중위수 대수

수학에서 중위수 대수는 실제 숫자의 3배와 부울 다수 함수의 중위수의 개념을 일반화하는 공리 집합을 만족하는 $\langle x,y,z\rangle$ 3차 연산 $\langle x,y,z\rangle$ x $\langle x,y,z\rangle$ , y $\langle x,y,z\rangle$ , $\langle x,y,z\rangle$ $\langle x,y,z\rangle$ $\langle x,y,z\angle$ 을 갖는 집합이다.

공리는

$\displaystyle \langle x,y,y\angle =y}$
$\displaystyle \langle x,y,z\angle =\langle z,x,y\angle }$
$\displaystyle \langle x,y,z\angle =\langle x,z,y\angle }$
$\displaystyle \langle \langle x,w,y\angle ,w,z\angle =\langle x,w,\langle y,w,z\angle \angle }$

두 번째와 세 번째 공리는 공통성을 암시한다: 다른 세 가지 공리가 있을 때 공리 (3)이 중복됨을 보여주는 것은 가능하다(그러나 쉽지 않다).네 번째 공리는 연상성을 내포하고 있다.다른 가능한 공리 시스템이 있다. 예를 들어 두 시스템

$\displaystyle \langle x,y,y\angle =y}$
$\displaystyle \langle u,v,\langle u,w,x\langle \angle =\langle u,x,\langle w,u,v\rangle \angle }$

또한 충분하다.

In a Boolean algebra, or more generally a distributive lattice, the median function $\langle x,y,z\rangle =(x\vee y)\wedge (y\vee z)\wedge (z\vee x)$ satisfies these axioms, so that every Boolean algebra and every distributive lattice forms a median algebra.

비르호프와 키스는 원소가 $\langle 0,x,1\rangle =x$ $\langle 0,x,1\rangle =x$ $\langle 0,x,1\rangle =x$ $\langle 0,x,1\rangle =x$ = $\langle 0,x,1\rangle =x$ = x {\ $displaystyle \langle$ 0,x $,1\$ rangele $=x}$ 인 중위수 대수가 분포 격자임을 $\langle 0,x,1\rangle =x$ 보여주었다.

중위수 그래프와의 관계

중위수 그래프는 세 꼭지점 $x$ ${\displaystyle$ x $x$ $\langle x,y,z\rangle$ ${\displaystyle y$ 및 $z$ ${\displaystyle$ $z}$ 에 $z$ 대해 두 $x$ 의 x{\ $displaystyle$ $x$ $},$ $y$ {\ $displaystyle$ $\langle x,y,z\rangle$ y} $사이$ 의 $최단$ 경로에 속하는 $\langle x,y,z\rangle$ 고유한 꼭지점이 $\langle x,y,z\rangle$ 비방향 그래프입니다 $.$ $}$ , 및 $z$ ${\displaystyle$ z $}.$ 이 경우 $\langle x,y,z\rangle$ $\langle x,y,z\rangle$ , $\langle x,y,z\rangle$ , $\langle x,y,z\rangle$ $\langle x,y,z\rangle$ $\langle x,y,z\angle$ 연산에서는 그래프의 정점을 원소로 하는 중위수 대수학을 정의한다 $\langle x,y,z\rangle$ .

반대로 모든 중위수 대수에서 one $\langle x,y,z\rangle =y$ , $\langle x,y,z\rangle =y$ , z $\langle x,y,z\rangle =y$ = $\langle x,y,z\rangle =y$ $y$ 의 요소 $y$ $y$ 이 되는 $[x,z]$ 구간 $[x,z]$ [ $x,$ $z]$ 을 정의할 수 있다 $\langle x,y,z\rangle =y$ 각 대수 원소 및 쌍에 대한 가장자리를 만들어 중위수 대수에서 그래프를 정의할 수 있다. $(x,z)$ $(x,z)$ , $(x,z)$ ) ${\displaystyle(x,z)}$ 간격 $[x,z]$ [ $[x,z]$ , z $[x,z]$ $[x,z]$ 이(가) 다른 요소를 포함하지 $[x,z]$ 않는 경우 $(x,z)$ .대수학에서 모든 구간이 유한한 속성을 갖는다면 이 그래프는 중위수 그래프인데, 그래프의 최단 경로에 의해 정의된 중위수 연산이 대수의 원래 중위수 연산과 일치한다는 점에서 대수를 정확하게 나타낸다.