뫼비우스 반전 공식

수학에서 고전적인 뫼비우스 반전 공식은 산술 함수 쌍들 간의 관계인데, 각각은 분수에 대한 합에 의해 다른 한 쌍으로부터 정의된다.1832년 아우구스트 페르디난드 뫼비우스에 의해 숫자 이론에 도입되었다.^[1]

이 공식의 큰 일반화는 임의의 국소적으로 유한한 부분 순서의 집합에 대한 합계에 적용되며, 뫼비우스의 고전 공식은 불분명한 자연수 집합에 적용된다: 발생 대수 참조.

공식명세서

고전 버전에서는 g와 f가 산술 함수를 만족하는 경우라고 한다.

${\displaystyle g(n)=\sum _{d\mid n}f(d)\result{\text{모든 정수 }n\geq 1}$

그때

${\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}\mu(d)g\left({\frac {n}{d}\right)\reading {\text{{{{n\geq 1}}정수마다 {\text}$

여기서 μ는 뫼비우스 함수와 n의 모든 양의 d에 걸쳐 총량이 확장된다(위 공식에서$$ $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mid n}$ ${\displaystyle d\mid n}$로 표시).실제로 원래의 f(n)는 반전 공식을 사용하여 g(n)을 부여할 수 있다.두 시퀀스는 서로 뫼비우스의 변형이라고 한다.

f와 g가 양의 정수에서 일부 아벨리아 그룹(Z-모듈로 표시)까지의 함수인 경우에도 이 공식은 정확하다.

디리클레 수녀원의 언어로 첫 번째 공식은 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle g=f*{\mathit{1}}$

여기서 ∗은 디리클레 콘볼루션을 나타내며, 1은 상수함수 1(n) = 1. 두 번째 공식은 다음과 같이 기록된다.

$f=\mu *g.}$

많은 구체적인 예들이 승법 함수에 관한 기사에 제시되어 있다.

∗은 (명사 및) 연상이고, 여기서 ∗은 디리클레 컨볼루션의 ID 함수로서 모든 n > 1에 대해 ((1) = 1, 0(n) = 0을 취하기 때문에 정리가 뒤따른다.그러므로

${\displaystyle \mu \ast }$ ${\displaystyle g}$ =${\displaystyle \mu }$μ ${\displaystyle (1}$μ${\displaystyle }$)${\displaystyle }$f${\displaystyle }$) = (${\displaystyle \mu }$μ ${\displaystyle 11}$ ) =${\displaystyle =}$ ${\displaystyle f}$ = ${$ f = ${\displaystyle f}$ {\$displaystyle \mu *g=\mu$ *g=\mu $*({\mathit{1}*f)=(\mu *{\mathit{1})*f=\varipsilon *f$

위에 언급된 합계 기반 Möbius 반전 공식의 제품 버전이 있다.

${\displaystyle g(n)=\prod _{dn}f(d)\iff f(n)=\prod _{d}g\left\frac\frac{n}{d}\오른쪽)^{\mu(d)},\forall n\geq 1.}$

시리즈 관계

내버려두다

${\displaystyle a_{n}=\sum _{d\mid n}b_{d}}}$

하도록

${\displaystyle b_{n}=\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac{n}}{d}\오른쪽)a_{d}}}}}$

그 변형이다.변환은 시리즈: 램버트 시리즈에 의해 연관된다.

${\displaystyle \sum \n=1}^{n=1}a_{n}x^{n}=\sum_{n=1}^{n}b_{n}{\x^{n}{1-x^{n}}}}}}}}}:{1-x^{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:$

디리클레 시리즈:

${\displaystyle \sum \n=1}^{n1}^{\frac {a_{n}}}{n^{n}}}}}}{n=1}^{n^{n1}s}}}}}}}}}{n^}}}}}}}}}{n^{n^}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 ζ은 리만 제타 함수다.

반복 변환

산술함수를 부여하면 첫 번째 합계를 반복적으로 적용하면 다른 산술함수의 바이무한 시퀀스를 생성할 수 있다.

