계수가 일정한 선형 반복

수학에서(포함한 조합론, 선형 대수 및 동적 시스템), 상수 coefficients[1]는 선형 재발:ch.17[2]:ch.10(또한 선형 복귀 관계 또는 선형계 차 방정식으로 알려져)세트 0은 variable—that의 다양한 예제에 선형은 다항식과 같습니다,의 요소 중 가치들의.시퀀스.다항식의 선형성은 각 항의 차수가 0 또는 1임을 의미합니다.선형 반복은 시간 경과에 따른 일부 변수의 진화를 나타내며, 현재 시간 주기 또는 이산 모멘트는 t로 표시되며, 한 주기는 t - 1, 한 주기는 t + 1 등으로 표시된다.

이러한 방정식의 해는 반복 값이 아닌 t의 함수로, 언제든지 반복 값을 제공합니다.솔루션을 찾으려면 n개의 반복 반복에 대한 특정 값(초기 조건이라고 함)을 알아야 합니다.일반적으로 이들은 가장 오래된 반복 횟수입니다.방정식 또는 변수는 초기 조건의 집합에서 시간이 무한대로 가는 변수의 한계가 존재하는 경우 안정적이라고 합니다. 이 한계를 정상 상태라고 합니다.

차이 방정식은 경제학과 같은 다양한 맥락에서 국내총생산, 인플레이션율, 환율 등과 같은 변수들의 시간을 통한 진화를 모델링하기 위해 사용된다.이러한 변수의 값은 이산 구간에서만 측정되기 때문에 이러한 시계열을 모형화하는 데 사용됩니다.계량경제학 응용 프로그램에서 선형 차분 방정식은 자기회귀(AR) 모델 및 AR을 다른 특징과 결합하는 벡터 자기회귀(VAR) 및 자기회귀 이동평균(ARMA) 모델과 같은 모델에서 확률적 항으로 모델링됩니다.

정의들

상수 계수를 갖는 선형 반복은 매개변수₁ a, …, a_n 및 b로 작성된 다음 형식의 방정식입니다.

$\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{n}y_{t-n}+b,}$

또는 동등하게

$\displaystyle y_{t+n}=a_{1}y_{t+n-1}+\cdots +a_{n}y_{t}+b.}$

양의 $정수{\displaystyle }$n(\$displaystyle$ n$)$은 반복 순서라고 불리며 반복 사이의 가장 긴 시간 간격을 나타냅니다.방정식은 b = 0이면 균질, b 0 0이면 비균질이라고 합니다.

방정식이 동질인 경우 계수에 따라 특성 다항식("보조 다항식" 또는 "반복 다항식")이 결정됩니다.

$\displaystyle p(\displayda)=\displayda ^{n}-a_{1}\displayda ^{n1}-a_{2}-\cdots-a_{n}$

그 뿌리는 재발을 만족시키는 서열을 찾고 이해하는 데 중요한 역할을 한다.

균질한 형태로 변환

b 0 0일 경우, 방정식은

$\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{n}y_{t-n}+b}$

는 균질하지 않다고 합니다.이 방정식을 풀기 위해서는 항이 일정하지 않은 균일한 형태로 변환하는 것이 편리합니다.이것은 먼저 방정식의 정상 상태 값(n개의 연속된 반복이 모두 이 값을 가질 경우 미래의 모든 값도 이 값을 가질 수 있는 y* 값)을 구함으로써 이루어집니다.이 값은 차분 방정식에서 y*와 같은 y의 모든 값을 설정하고, 풀어서 구한다.

${\displaystyle y^{*}=subscfrac {b}{1-a_{1}-\cdots -a_{n}}}}$

분모가 0이 아니라고 가정합니다.0일 경우 정상 상태는 존재하지 않습니다.

