산술 함수

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숫자 이론에서 산술, 산술 또는 숫자-이론^[1][2] 함수는 대부분의 저자를^[3][4][5] 위한 것이며, 그 영역은 양의 정수이고 범위는 복잡한 숫자의 하위 집합인 함수 f(n)이다. Hardy & Wright는 그들의 정의에 산술 함수가 "n의 산술적 특성을 일부 표현"^[6]해야 한다는 요구사항을 포함한다.

산술 함수의 예로는 양의 정수 n에서의 값이 n의 디비저 수와 같은 디비저 함수를 들 수 있다.

예를 들어, 소수이론 함수에는 위의 정의에 맞지 않는 더 큰 부류가 있다. 이 글은 두 등급의 기능에 대한 링크를 제공한다.

산술 함수는 극히 불규칙한 경우가 많지만(표 참조) 라마누잔의 합계 면에서는 시리즈 팽창이 있는 것도 있다.

승법 및 가법 함수

산술 함수 a는

• 모든 자연수 m과 n에 대해 a(m) = a(m) + a(n)이면 완전 첨가물;
• 모든 자연수 m과 n에 대해 a(m)a(n) = a(m)a(n)이면 완전히 승수;

두 개의 정수 m과 n은 그들의 가장 큰 공통점수가 1일 경우, 즉 두 개 모두를 나누는 소수점이 없을 경우 coprime이라고 불린다.

그러면 산술 함수 a는

• 모든 동일 시간 자연수 m과 n에 대해 a(m) + a(n)일 경우 첨가물;
• 모든 조합 자연수 m과 n에 대해 a(m)a(n) = a(m)a(n)일 경우 곱하기.

표기법

${\displaystyle \sum _{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$( ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle \sum$ ${\displaystyle \_}$${p}f(p)}$ 및$$ ∏ ${\displaystyle \underset{}{}}$( p${\displaystyle }$) ${\displaystyle \prod _{p}f(p)}$는 합계 또는 제품이 모든 소수 이상임을 의미한다$$.

${\displaystyle \sum _{p}f(p)=f(2)+f(3)+f(5)+\cdots }$

${\displaystyle \prod _{p}f(p)=f(2)f(3)f(5)\cdots.}$

$마찬가지$로 ∑ ${\displaystyle \underset{}{{pk}^{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{{}^{}}(p^{}}$ k${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle \sum _{p^{k$${\displaystyle \}}$$f($p^{$k$$}){p$$^{k}$ 및 $k$ $(p^{k}})$는 엄격히 양의 지수를 가진$$모든 주력을 합하거나 산출물이 초과함을 의미한다$$(그러므로 k = 0은 포함되지 않음).

${\displaystyle \sum \sum_{p^{k(p^{k})={p^{k}\sum_{k}f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(7)+f(8)+f(9)+)+\cdots }}$

${\displaystyle \sum _{}}$ ${\displaystyle \underset{}{d}}$ ${\displaystyle \underset{}{\mid }}$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle d}$) ${\displaystyle \sum _{d\mid n}f(d)}$ 및 ∏ d ${\displaystyle \underset{}{\mid n}}$ ${\displaystyle \underset{}{}(d)}${\displaystyle $\prod _{d\mid$ n$}f(d)$는 합계 또는 제품이 1과 n을 포함한 n의 모든 양의 divisor를 초과함을 의미한다. 예를 들어, n = 12인 경우,

${\displaystyle \prod _{d\mid 12}f(d)=f(1)f(2)f(3)f(6)f(12))\ }$

공지는 ${\displaystyle \underset{}{조합}}$할 수 있다: ∑ p ${\displaystyle \underset{}{\mid }n}$ f${\displaystyle }$( p${\displaystyle }$) ${\displaystyle \sum _{p\mid n}f(p)},$ ∏ ${\displaystyle \underset{}{p}}$ ${\displaystyle \underset{}{\mid n}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle \prod _{p\mid$ n$}f(p)$는 합계나 제품이 n의 모든 주요 구분 위에 있음을 의미한다$$. 예를 들어, n = 18이면

${\displaystyle \sum _{p\mid 18}f(p)=f(2)+f(3),\ }$

그리고 유사하게 similarly ${\displaystyle \underset{}{p{}^{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{k^{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{{}^{}}}$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$) ${\displaystyle \sum _{p^}\mid n$${\displaystyle \underset{}{}}$$(p^{k})$ 및$$ ${\displaystyle \underset{p{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{p^{}}}$ k ${\displaystyle \underset{}{{}^{}}}$ n${\displaystyle }$f (${\displaystyle {}^{}}$^{${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystystyle \p^{k}\mid n}f(p^{k}}})$는 합 또는 제품이 n)를 나누는 모든 주요 권한을 초과함을 의미한다$$. 예를 들어, n = 24인 경우,

${\displaystyle \p^{k}\mid 24}f(p^{k})=f(2)f(3)f(4)f(8))\ }$

Ω(n), Ω(n), ν_p(n) – prime power discolation

산술의 기본 정리는 모든 양의 정수 n을 소수력의 산물로 고유하게 나타낼 수 있다고 명시하고 있다:${\displaystyle }$n = ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}^{}}$ 1 ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}^{}}$ a${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$1 p ${\displaystyle {k_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}${\$displaystyle n=p_{1}^{$1}$a_{1}}\cdots p_{k}^{$a_₂${k$}}}}{k$$₁$}}}}}}.$ < p는_k 프라임이고 a는_j 양의 정수다. (1은 빈 제품에 의해 주어진다.)