예를 들어 오일러의 토털 함수 φ으로 시작하여 변환 과정을 반복적으로 적용하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

1. φ 토털 함수
2. φ ∗ 1 = I, 여기서 I(n) = n은 ID 함수다.
3. I ∗ 1 = σ₁ = σ, divisor 함수

만일 출발함수가 뫼비우스 함수 그 자체라면, 함수 목록은 다음과 같다.

1. μ, 뫼비우스 함수
2. μ∗ 1 = ε 여기서
   $${\displaystyle \varepsilon (n)={\data.case}1, }{\text{{n=1\0, }\text{{}}}}}$$

   
   단위함수
3. ε ∗ 1 = 1, 상수 함수
4. 1 ∗ 1 = σ₀ = d = τ, 여기서 d = τ은 n의 divisor 수입니다(divisor 함수 참조).

이 두 기능 목록은 양방향으로 무한히 확장된다.Möbius 반전 공식은 이러한 목록들을 거꾸로 훑어볼 수 있게 한다.

예를 들어 φ으로 시작하는 순서는 다음과 같다.

${\displaystyle f_{n}={\begin{cases}\underbrace {\mu *\ldots *\mu } _{-n{\text{ factors}}}*\varphi &{\text{if }}n<0\\[8px]\varphi &{\text{if }}n=0\\[8px]\varphi *\underbrace {{\mathit {1}}*\ldots *{\mathit {1}}} _{n{\text{ factors}}}&{\text{if }}n>0\end{cases}}}$

생성된 시퀀스는 해당하는 Dirichlet 시리즈를 고려함으로써 더 쉽게 이해할 수 있을 것이다: 변환의 각 반복 적용은 리만 제타 함수에 의한 곱셈에 해당한다.

일반화

조합학에서 보다 유용한 관련 반전 공식은 다음과 같다:F(x)와 G(x)가 [1, ∞] 간격에 정의된 복합값 함수라고 가정한다.

${\displaystyle G(x)=\sum _{1\leq n\leq x}F\왼쪽({\frac {x}{n}\오른쪽)\quad {\mbox{{}모든 }}$

그때

${\displaystyle F(x)=\sum _{1\leq n\leq x}\mu (n)G\왼쪽({\frac {n}{n}\오른쪽)\quad {\\mbox{{{}모든 }}}}$

여기서 합계는 x보다 작거나 같은 모든 양의 정수 n에 걸쳐 확장된다.

이것은 차례로 보다 일반적인 형태의 특별한 경우다.만일 α(n)가 디리클레 역 α⁻¹(n)를 가진 산술 함수라면, 만약 정의한다면.

${\displaystyle G(x)=\sum _{1\leq n\leq x}\alpha(n)\f\왼쪽({\frac {n}}\오른쪽)\quad {\\mbox{{{}모든 }}$

그때

${\displaystyle F(x)=\sum _{1\leq n\leq x}\alpha ^{-1}(n)G\left(n)\left({x}{n}\right)\quad {\mbox{{{{}}모든 }}}}$

앞의 공식은 상수함수 α(n) = 1의 특수한 경우에 발생하며, 그 디리클레 역수는 α⁻¹(n) = μ(n)이다.

이러한 확장들 중 첫 번째의 특정한 적용은 우리가 (복잡하게 값을 매긴) 함수 f(n)와 g(n)를 양의 정수에 대해 정의한 경우에 발생한다.

${\displaystyle g(n)=\sum _{1\leq m\leq n}f\왼쪽(\floor {n}}{m}\right\loor \right)\mbox{{\n\geq 1.}$

F(x) = f(⌊x⌋)와 G(x) = g(⌊x⌋)를 정의함으로써 우리는 그것을 추론한다.