정상 상태가 주어지면, 차분 방정식은 정상 상태로부터의 반복 편차의 관점에서 다시 쓰여질 수식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \left(y_{t}-y^{*}\right)=a_{1}\left(y_{t-1}-y^{*}\right)+\cdots +a_{n}\left(y_{t-n}-y^{*}\right)}$

일정한 항이 없고, 보다 간결하게 쓸 수 있는 것

$\displaystyle x_{t}=a_{1}x_{t-1}+\cdots +a_{n}x_{t-n}$

여기서 x는 y - y* 입니다.이것은 균질한 형태입니다.

정상 상태가 없는 경우, 차분 방정식은

$\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{n}y_{t-n}+b}$

동등한 형태와 조합할 수 있다

$\displaystyle y_{t-1}=a_{1}y_{t-2}+\cdots +a_{n}y_{t-(n+1)}+b}$

(b에 대해 둘 다 풀어서) 얻다

$\displaystyle y_{t}-a_{t-1}-\cdots -a_{n}y_{t-1}=y_{t-1}-\cdots -a_{t-2}-\cdots -a_{n}y_{t-(n+1)}}}}}$

같은 항을 조합하여 원래의 항보다 한 차수의 균질 방정식을 얻을 수 있습니다.

소규모 주문에 대한 솔루션 예시

특성 다항식의 뿌리는 반복을 만족시키는 시퀀스를 찾고 이해하는 데 중요한 역할을 한다.${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{r\mathrm{}}_{}}$ 2, …, r d$,$$${\$displaystyle r_{1}, r_{2},$ \$ldots$, $r_{d}$가$있는{\displaystyle }$ 경우 반복에 대한 각 솔루션은 형식을 취합니다.

${\displaystyle a_{n}=k_{1}r_{2}r_{2}r_{n}+\cdots +k_{d}r_{d}^{n}$

여기서 ki$($ $스타일 k_{i$}) 계수는 반복의 초기 조건에 적합하도록 결정된다.같은 루트가 여러 번 발생하는 경우, 이 공식에서 같은 루트의 두 번째 이후의 출현에 대응하는 항에 n$(\displaystyle$ n$)$의 거듭제곱을 곱합니다.예를 들어 특성 다항식을 (${\displaystyle x}$-${\displaystyle {}^{}r}$)$$ {\displaystyle $(x-r)^3}}$으로${\displaystyle }$인수분해할 수 있는 경우, 같은 $루트{\displaystyle }$r {\\$displaystyle$ (x-r)^{3$\}\}$입니다.$displaystyle$ r$}$이(가) 세 번 발생하면 솔루션은 다음 형식을 취합니다.

${\displaystyle a_{n}=k_{1}r^{n}+k_{2}display^{n}+k_{3}n^{2}r^{n}.}$^[3]

주문 1

주문 1의 경우 반복

${\displaystyle a_{n}=ra_{n-1}}$

에는 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1}${$displaystyle$ $a_{n$$}$ =$r$$^{n$$}$의 ${\displaystyle {솔루션}_{}}$이 있습니다.가장 일반적인 솔루션은 0 $=$ $=$ $kr$ r$$ { $displaystyle$ $a_$${n$$}=$ kr$^{n$입니다.0에 해당하는 특성 다항식(특성 방정식)은 $간단히{\displaystyle }$ t${\displaystyle }$- ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t-r=0$이다.

주문 2

이러한 고차 반복 관계에 대한 해는 체계적인 방법으로 구하며, 종종 t ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle r}${\$displaystyle$ $a_{n$}=$r^{n}$이 특성 다항식의 근일 때 $정확히{\displaystyle }$ n$$ ${\displaystyle r^{}}$ {$displaystyle t=$r}이 반복에$$ 대한 해라는 $사실$을 이용한다.이는 직접 접근하거나 생성 함수(공식 멱급수) 또는 행렬을 사용하여 접근할 수 있습니다.

예를 들어 폼의 반복 관계를 고려합니다.

$({displaystyle a_{n}=Aa_{n-1}+Ba_{n-2}).}$

${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r^{}}$n { $displaystyle a$_ { n } =$r^$ { n }$$substit $substit{\displaystyle {}_{}}$ substit of of of of of of of of of of of = r^ { n$$} ? 이 추측(anatz)을 반복관계로 대체하면 다음과 같은 것을 알 수 있다.