한정된 숫자를 제외한 모든 수가 영 지수를 갖는 모든 프라임 위에 이것을 무한의 제품으로 쓰는 것이 종종 편리하다. p-adic 평가 ν_p(n)을 n을 나누는 prime p의 최고 힘의 지수로 정의한다. 즉, p가 p 중_i 하나라면 ν_p(n) = a이고_i, 그렇지 않으면 0이다. 그러면

${\displaystyle n=\prod _{p}p^{\nu _{p}(n)}$

위의 관점에서 프라임 오메가 함수 Ω과 Ω은 에 의해 정의된다.

Ω(n) = k,

Ω(n) = a₁ + a₂ + a + ... + a_k.

반복을 피하기 위해 이 글에 열거된 함수에 대해 가능한 공식이 n과 해당 p_i, a_i, Ω, Ω 단위로 제시된다.

승수함수

σ_k(n), τ(n), d(n) – divisor 합계

σ_k(n)은 1과 n을 포함한 n의 양분자의 k번째 힘의 합인데 여기서 k는 복합수다.

n의 (긍정적) 구분의 합인 σ₁(n)은 보통 σ(n)으로 표시된다.

0에 대한 양의 숫자는 1이므로, ((n)은₀ n의 (양)의 디비저의 수입니다. 일반적으로 d(n) 또는 τ(n)로 표시된다(독일 테일러 = 디비저의 경우).

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{\omega (n)}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)k}-1}{p_{i}^{k}-1}}=\prod _{i=1}^{\omega (n)}\left(1+p_{i}^{k}+p_{i}^{2k}+\cdots +p_{i}^{a_{i}k}\right).}$

두 번째 제품에서 k = 0 설정

${\displaystyle \tau(n)=(1+a_{2})\cdots(1+a_{\omega(n)})}$

φ(n) – 오일러 토텐트 함수

오일러 토텐트 함수인 φ(n)은 n보다 크지 않은 양의 정수의 수입니다.

${\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=n\left({\frac {p_{1}-1}{p_{1}}}\right)\left({\frac {p_{2}-1}{p_{2}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}-1}{p_{\omega (n)}}}\right).}$

J_k(n) – Jordan 토티엔트 함수

J_k(n)는 조던 토텐트 함수로서 n과 함께 coprime (k + 1)-tuple을 형성하는 n보다 작거나 같은 양의 정수의 k-tule 수입니다. 오일러의 토텐셜인 φ(n) = J₁(n)의 일반화다.

${\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right)=n^{k}\left({\frac {p_{1}^{k}-1}{p_{1}^{k}}}\right)\left({\frac {p_{2}^{k}-1}{p_{2}^{k}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}^{k}-1}{p_{\omega (n)}^{k}}}\right).}$

μ(n) – 뫼비우스 함수

뫼비우스 함수인 μ(n)는 뫼비우스 반전 공식 때문에 중요하다. 아래의 디리클레 컨볼루션을 참조하십시오.

${\displaystyle \mu(n)={\begin{case}^{\begin}(-1)^{-1)^{\text{n)}\{\ipe{n)=\Oomega(n)\0&{\text{n)}}}\\nega(n)는 (n)이다.\end{case}}}$

이는 μ(1) = 1. (Ω(1) = Ω(1) = Ω(1) = 0)을 의미한다.

τ(n) – Ramanujan tau 함수

Ramanujan tau 함수인 τ(n)은 생성 함수 ID로 정의된다.

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\tau(n)q^{n}=q\prod_{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}.}$

비록 말하기는 힘들게"n의 산술적 속성"그것"표현하는"[7](τ(n)은(2π)−12번 n번째 푸리에 계수의 q-expansion의 모듈형 판별 기능)[8]그것은 포함된 산술적 기능이기 때문에 곱셈과 발생에 정체성과 관련된 특정 σk(n)과 rk(n)기능(.때문에se는 또한 모듈형식의 확장에 있어 계수다.)

c_q(n) – 라마누잔의 합계

c_q(n), 라마누잔의 합은 원시 q뿌리의 n번째 열강의 합이다.

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{\stackrel {1\leq a\leq a}{\gcd(a,q)=1}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n}.}$

복잡한 숫자의 합(대부분의 q 값에 대해 비합리적)으로 정의되더라도 정수다. n의 고정값의 경우 q:

q와 r이 동일시라면 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{}{}_{}}$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle r}$ ( n${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ r${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle }$n$$) . {\$displaystyle c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{$qr}(n)}(n)이다$.$$}$

ψ(n) - 데데킨트 psi 함수

모듈 함수 이론에 사용되는 데데킨드 psi 함수는 공식으로 정의된다.

