbie (2005). Difference Equations: From Rabbits to Chaos. Springer. ch. 7. ISBN 0-387-23234-6.
^ Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (3rd ed.). McGraw-Hill. pp. 608–612.
^ Balvers, Ronald J.; Mitchell, Douglas W. (2007). "Reducing the dimensionality of linear quadratic control problems" (PDF). Journal of Economic Dynamics and Control. 31 (1): 141–159. doi:10.1016/j.jedc.2005.09.013.
^ Vaughan, D. R. (1970). "A nonrecursive algebraic solution for the discrete Riccati equation". IEEE Transactions on Automatic Control. 15 (5): 597–599. doi:10.1109/TAC.1970.1099549.
^ Martin, C. F.; Ammar, G. (1991). "The geometry of the matrix Riccati equation and associated eigenvalue method". In Bittani; Laub; Willems (eds.). The Riccati Equation. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-58223-3_5. ISBN 978-3-642-63508-3.

[1] Cull, Paul; Flahive, Mary; Robson, Robbie (2005). Difference Equations: From Rabbits to Chaos. Springer. ch. 7. ISBN 0-387-23234-6.

[2] Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (3rd ed.). McGraw-Hill. pp. 608–612.

[3] Balvers, Ronald J.; Mitchell, Douglas W. (2007). "Reducing the dimensionality of linear quadratic control problems" (PDF). Journal of Economic Dynamics and Control. 31 (1): 141–159. doi:10.1016/j.jedc.2005.09.013.

[4] Vaughan, D. R. (1970). "A nonrecursive algebraic solution for the discrete Riccati equation". IEEE Transactions on Automatic Control. 15 (5): 597–599. doi:10.1109/TAC.1970.1099549.

[5] Martin, C. F.; Ammar, G. (1991). "The geometry of the matrix Riccati equation and associated eigenvalue method". In Bittani; Laub; Willems (eds.). The Riccati Equation. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-58223-3_5. ISBN 978-3-642-63508-3.

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