$\displaystyle r^{n}=Ar^{n-1}+Br^{n-2}$

$>$ 1에 대해 $true여야 합니다$

${\displaystyle r^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$- $({$ r$^{n-2$로 나누면 이 모든 방정식이 같은 값으로 환산됩니다.

${\displaystyle r^{2}=Ar+B,}$

${\displaystyle r^{2}-Ar-B=0,}$

이것은 반복 관계의 특성 방정식입니다.r$${\$displaystyle$ r$}$에 $대해{\displaystyle }$ 해결하여 2개의 루트 ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$$$1 { $displaystyle$\$lambda$$$_ ${2$$}$$$} : 이 루트들을 특성식의 특징 루트 또는 고유값이라고 합니다.뿌리의 성질에 따라 다른 솔루션을 얻을 수 있습니다.만약 이 뿌리가 구별된다면, 우리는 일반적인 해결책을 가지고 있습니다.

$({displaystyle a_{n}=C\lambda_{1}^{n}+D\lambda_{2}^{n})$

동일한 ${\displaystyle {경우\mathrm{}}^{}\mathrm{A}}$ ${\displaystyle 2}$ + 4 ${\displaystyle \mathrm{B}}$ 0(\$displaystyle$ A$^{2}+4B=0)$에는 다음과 같이 표시됩니다.

$(\displaystyle a_{n}=C\lambda ^{n}+Dn\lambda ^{n})$

이것이 가장 일반적인 해결책입니다.두 개의 $상수{\displaystyle }$C(\$displaystyle$ C$)$와 D$(\displaystyle$ D$)$는 0$(\$와 $(\$})의$$ 두 가지 초기 $조건$에 따라 선택할 수 있습니다.

복소 고유값(솔루션 $파라미터{\displaystyle }$C$(\$$displaystyle$ C$)$ $및$ D(\$displaystyle$ D$)$에 대한 복소값 발생)의 경우 삼각법으로 솔루션을 다시 쓰면 복소수 사용을 없앨 수 있다.이 경우 고유값은 ${\displaystyle {11\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{22}}$ $=$α ± ${\displaystyle \beta }$ i$.$ {\$displaystyle \displayda _{$1},\$displayda _{2}=\alpha \pm$ \$display$ i$.}$로 쓸 수 있습니다.$$ 그러면 알 수 있다

${\displaystyle a_{n}=C\lambda _{1}^{n}+D\lambda _{2}^{n}}$

can be rewritten as^{[4]: 576–585}

${\displaystyle a_{n}=2M^{n}\left(E\cos(\theta n)+F\sin(\theta n)\right)=2GM^{n}\cos(\theta n-\delta ),}$

where

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}M={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}&\cos(\theta )={\tfrac {\alpha }{M}}&\sin(\theta )={\tfrac {\beta }{M}}\\C,D=E\mp Fi&&\\G={\sqrt {E^{2}+F^{2}}}&\cos(\delta )={\tfrac {E}{G}}&\sin(\delta )={\tfrac {F}{G}}\end{array}}}$

Here ${\displaystyle E}$ and ${\displaystyle F}$ (or equivalently, ${\displaystyle G}$ and ${\displaystyle \delta }$) are real constants which depend on the initial conditions. Using

${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}=2\alpha =A,}$

${\displaystyle \lambda _{1}\cdot \lambda _{2}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}=-B,}$

one may simplify the solution given above as

${\displaystyle a_{n}=(-B)^{\frac {n}{2}}\left(E\cos(\theta n)+F\sin(\theta n)\right),}$

where ${\displaystyle a_{1}}$ and ${\displaystyle a_{2}}$ are the initial conditions and

${\displaystyle {\begin{aligned}E&={\frac {-Aa_{1}+a_{2}}{B}}\\F&=-i{\frac {A^{2}a_{1}-Aa_{2}+2a_{1}B}{B{\sqrt {A^{2}+4B}}}}\\\theta &=\arccos \left({\frac {A}{2{\sqrt {-B}}}}\right)\end{aligned}}}$

In this way there is no need to solve for ${\displaystyle \lambda _{1}}$ and ${\displaystyle \lambda _{2}}$.