${\displaystyle \cHB(n)=n\prod _{pn}\왼쪽(1+{\frac{1}{p}}\오른쪽).}$

완전한 승법 함수

λ(n) – Louville 함수

λ(n), Louville 함수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \lambda(n)=(-1)^{\Oomega(n)}}$

χ(n) – 문자

모든 디리클레 문자 χ(n)은 완전히 승법이다. 두 문자는 다음과 같은 특별한 의미를 갖는다.

주 문자(mod n)는 χ₀(a) (또는 χ₁)로 표시된다. 로 정의된다.

${\displaystyle \chi _{0}(a)={\present{case}1&{\cd(a,n)=1,\\0&{\text{}}}}}}}\gcd(a,n)1.neq.end{case}}}}}}}$

2차 문자(mod n)는 Jacobi 기호로 홀수 n(짝수 n에 대해 정의되지 않음):

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {a}{n}{n}}{\Bigg )}=\왼쪽({\frac {a}{p_}}}\오른쪽)^{a_{1}}\왼쪽 사진\frac {a}{p_{2}}\오른쪽)^{a_{2}}\cdots \leftleft\frac {a}{p_{\omega(n)}}\오른쪽)^{a_{\omega(n)}}.}$

이 공식$({\displaystyle \frac{p}{}}$)에서 ${\displaystyle({\tfrac {a}{p}})$은 범례 기호로, 모든 정수 a와 모든 홀수 p에 대해 정의된다.

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{if }}a\equiv 0{\pmod {p}},\\+1&{\text{if }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\text{ and for some integer }}x,\;a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1&{\text{if there is no such }}x.\end{case}}}$

빈 제품에 대한 일반적인 관례에 따라${\displaystyle }$(${\displaystyle \frac{1}{}}$)${\displaystyle \mathrm{}}$= 1. ${\displaystyle \left({\frac {a}{1$}\$오른쪽)=$$1$.$}$

가법함수

Ω(n) – 구별되는 소수점

위에서 n을 나누는 구별되는 프리임의 수로 정의한 Ω(n)은 첨가물이다(Prime obama 함수 참조).

완전첨가함수

Ω(n) – 소수점

위에 정의한 Ω(n)은 n의 primary factors의 숫자로, 완전히 첨가된다(Prime omega 함수 참조).

ν_p(n) – 정수 n의 p-adic 평가

고정 소수 p의 경우, 위에서 p 나누기 n의 가장 큰 힘의 지수로 정의한 ν_p(n)은 완전히 첨가된다.

승법도 가법도 아니다.

π(x), π(x), θ(x), ψ(x) – prime-counting 함수

(산술함수가 아닌) 이러한 중요한 함수들은 비음수 실론적 논거에 대해 정의되며, 소수 정리의 다양한 문장과 증명에 사용된다. 그것들은 곱셈도 첨가도 아닌 산술 함수의 합계 함수(아래 주 절 참조)이다.

원시 함수인 counting(x)는 x를 초과하지 않는 소수 수입니다. 소수 특성 함수의 합계함수다.

${\displaystyle \pi(x)=\sum _{p\leq x}1}$

관련 함수는 무게가 1인 주요 파워를 소수, 제곱은 1/2, 큐브는 1/3로 계산한다. 일부 소수 정수의 k번째 검정력인 정수의 경우 1/k 값을, 다른 정수에서는 0 값을 취하는 산술함수의 합계함수다.

${\displaystyle \Pi(x)=\sum _{p^{k}\leq x}{\frac {1}{k}}.}$

체비셰프 함수인 θ(x)와 ψ(x)는 x를 초과하지 않는 소수점의 자연 로그의 합으로 정의된다.

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p,}$

${\displaystyle \cHB=\sum _{p^{k}\leq x}\log p.}$

체비셰프 함수 ψ(x)는 바로 아래의 폰 망골트 함수의 합계함수다.

λ(n) – 폰 망골트 함수

mang(n), 폰 망골트 함수인 argument(n)은 n 인수가 primary p가^k 아닌 한 0이며, 이 경우 prime p의 자연 로그가 된다.

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{if }}n=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\ldots =p^{k}{\text{ is a prime power}}\\0&{\text{if }}n=1,6,10,12,14,15,18,20,21,\dots \;\;\;\;{\text{ is not a prime power}}.\end{case}}}$

p(n) – 파티션 함수

파티션 함수인 p(n)는 n을 양의 정수의 합으로 나타내는 방법의 수입니다. 여기서 다른 순서로 같은 합계를 가진 두 개의 표현은 서로 다른 것으로 계산되지 않는다.

${\displaystyle p(n)= \left\{1}{1},a_{2},\req a_{2}\leq \cdots \leq a_{k}\land \n=a_{1}+a_{2}+}+\cdots +a_{k}\}.}.}.}.$

λ(n) – 카마이클 함수

카마이클 함수인 λ(n)은 $모든{\displaystyle {}^{}}$ 복사 시간에 대해 ${\displaystyle {\lambda (n}^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$ 1 (${\displaystyle \mathrm{mod}}$ ${\displaystyle n}$) ≡ ${\displaystyle 1}$(mod n $){\$만큼 양수가 가장 작다. 동등하게, 정수 modulo n의 승수 그룹의 원소 순서에서 가장 덜 일반적인 배수다.