${\displaystyle f(n)=\sum _{1\leq m\leq n}\mo(m)\lift\lfloor {n}{m}\right\bloor \right)\mbox{{\n\geq 1.}$

이 공식의 사용의 단순한 예가 있다;.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{감소 분수 0개체의 수 세고 있다.디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}a/b<>1, a와 b다 coprime과 대한 largeenough≤ n. 만약 우리가 f(n) 이 번호, 분수의 g(n)은 총 수를 알려 주세요.0<>a/b<>, a와 b반드시coprime지 않다 1과 b≤,.(gcd(a,b) = d, b ≤n이 있는 모든 분수는 b/d ≤ n/d가 있는 분수로 감소할 수 있고, 그 반대의 경우도 마찬가지이기 때문이다.)여기서 g(n) = n(n - 1)/2를 결정하는 것은 간단하지만 f(n)은 계산하기가 더 어렵다.

또 다른 반전 공식은 (관련된 시리즈가 절대적으로 수렴된다고 가정할 때)이다.

${\displaystyle g(x)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {f(mx)}{m^{s}}}\quad {\mbox{ for all }}x\geq 1\quad \Longleftrightarrow \quad f(x)=\sum _{m=1}^{\infty }\mu (m){\frac {g(mx)}{m^{s}}}\quad {\mbox{ for all }}x\geq 1.}$

위와 같이 α(n)가 디리클레 역 α⁻¹(n)를 가진 산술 함수인 경우를 일반화한다.

${\displaystyle g(x)=\sum _{m=1}^{\infty }\alpha (m){\frac {f(mx)}{m^{s}}}\quad {\mbox{ for all }}x\geq 1\quad \Longleftrightarrow \quad f(x)=\sum _{m=1}^{\infty }\alpha ^{-1}(m){\frac {g(mx)}{m^{s}}}\quad {\mbox{ for all }}x\geq 1.}$

예를 들어, 잘 알려 진 증거, 이전 방정식어도에 1{\displaystyle s=1}=뫼비우스 반전의series-based 형태를 사용하는 총리의 제타 함수로 리만 제타 함수 관련된 것. 즉,ζ(s){\displaystyle \zeta(s)}의ℜ(s)을의 오일러의 곱셈 공식 표현에 의해;1{\displaystyle 있다.\R$e (s)>1}$

${\displaystyle \log \zeta (s)=-\sum _{p\mathrm {\ prime} }\log \left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{k\geq 1}{\frac {P(ks)}{k}}\iff P(s)=\sum _{k\geq 1}{\frac {\mu (k)}{k}}\log \zeta (ks),\Re (s)>1.}$

뫼비우스의 대체 형태에 대한 이러한 정체성은 다음에서 발견된다.^[2]뫼비우스의 반전 공식에 대한 보다 일반적인 이론은 로타 인에 의해 구성된다.^[3]

승법 표기법

뫼비우스가 역행하는 것은 어떤 아벨 그룹에도 적용되기 때문에, 그룹 연산을 덧셈으로 쓰든 곱셈으로 쓰든 아무런 차이가 없다.이에 따라 다음과 같은 반전 공식의 공칭적 변형이 발생한다.

${\displaystyle {\mbox{{\f(n)=\prod _{dn}f(d)={dn(n)=\prod _{d}F\left({\frac {n}{d}\right)^{\mu(d)}}}}}}}}}$

일반화 증명

최초의 일반화는 다음과 같이 증명할 수 있다.우리는 [조건]이 조건의 지표함수라는 Iverson의 관례를 사용한다. 조건이 참이면 1이고 거짓이면 0이다.우리는 다음과 같은 결과를 사용한다.

${\displaystyle \sum _{dn}\mu(d)=\varepsilon(n),}$

즉, $1{\displaystyle \mathrm{}\mathrm{\mu \mu }}$ =${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle 1*\mu =\varepsilon$ $\},$ 여기서 $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon }$은 단위 함수다.