In all cases—real distinct eigenvalues, real duplicated eigenvalues, and complex conjugate eigenvalues—the equation is stable (that is, the variable ${\displaystyle a}$ converges to a fixed value [specifically, zero]) if and only if both eigenvalues are smaller than one in absolute value. In this second-order case, this condition on the eigenvalues can be shown^[5] to be equivalent to ${\displaystyle A <1-B<2}$, which is equivalent to ${\displaystyle B <1}$ and ${\displaystyle A <1-B}$.

일반적인 솔루션

특성 다항식 및 근

균질 방정식을 풀다

$\displaystyle x_{t}=a_{1}x_{t-1}+\cdots +a_{n}x_{t-n}$

먼저 그것의 특징적인 다항식을 푸는 것을 포함한다

$\displaystyle \displayda ^{n}=a_{1}\displayda ^{n-1}+a_{n2}+a_{n}$

그 특징적인₁ 근 ,, ..., λ_n. 이 근들은 n 4 4이면 대수적으로 풀릴 수 있지만 반드시 풀릴 필요는 없다.해법을 수치적으로 사용하는 경우, 이 특성 방정식의 모든 근을 수치적 방법으로 찾을 수 있다.그러나 이론적 맥락에서 사용하기 위해 루트에 대해 필요한 유일한 정보는 루트가 절대값 1보다 크거나 같은지 여부일 수 있습니다.

모든 근이 실수이거나 복소수일 수 있다.후자의 경우, 모든 복소근은 복소 켤레 쌍으로 나온다.

뚜렷한 특성의 뿌리를 가진 솔루션

만약 모든 특징적인 근이 구별된다면, 균일한 선형 반복의 해는

$\displaystyle x_{t}=a_{1}x_{t-1}+\cdots +a_{n}x_{t-n}$

특징적인 뿌리로써 쓸 수 있다

${\displaystyle x_{t}=c_{1}\displayda _{1}^{t}+\cdots +c_{n}\displayda _{n}^{t}$

여기서 초기 조건을 호출하여 계수_i c를 구할 수 있습니다.구체적으로는 반복값이 알려진 기간마다 이 값과 그에 대응하는 t값을 해법식으로 치환하여 n개의 as-unknown 파라미터의 선형방정식을 얻을 수 있으며, n개의 파라미터 값에 대해 n개의 초기조건마다 1개의 이러한 방정식을 동시에 풀 수 있다.모든 특성 루트가 실재하는 경우 계수 값_i c도 실재하지만, 비실재 복소 루트의 경우 일반적으로 이러한 계수 중 일부는 실재하지 않습니다.

복잡한 해법을 삼각법으로 변환

복소근이 있는 경우, 이들은 켤레 쌍으로 나오며, 솔루션 방정식의 복소항도 마찬가지입니다.이러한 복잡한 용어 중 두 개가 c_j^t
_j'와 c_j+1^t
_j+1'일 경우, 루트 θ는_j 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$({displaystyle\pm}, {j+1}=\alpha\pm i=M\left({\frac {alpha}{M}}\pm {M}{M}}i\right})$

여기서 i는 가상 단위이고 M은 루트의 계수입니다.