홀수 prime의 힘과 2와 4의 경우, ((n)은 n의 오일러 토텐트 함수와 같고, 2가 4보다 크면 n의 오일러 토텐트 함수의 1/2과 같다.

${\displaystyle \lambda (n)={\begin{cases}\;\;\phi (n)&{\text{if }}n=2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,27,\dots \\{\tfrac {1}{2}}\phi (n)&{\text{if }}n=8,16,32,64,\dots \end{cases}}}$

그리고 일반 n의 경우, n의 각 주요 동력계수 λ의 최소 공통 배수량이다.

${\displaystyle \lambda (p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\dots p_{\omega (n)}^{a_{\omega (n)}})=\operatorname {lcm} [\lambda (p_{1}^{a_{1}}),\;\lambda (p_{2}^{a_{2}}),\dots ,\lambda (p_{\omega (n)}^{a_{\omega (n)}})].}$

h(n) – 클래스 번호

class number 함수인 h(n)는 차별 n을 가진 이성들의 대수적 확장의 이상적인 클래스 그룹의 순서다. 일반적으로 같은 판별을 가진 연장이 많기 때문에 표기법이 모호하다. 고전적인 예는 2차 영역과 사이클로토믹 영역을 참조하십시오.

r_k(n) – k 제곱합

r_k(n)은 n을 k 제곱의 합으로 나타낼 수 있는 방법의 수로서, 여기서 합계 순서나 제곱근의 부호에서만 다른 표현을 다른 것으로 계산한다.

${\displaystyle r_{k}(n)= \{{(a_{1},a_{2},\reason,a_{k}):n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\} }$

D(n) – 산술 파생 모델

파생상품에 대해 Hubiside 표기법을 사용하는 것은 D(n)는 다음과 같은 함수다.

${\displaystyle D}$( ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle D(n)=1}($n prime인 경우$$)

${\displaystyle D}$( ${\displaystyle m}$ n${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle D}$( n${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ D${\displaystyle }$( ${\displaystyle m}$) n ${\displaystyle D(mn)=mD(n)+D(m)n}($제품 규칙)

합계함수

산술 함수 a(n)를 지정하면 합계 함수 A(x)는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle A(x):=\sum _{n\leq x}a(n).}$

A는 실제 변수의 함수로 볼 수 있다. 양의 정수 m이 주어진 경우, A는 열린 간격 m < x < m + 1을 따라 일정하며, a(m) ≠ 0이 되는 각 정수에 점프 불연속성을 가진다.

그러한 기능은 종종 직렬과 통합으로 표현되기 때문에, 포인트 융합을 달성하기 위해 불연속부의 값을 왼쪽과 오른쪽 값의 평균으로 정의하는 것이 보통이다.

${\displaystyle A_{0}(m):={\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽(\sum _{n}a(n)+\sum _{n\leq m}a(n)\right)=A(m)-{\frac {1}{1}2}}a(m).}$

산술 함수의 개별 값은 위의 대부분의 예와 같이 크게 변동할 수 있다. 합계 함수는 이러한 변동을 "매끄럽게" 제거한다. 경우에 따라 large x의 합계함수에 대한 점근거동을 발견할 수 있다.

이러한 현상의^[9] 고전적인 예는 d(n)의 합계 함수, n:의 구분자 수에 의해 주어진다.

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }d(n)=2}$

${\displaystyle \limsup _{n\to \inflt }{\frac {\log d(n)\log \log n}{\log n}=\log 2}$

${\displaystyle \lim_{n\to \inflit }{\frac {d(1)+d(2)+\cdots +d(n)}{\log(1)+\log(2)+\cdots +\log(n)}=1.}$

산술 함수의 평균 순서는 몇 가지 단순하거나 더 잘 이해된 함수로, 점증적으로 동일한 합계 함수를 가지며, 따라서 "평균적으로" 동일한 값을 취한다. 우리는 g가 평균 f의 순서라고 말한다.

${\displaystyle \sum _{n\leq x}f(n)\sim \sum _{n\leq x}g(n)}$

x가 무한함을 추구하는 경향이 있기 때문에. 위의 예는 d(n)가 평균 주문 로그(n)를 가지고 있음을 보여준다.^[10]

디리클레 콘볼루션

산술 함수 a(n)가 주어진 경우, 복합 s의 경우_a F(s)가 해당 Diriclet 시리즈( 수렴되는 위치)에 의해 정의된 함수가 되도록 한다.^[11]

${\displaystyle F_{a}s:=\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {a(n)}{n^{s}}}.}$

F를_a a(n)의 생성함수라고 한다. 모든 n에 대해 상수 함수 a(n) = 1에 해당하는 그러한 시리즈 중 가장 단순한 것은 ς(s) 리만 제타 함수다.

뫼비우스 함수의 생성 함수는 제타 함수의 역함수다.