우리는 다음과 같은 것을 가지고 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{1\leq n\leq x}\mu (n)g\left({\frac {x}{n}}\right)&=\sum _{1\leq n\leq x}\mu (n)\sum _{1\leq m\leq {\frac {x}{n}}}f\left({\frac {x}{mn}}\right)\\&=\sum _{1\leq n\leq x}\mu(n)\sum _{1\leq m\leq {n}{n}}\sum _{1\leq r\leq x}[r=mn]f\frac\{x}}\rig}\right)\\\\\\\\\\&,(n)\sum _{1\leq m\leq{\frac{)}{n}_{1\leq n\leq)}\mu=\sum _ᆯf\left({\frac{x}{r}}\right)\sum}}\left[m={\frac{r}{n}}\right]\qquad{\text{는 인적 질서 개편}}\\&, =\sum _ᆴf\left({\frac{x}{r}}\right)\sum _{nr}\mu(n)\\&,=\sum _ᆶf\left({\frac{x}{r}}\right)\varepsilon(r)\\&, =f.())\qquad{\text{}}\varepsilon(r)=0{\text{{}}({}r=1\end{arged}} 제외)$

α(n)가 1을 대체하는 보다 일반적인 경우의 증명은 2차 일반화와 마찬가지로 본질적으로 동일하다.

on posets

poset P의 경우 부분 순서 관계${\displaystyle }$≤ ${\displaystyle$ $\$$leq }$을$($를) 부여한 집합이 P의 Möbius 함수$\mu {\displaystyle }$ {\$displaystyle \$mu }을(를) 재귀적으로 정의한다.

${\displaystyle \mu(s,s)=1{\text{{{{\text{{}}}{s}-\sum_{s\leq t<u}mu(s,t),\quad{\text{}}}}}}}}}{}P.}$

(여기서는 합계가 유한하다고 가정한다.)그런 다음 $f{\displaystyle }$, ${\displaystyle g}$: ${\displaystyle P}$→ K ${\displaystyle f,g:$$P\to K$ 여기서 K는 서로 교환하는 고리로서,

${\displaystyle g(t)=\sum _{s\leq t}f(s)\qquad {\text{ all }}{}}}$

만약의 경우에 한해서만

${\displaystyle f(t)=\sum _{s\leq t}g(s)\mu(s,t)\qquad {\text{ 모든 }}에 대해.$

(Stanley's Enumerative Compinatorics, Vol 1, 섹션 3.7 참조)

위스너, 홀, 로타의 기부금

일반 뫼비우스 반전 공식[부분 순서 집합에 대하여]의 성명은 처음에 와이스너(1935년)와 필립 홀(1936년)에 의해 독립적으로 제시되었다. 두 저자는 모두 집단 이론 문제에 의해 동기 부여되었다.두 작가 모두 자신의 작품이 갖는 결합적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축성을 인식하지 못한 것 같다.뫼비우스 기능에 관한 기초 논문에서 로타는 결합 수학에서 이 이론의 중요성을 보여주고 깊이 있게 다루었다.그는 포함-배제, 고전적 숫자 이론 뫼비우스 반전, 색칠 문제 및 네트워크 흐름과 같은 주제 사이의 관계에 주목했다.이후 로타의 강력한 영향 아래 뫼비우스 반전설과 관련 주제가 결합의 활발한 영역이 되었다.^[4]

참고 항목

메모들

참조

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
• Bender, Edward A.; Goldman, J. R. (1975), "On the applications of Möbius inversion in combinatorial analysis", Amer. Math. Monthly, 82 (8): 789–803, doi:10.2307/2319793, JSTOR 2319793
• Ireland, K.; Rosen, M. (2010), A Classical Introduction to Modern Number Theory, Graduate Texts in Mathematics (Book 84) (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-1-4419-3094-1
• Kung, Joseph P.S. (2001) [1994], "Möbius inversion", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Möbius, A. F. (1832), "Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen.", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 9: 105–123
• Stanley, Richard P. (1997), Enumerative Combinatorics, vol. 1, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55309-1
• Stanley, Richard P. (1999), Enumerative Combinatorics, vol. 2, Cambridge University Press, ISBN 0-521-56069-1

외부 링크

• 프루프위키에서의 뫼비우스 반전 공식
• Weisstein, Eric W. "Möbius Transform". MathWorld.