${\displaystyle M=sqrt {\alpha ^{2}+\display ^{2}}}.}$

그러면 솔루션 방정식의 두 개의 복잡한 항은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle {displaystyle {displaystyle} c_{j}+c_{j+1}\displayda _{j+1}^{t}&=M^{t}\left({\frac {alpha}{M}}}+{\frac {n}{j}\light}^{c+1}^{t}^{t}^{t}\오른쪽)\\[6pt]&=M^{t}\left(c_{j}\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)^{t}+c_{j+1}\left(\cos \theta -i\sin \theta \right)^{t}\오른쪽)\\[6pt]&=M^{t}{\bigl(}c_{j}\left(\cos \theta t+i\sin \theta t\right)+c_{j+1}\left(\cos \theta t-i\sin \theta t\right){bigr}\end {arned}}$

어디 θ는 각도 코사인을 적용했을 때.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac도 존재한다.N{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}α/M과 사인을 적용했을 때 β/M 있다; 지난 평등 여기 드 무아 브르의 공식을 사용해다.

이제_j 계수 c와_j+1 c를 구하는 과정은 그것들이 θ ± δi로 쓸 수 있는 복소 공역임을 보증한다.마지막 방정식에서 이것을 사용하면 솔루션 방정식의 두 가지 복잡한 항에 대해 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

$(\displaystyle 2M^{t}\left(\gamma \cos \theta t-\delta \sin \theta t\오른쪽))$

라고도 쓸 수 있다

$(\displaystyle 2{\sqrt {gamma ^{2}+\delta ^{2}}M^{t}\cos(\theta t+\psi)})$

여기서 θ는 코사인 값이 θ/θ²+θ이고² 사인 값이 θ/θ²+θ인² 각도입니다.

순환성

초기 조건에 따라 모든 루트가 실재하더라도 반복은 정상 상태 값보다 위아래로 이동하는 일시적인 경향을 경험할 수 있습니다.그러나 진정한 순환성은 변동하는 영구적인 경향을 포함하며, 이것은 적어도 한 쌍의 복잡한 켤레 특징적인 뿌리가 있을 때 발생합니다.이는 cos δt와 sin δt를 포함하는 솔루션 방정식에 대한 기여도의 삼각법 형태에서 볼 수 있습니다.

중복되는 특성의 뿌리를 가진 솔루션

2차 경우, 두 근이 동일할 경우₁(θ = θ₂), 둘 다 θ로 표시될 수 있으며 용액은 다음과 같을 수 있다.

${\displaystyle x_{t}=c_{1}\displayda ^{t}+c_{2}t\displayda ^{t}}$

매트릭스 형태로 변환하여 해결

대체해법은 n차 차분 방정식을 1차 행렬 차분 방정식으로 변환하는 것을 포함한다.이는 w = y_t, w_2,t = y_t−1 = w_1,t−1, w_3,t = y_t−2 = w_2,t−1 등으로 입력하면_1,t 됩니다.그러면 원래의 단일 n차 방정식이

$\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{n}y_{t-n}+b}$

는 다음 n개의 1차 방정식으로 대체할 수 있습니다.

${\displaystyle {displaystyle}w_{1,t}&=a_{1}w_{1,t-1}+\cdots +a_{n}w_{n,t-1}+b\w_{2,t}&=w_{1,t-1}\vots,\dots,\end { aligned}}$

벡터_i w의 정의

$\displaystyle \mathbf {w} _{i} = param {bmatrix} w_{1,i}\w_{2,i}\vdots \\w_{n,i}\end{bmatrix}}$

이것은 매트릭스 형태로 표현될 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {w} _{t}=\mathbf {A} \mathbf {w} _{t-1}+\mathbf {b} }$

여기서 A는 첫 번째 행이 a, ..., a를_n 포함하고₁ 다른 모든 행이 단일 1을 가지며, b는 첫 번째 요소 b와 나머지 요소가 0인 열 벡터이다.

이 행렬 방정식은 기사 행렬 차분 방정식의 방법을 사용하여 풀 수 있습니다.

생성 함수를 이용한 솔루션

재발

$\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{n}y_{t-n}+b,}$

함수 생성 이론을 사용하여 해결할 수 있습니다.먼저 Y${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle =\underset{t}{}}$ t${\displaystyle \underset{}{0}}$ 0 ${\displaystyle y_{}}$ t ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$\ $displaystyle$Y ( x ) = \ $sum$_ {$t$ \ $geq$ 0 } $y$_ { $t$} x { $t$$}$ 라고 씁니다.이 경우 반복은 다음 생성 함수 방정식과 동일합니다.