${\displaystyle \zeta(s)\,\sum _{n=1}^{\frac {\mu(n)}{n^{n^}}=1,\;\;{\mathfrak {R}\,s>0.}$

두 개의 산술 함수 a와 b와 각각의 생성 함수 F와_a F를_b 고려한다. 제품 F_a(s)F는_b 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\displaystyle F_{a}(s)F_{b}=\좌(\sum _{m=1}^{\inflat }{m^{s}}\{n(m)}{m^{s}\우)\좌(\sum _{n=1}^{n^{n^{n^}}\right).}$

c(n)가 정의되어 있는 경우 다음과 같은 간단한 연습이다.

${\displaystyle c(n):=\sum _{ij=n(i)b(j)=\sum _{i\mid n}a(i)b\left({\frac{n}}\right),}$

그때

${\displaystyle F_{c}s=F_{a}(s)F_{b}(s).}$

이 함수 c는 a와 b의 디리클레 컨볼루션이라고 불리며, ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a*b}$로 표시된다$.$

특히 중요한 경우는 생성함수에 제타함수를 곱하는 것에 해당하는 상수함수 a(n) = 모든 n에 대해 1을 갖는 경련이다.

${\displaystyle g(n)=\sum _{d\mid n}f(d).}$

제타 함수의 역에 곱하면 뫼비우스 반전 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}\right)g(d).}$

f가 승수라면 g도 승수다. f가 완전히 승수인 경우 g는 승수지만 완전히 승수가 될 수도 있고 아닐 수도 있다.

기능 간의 관계

산술 함수와 분석 함수를 서로 연결하고 특히 힘, 뿌리, 지수 및 로그 함수와 연결하는 공식은 매우 많다. 페이지 구분자 합계 ID는 산술 함수와 관련된 ID의 더 일반화되고 관련 있는 예들을 많이 포함하고 있다.

여기 몇 가지 예가 있다.

디리클레 수녀원

∑δ∣ nμ(δ))∑δ∣ nλ(nδ)μ(δ)){1만약 nx10만약 n≠ 1{\displaystyle \sum_{\delta\mid n}\mu(\delta)=\sum _{\mid n\delta}\lambda \left({\frac{n}{\delta}}\right)\mu(\delta)={\begin{경우}1&,{\text{만약}}n=1\\0&,{\text{만약}}n\neq 1\end{경우}}}이 λ은 Liouvil.르 기능을 ^[12]발휘하다

$\displaystyle \sum _{\mid n}\varphi (\displaysty )=n.}$ ^[13]

${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta =n\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta }}.}$ Möbius inversion

${\displaystyle \sum _{d\mid n}J_{k}(d)=n^{k}.}$ ^[14]

${\displaystyle J_{k}(n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta ^{k}=n^{k}\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta ^{k}}}.}$ Möbius inversion

${\deltayle \sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\오른쪽)=J_{r+s}(n)}$ ^[15]

${\displaystyle \sum _{\mid \n}\varphi (\frac )d\left \frac {n}{\floss }}}\ma(n)=\ma(n).}$ ^[16][17]

$\displaystyle \sum _{\displaystyle \mid n} \mu(\mid n) =2^{\omega(n)}}$ ^[18]

${\displaystyle \mu (n}$ ${\displaystyle )}$=${\displaystyle \underset{\Delta }{}}$Δ ${\displaystyle \underset{}{n}}$ ${\displaystyle \underset{}{}(n\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\Delta }{}}$) ${\displaystyle {2\Omega }^{}}$ ${\displaystyle {(\Delta }^{}}$ ${\displaystyle {)}^{}}$. ${\displaystyle \mu(n) =\sum _{\delta \mid n}\$mid n}\$mu \left({\delta }}}\rif$)2$^{\omega(\delta }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$Möbius$$ 반전.

${\displaystyle \sum _{\mid \n2}^{\omega(\mid )}=d(n^{2}).}$

${\displaystyle 2^{\omega(n)}=\sum _{\mid$$}$ 뫼비우스$$ 반전

${\displaystyle \sum _{\mid n}d(\mid ^{2}=d^{2})=d^{2}(n).}$

${\displaystyle d(n^{2})=\sum _{\mid n}\$$}$ 뫼비우스$$ 반전

${\displaystyle \sum _{\mid \d\left\frac {n}{\n}{\n1}{\migration }}{\omega(\migration )}=d^{2}(n).}$

${\displaystyle \sum _{\mid n}\lambda(\cHB )={\n1}\case}&1{\text{}}}}}}}}}}}}}{}n{\&0{\text{}}}}}}}}}}}}}}}}이 정사각형이 아닌 경우 텍스트.$$}}}\end{case}}$여기서 λ은 류빌 함수다.

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\Lambda(\delta )=\log n.}$ ^[19]

$displaystyle \Lambda (n$$}$ 뫼비우스$$ 반전

제곱합

모든 , k() > ${\displaystyle k\geq$ 4$,\;\;\;r_{k}(n)0.}($Lagrange의 4제곱 정리).

${\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n}\lefts\frac {-4}{d}}\right),}$ ^[20]

크론커 기호가 값을 갖는 곳

${\displaystyle \left({\frac{-4}{n}\오른쪽)={\n\equiv 1{\pmod{4}\\-1&{\text{}}}}}{n\n\equiv 3{\pmod{4}\}\;\;0&{ntext{n\reas}}}.\\end{case}}$

아래 클래스 번호 섹션에는 r에 대한₃ 공식이 있다.

${\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{\stackrel {d\mid n}{4\,\nmid \,d}}d=8(2+(-1)^{n})\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\nmid \,d}}d={\begin{cases}8\sigma (n)&{\text{if }}n{\text{ is odd }}\\24\sigma \left({\frac {n}{2^{\nu }}}\right)&{\text{if }}n{\text{ is even }}\end{cases}},}$

여기서 ν = ν₂(n). ^[21][22][23]

${\dapplaystyle r_{6}(n)=16\sum _{d\mid n}\chi \left\\frac {n}}\frac {n}\{d}\sum _{d\mid n}\chi(d)^{2},}$

여기서 $\chi {\displaystyle (n}$ ${\displaystyle )}$=${\displaystyle }$(${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{}{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \chi(n)=\left({\frac {-4}{n}}\오른쪽).$$}$^[24]

함수 σ_k^*(n)을 다음과^[25] 같이 정의한다.

${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)=(-1)^{n}\sum _{d\mid n}(-1)^{d}d^{k}={\begin{cases}\sum _{d\mid n}d^{k}=\sigma _{k}(n)&{\text{if }}n{\text{ is odd }}\\\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\mid \,d}}d^{k}-\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\nmid \,d}}d^{k}&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{case}}}$

즉, n이_k^* 홀수인 경우 n(n)은 n의 분점인 k번째 힘_k, 즉 k(n)의 합이고, n이 짝수인 경우 n의 분점인 k번째 힘에서 n의 홀수 분점인 k번째 힘의 합을 뺀 것이다.

${\displaystyle r_{8}(n)=16\sigma _{3}^{*}(n).}$ ^[24][26]

라마누잔의 τ(x) = x가 정수가 아닌 경우 0이라는 관례를 채택한다.

${\displaystyle r_{24}(n)={\frac {16}{691}}\probma _{11}^{11}^{n)+{\frac{691}}}}{691}}}}{691}}\좌측\tau{n-1}259\tau \n}{2}}\우측\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}우측근\우측근$ ^[27]

점괘금경련

여기서 "콘볼루션"은 "Dirichlet convolution"을 의미하는 것이 아니라, 대신 두 개의 전력 시리즈의 생산물 계수에 대한 공식을 가리킨다.

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}\right)=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}x^{i+j}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}.}$

c n${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle \underset{c}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle i_{}}$ =${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ n ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ i ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ -${\displaystyle {}_{}}$i ${\$ 시퀀스 a와_n b의_n Cauchy 곱이라고 한다$$.
이러한 공식은 분석적으로(아이젠슈타인 시리즈 참조) 또는 기본적인 방법으로 증명될 수 있다.^[28]

${\displaystyle \n-k)={3}(n)={\frac {1}{5}\왼쪽\{6n\ma_{1}-\probma _{1}(n)+12\sum _{0<k>\n(k)\{1}(n-k)\rigma\rigma\rigma.}$ ^[29]

${\displaystyle \cHB_{5}(n)={\frac {1}{1}{1}{21}\좌측\{10(3n-1)\n-ma_{3}+240\sum_{0(n)+240\sum _{0}(k)\{1(n-k)\rigma\rigma.}$ ^[30]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{7}(n)&={\frac {1}{20}}\left\{21(2n-1)\sigma _{5}(n)-\sigma _{1}(n)+504\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}\\&=\sigma _{3}(n)+120\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(n-k).\end{정렬}}}$ ^[30][31]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{9}(n)&={\frac {1}{11}}\left\{10(3n-2)\sigma _{7}(n)+\sigma _{1}(n)+480\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{7}(n-k)\right\}\\&={\frac {1}{11}}\left\{21\sigma _{5}(n)-10\sigma _{3}(n)+5040\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}.\end{정렬}}}$ ^[29][32]

${\displaystyle \tau (n)={\frac {65}{756}}\sigma _{11}(n)+{\frac {691}{756}}\sigma _{5}(n)-{\frac {691}{3}}\sum _{0<k<n}\sigma _{5}(k)\sigma _{5}(n-k),}$ where τ(n) is Ramanujan's function. ^[33][34]

σ_k(n) (자연수 k의 경우)와 τ(n)은 정수이므로, 위의 공식은 함수에 대한 합치를^[35] 입증하는 데 사용할 수 있다. 몇 가지 예는 Ramanujan tau 함수를 참조하십시오.

p(0) = 1을 설정하여 파티션 함수의 도메인을 확장한다.

${\displaystyle p(n)={\frac {1}{n}\sum _{1\leq k\leq$$}$ 이 반복은$$^[36] p(n) 계산에 사용할 수 있다.

관련 클래스 번호

Peter Gustav Lejeun Dirichlet은 2차 숫자 필드의 클래스 번호 h를 자코비 기호와 연관시키는 공식을 발견했다.^[37]

정수 D는 2차수 필드의 판별인 경우 기본 판별이라고 한다. 이는 D ≠ 1과 a) D가 사각형이고 D ≡ 1 (모드 4) 또는 b) D ≡ 0 (모드 4) D/4가 사각형이고 D/4 ≡ 2 또는 3 (모드 4)에 해당한다.^[38]

Kronecker 기호를 정의하여 "거부자"의 짝수 숫자를 받아들이도록 Jacobi 기호를 확장하십시오.