$\displaystyle Y(x)=a_{1}xY(x)+a_{2}x^{2}Y(x)+\cdots +a_{n}x{n}Y(x)+{\frac {b}{1-x}+p(x)}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 p${\displaystyle }$(${\displaystyle }$x$$) {$displaystyle$ p$(x)}$는 $초기{\displaystyle }$ 항을 수정하는$$ 최대${\displaystyle }$n -$$ {displaystyle $n-1}$의 다항식입니다.이 방정식으로부터 우리는 풀 수 있다

$\displaystyle Y(x)=\left({\frac {b}{1-x}+p(x)\오른쪽)\cdot {1-a_{1}x-a_{2}x^{2}-\cdots -a_{n}x^{n}}.}$

즉, Y$)$ {$displaystyle$ Y${\displaystyle (}$$x)}$은(는) ${\displaystyle 유리함수\frac{}{}}$ Y$($ f(x) g$x$ . {$displaystyle Y$(x$)}{g(x)}$로 표현할 수 있습니다.$}$

그런 다음 부분 분해를 통해 닫힌 형태를 도출할 수 있습니다.구체적으로는 생성함수가 다음과 같이 기술되어 있는 경우

${\displaystyle {f(x)}{g(x)}=\sum _{i}{\frac {f_{i}(x)}{(x-r_{i})}^{m_{i}}}}}}$

그런 다음 $다항식{\displaystyle }$ p$)$ {$displaystyle$ p$(x)}$는 초기 $보정{\displaystyle }$ z$)$ {$displaystyle$ z$(n$${\displaystyle }$분모(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle {ri}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle m^{}}${$displaystyle(x-r_{$$i$})를 결정합니다$$.$^{m}$은 $지수항{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$n {\$displaystyle r_{i}^{$n$\}$을 결정하고, m$${$displaystyle$ m$}$과 분자 $)$ {$displaystyle f_$${i}(x$)}는$$ 다항식 $계수$ $n$를 결정합니다.

미분 방정식에 대한 해와의 관계

선형미분방정식을 푸는 방법은 위의 방법과 유사합니다.계수가 일정한 선형미분방정식의 "지능적 추측"(ansatz)은 e ${\displaystyle x^{}}$ x$${\$displaystyle$ e$^{\lambda$ x$}$입니다. $여기$서 {\$${\$displaystyle \lambda }$는 추측을 차이에 대입하여 구하는 복소수입니다.장내 방정식

이건 우연이 아니야선형 미분 방정식에 대한 솔루션의 Taylor 급수를 고려:

${\displaystyle _{n=0}^{\infty}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}$

시리즈의 계수는 f$)$의 n번째$$ 도함수$(\displaystyle$$$a$)$에 의해 계산됨을$$알 수 있다.미분 방정식은 이러한 계수와 관련된 선형 차분 방정식을 제공합니다.

이 동등성을 사용하여 선형 미분 방정식의 멱급수 솔루션에서 계수에 대한 반복 관계를 신속하게 해결할 수 있습니다.

경험칙(첫 번째 항에 0을 곱한 다항식이 0이 아닌 방정식의 경우)은 다음과 같습니다.

${\displaystyle y^{k}\to f[n+k]}$

보다 일반적으로

${\displaystyle x^{m}*y^{k]\to n(n-1)...(n-m+1)f[n+k-m]}$

예:방정식의 Taylor 계열 계수에 대한 반복 관계:

${\displaystyle(x^{2}+3x-4)y^{[3]-(3x+1)y^{[2]}+2y=0}$

에 의해 주어집니다.