${\displaystyle \left({\frac{a}{2}}\\오른쪽)={\preas{case}\\;\\\\,0&#{\text{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{}텍스트{}}}}}}}}}}}}}}}}}이({{{{{}}이(이상인 경우.텍스트라. }}}\end{case}}$

그렇다면 D < -4가 근본적인 차별이라면^[39][40]

${\displaystyle {\begin}h(D)&={\frac {1}{{D}\sum _{r=1}^{{r}{D}}\오른쪽)\\&={\frac {1}{2-\좌({\tfrac {D}{2}}\우)}}\sum _{r=1}^{r=1}{d}\좌({\frac {D}{r}}\우)}\우.\end{정렬}}}$

r과₃ h와 관련된 공식도 있다. 다시 D를 근본적인 차별, D < -4가 되게 하라. 그러면^[41]

${\displaystyle r_{3}(D )=12\왼쪽({\frac {D}{2}}\오른쪽)\오른쪽)h(D).}$

관련 프라임카운트

${\displaystyle {Let}_{}\mathrm{Hn}}$= ${\displaystyle \frac{1}{}}$+ 2 + ${\displaystyle \frac{1}{}}$+ 3 +${\displaystyle \frac{1}{}}$ +${\displaystyle }$1$$n {\$displaystyle H_{n}=1$+{\$frac{1$}{1}{1}:{1}:{1}:{2$}}+{\frac{1}}}+{3}+\cdots +{\frac$ {1}{n$}}}}}}}}}}$을 n번째 고조파 번호가 되도록 한다. 그러면

${\$$H_{n}}\log H_{n}}$는 리만 가설이 참인 경우에만 모든 자연수 n에 대해 참이다$$. ^[42]

리만 가설은 또한 모든 n > 5040에 대해, 라는 문구와 동등하다.

( n ${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log n}$ (여기서 γ은 오일러-마스체로니 상수) 이것이 로빈의 정리다.

$\displaystyle \sum _{p}\nu _{p}(n)=\오메가(n)}$

${\displaystyle \psi(x)=\sum _{n\leq x}\Lambda(n)}}}$ ^[43]

${\displaystyle \Pi(x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda(n)}{\logn}}.}$ ^[44]

${\displaystyle e^{\theta (x)}=\prod _{p\leq x}p.}$ ^[45]

${\displaystyle e^{\cHB(x)}=\lcm}[1,2,\cHB,\lfloor x\cHBOR ]}}}$ ^[46]

메논의 정체성

1965년 P Kesava Menon은 증명했다^[47].

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\\gcd(k,n)=1}\gcd(k-1,n)=\varphi(n)d(n)}}}}$

이것은 다수의 수학자들에 의해 일반화되었다. 예를 들어,

B^[48]. 수리

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},n)=1}}\gcd(k_{1}-1,k_{2},\dots ,k_{s},n)=\varphi (n)\sigma _{s-1}(n).}$

N. 라오^[49]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},k_{2},\dots ,k_{s},n)=1}}\gcd(k_{1}-a_{1},k_{2}-a_{2},\dots ,k_{s}-a_{s},n)^{s}=J_{s}(n)d(n),}$

여기서 a₁, a₂, a, a는_s 정수, gcd(a₁, a₂, a, ..., a_s, n) = 1이다.

라슬로 페제스 토스^[50]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{\gcd(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel{d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}}\mid m_{2}}:\varphi (\gcd(d_{1},d_{2})2^{\monesname {lcm}(d_{1},d_{2})}}}}}}}}}}}}}$

여기서 m과₁ m은₂ 홀수, m = lcm(m₁, m)이다₂.

사실 f가 산술 함수라면^[51][52]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}f(\gcd(k-1,n))varphi (d)}{d\barphi (d)},}$

여기서 *는 Dirichlet convolution을 의미한다.

m과 n은 구별하고, 이상하고, 긍정적이게 하라. 그러면 자코비 상징은 이차적 상호주의 법칙을 만족시킨다.

${\displaystyle \left({\frac {n}\{n}\오른쪽)\lefts\frac\frac{n}}}=(-1)^{(m-1)(n-1)/4}}}}$

D(n)를 산술적으로 파생시키자. 그러면 로그파생물이

${\displaystyle {\frac {D(n)}{n}}=\sum _{\stackrel {p\mid n}{p{p{\text{prim}}}}{p}}}}}}}$ ^[53]

λ(n)을 리우빌의 기능이 되게 하라. 그러면

${\displaystyle \lambda (n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mu (n}$ ${\displaystyle )}$ = ${\displaystyle \lambda (n)\mu }$ = ${\displaystyle \mu (n}$ ${\displaystyle )}$, ${\displaystyle \lambda(n) \mu(n)=\mu(n) =\mu(n$),$},$

$\displaystyle \lambda(n)\mu(n)=\mu(n) =\mu ^{2}(n)}$

ich(n)을 카마이클의 기능이 되게 하라. 그러면

${\displaystyle \lambda (n)\mid \phi (n).$$}$ 더 나아가서$$

${\displaystyle \lambda(n)=\phi(n){\text{{}}{{\n={\case}1,2,4;\3,5,7,9,11,\ldots{\text{{}, 여기서 }p^{\text는 홀수 prime)인 경우}}};\\6,10,14,18,\ldots {\text{{, 즉 }2p^{k}{\text{, 여기서 }p{\text{는 홀수 prime)}}}}.\end{case}}}$

정수 modulo n 및 원시 루트 modulo n의 곱셈 그룹을 참조하십시오.