${\displaystyle n(n-1)f[n+1]+3cp[n+2]-4f[n+3]-3cp[n+1]-f[n+2]+2f[n]=0}$

또는

${\displaystyle -4f[n+3]+2gc[n+2]+n(n-4)f[n+1]+2f[n]=0.}$

이 예는 일반 미분방정식 수업에서 학습된 멱급수해법을 사용하여 일반적으로 풀 수 있는 문제를 훨씬 쉽게 풀 수 있는 방법을 보여줍니다.

예:미분 방정식

${\displaystyle ay'+by'+cy=0}$

솔루션이 있다

$(\displaystyle y=e^{ax}).}$

Taylor 계수의 차분 방정식으로의 미분 방정식의 변환은 다음과 같다.

$\displaystyle af[n+2]+bf[n+1]+cf[n]=0.}$

0$({displaystyle$0})으로 평가된$$의 n$$$(style$ n$)$ - n($displaystyle$ e$^{ax$$})$ 도함수는 $n{\displaystyle }$$($a^{${\displaystyle n^{}}\})$임을 쉽게 알 수 있습니다.

z-transforms로 해결

특정 차분 방정식, 특히 선형 상수 계수 차분 방정식은 z 변환을 사용하여 해결할 수 있습니다.z 변환은 보다 편리한 대수적 조작과 보다 간단한 해법으로 이어지는 적분 변환의 한 종류입니다.직접적인 해결책을 얻는 것이 거의 불가능한 경우가 있지만, 신중하게 선택한 통합 변환을 통해 문제를 해결하는 것은 간단합니다.

안정성.

솔루션 방정식 중

${\displaystyle x_{t}=c_{1}\displayda _{1}^{t}+\cdots +c_{n}\displayda _{n}^{t}$

특성근의 절대값이 1보다 작을 경우 t가 무한히 커짐에 따라 실제 특성근의 항은 0으로 수렴됩니다.절대값이 1인 경우, 루트가 +1이면 t가 커짐에 따라 항은 일정하게 유지되지만 루트가 -1이면 두 값 사이에서 변동합니다.루트의 절대값이 1보다 크면 시간이 지남에 따라 항이 점점 커집니다.복합 켤레 특성의 루트를 갖는 한 쌍의 항은 루트의 계수 M의 절대값이 1보다 작을 경우 감쇠 변동과 함께 0으로 수렴됩니다. 계수 M이 1보다 클 경우 결합 항에서 일정한 진폭 변동이 지속됩니다.ns의 매그니튜드가 계속 증가하고 있습니다.

따라서 모든 특성 근의 크기가 1보다 작으면 진화하는 변수 x가 0으로 수렴됩니다.

가장 큰 루트의 절대값이 1일 경우 0으로의 컨버전스도 무한대로 컨버전스도 발생하지 않습니다.크기가 1인 모든 루트가 실수이고 양수인 경우 x는 상수 항 c의_i 합으로 수렴됩니다. 안정적인 경우와는 달리 이 수렴 값은 초기 조건에 따라 달라지며, 시작점이 다르면 장기적으로 다른 점이 발생합니다.어떤 루트가 -1일 경우, 그 항은 두 값 사이의 영구적인 변동에 기여합니다.단위 크기의 루트가 복잡하면 x의 일정한 진폭 변동이 지속됩니다.

마지막으로, 특성 루트가 1보다 큰 크기를 갖는 경우, x는 시간이 무한대로 흐르면서 무한대로 분산되거나 점점 더 큰 양의 값과 음의 값 사이에서 변동합니다.

Issai Schur의 정리에 따르면 특정 행렬식 문자열이 모두 ^{[2]: 247} 양수인 경우에만 모든 근의 크기가 1보다 작습니다.

비균질 선형 차분 방정식이 위와 같이 분석된 균질 형식으로 변환된 경우, 원래의 비균질 방정식의 안정성 및 순환성 특성은 파생된 균질 형식의 특성과 동일하며, 안정적인 경우에서의 수렴은 t 대신 정상 상태 값 y*에 대한 것이다.o 0.

「 」를 참조해 주세요.

• 반복관계
• 선형 미분 방정식
• 스콜렘-말러-레흐 정리
• 스콜렘 문제

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