${\displaystyle 2^{\omega(n)}\leq d(n)\leq 2^{\Oomega(n)}}$ ^[54][55]

${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}<{\frac {\pi (n)\phi (n)}{n^{2}}<1.}$ ^[56]

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{q}(n)&={\frac {\mu \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)$$}}{\phi \왼쪽 \frac {q}{\gcd(q,n)}}}\오른쪽)$$}}\phi (q)\\&=\sum _{\mid \gcd(q,n)}\mu \leftleft\frac {q}{\message }}\mid$$\mid \gcd(q,n)\mid \frac.$$\end{delta}}$${\displaystyle }$ϕ^[57](${\displaystyle q}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle \underset{\Delta }{}}$Δ ${\displaystyle \underset{}{}\Delta }$. ${\displaystyle \{\backslash }$displaystyle $\phi$(q$)=\sum _{\delta \mid$q}\mid \$mu \$left$({\frac {q}{\delta }}}}}\delta.}}}}}}}}}}\delta$.}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\delta.}}

$[\displaystyle c_{q}(1)=\mu(q)]}$

$[\displaystyle c_{q}(q)=\phi(q)]}}}}}}$

${\displaystyle \underset{}{}}$Δ${\displaystyle \underset{}{\Delta }}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$ d ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle }$Δ${\displaystyle {\underset{}{}}^{}}$) = ${\displaystyle {\underset{}{\Delta }}^{}}$ ${\displaystyle {\underset{}{\Delta }}^{}}$ ${\displaystyle {\underset{}{}}^{}}$ n d (${\displaystyle {\Delta }^{}}$ )${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$.${\displaystyle \sum \\data \mid n^{3}(\delta )=\left$^[59]$(\sum$ _³${\deltamid n}$d³$(\delta )^{$2³}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} + n³ = (1 + 2 + 3 + ... + n)²

${\displaystyle d(uv)=\sum _{\mid \gcd(u,v)}\mid \mid \mid \gcd(\d)\frac {u}\mid \frac {v}{\cd}\mid }오른쪽)).}$ ^[60]

${\displaystyle \cHB_{k}(u)\vma_{k}=\sum \gcd(u,v)}\mid \gcdma_{k}\lecdmid \{k}\lefrac {u}{\2}}\bmdmid).}$ ^[61]

${\displaystyle \tau (u)\tau (v)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\delta ^{11}\tau \left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right),}$ where τ(n) is Ramanujan's function. ^[62]

일부 산술 함수의 처음 100개 값

n		𝜙(n)	Ω(n)	Ω(n)	𝜆(n)	𝜇(n)	𝜆(n)	π(n)	𝜎0(n)	𝜎1(n)	𝜎2(n)	r2(n)	r3(n)	r4(n)
1	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	1	4	6	8
2	2	1	1	1	−1	−1	0.69	1	2	3	5	4	12	24
3	3	2	1	1	−1	−1	1.10	2	2	4	10	0	8	32
4	22	2	1	2	1	0	0.69	2	3	7	21	4	6	24
5	5	4	1	1	−1	−1	1.61	3	2	6	26	8	24	48
6	2 · 3	2	2	2	1	1	0	3	4	12	50	0	24	96
7	7	6	1	1	−1	−1	1.95	4	2	8	50	0	0	64
8	23	4	1	3	−1	0	0.69	4	4	15	85	4	12	24
9	32	6	1	2	1	0	1.10	4	3	13	91	4	30	104
10	2 · 5	4	2	2	1	1	0	4	4	18	130	8	24	144
11	11	10	1	1	−1	−1	2.40	5	2	12	122	0	24	96
12	22 · 3	4	2	3	−1	0	0	5	6	28	210	0	8	96
13	13	12	1	1	−1	−1	2.56	6	2	14	170	8	24	112
14	2 · 7	6	2	2	1	1	0	6	4	24	250	0	48	192
15	3 · 5	8	2	2	1	1	0	6	4	24	260	0	0	192
16	24	8	1	4	1	0	0.69	6	5	31	341	4	6	24
17	17	16	1	1	−1	−1	2.83	7	2	18	290	8	48	144
18	2 · 32	6	2	3	−1	0	0	7	6	39	455	4	36	312
19	19	18	1	1	−1	−1	2.94	8	2	20	362	0	24	160
20	22 · 5	8	2	3	−1	0	0	8	6	42	546	8	24	144
21	3 · 7	12	2	2	1	1	0	8	4	32	500	0	48	256
22	2 · 11	10	2	2	1	1	0	8	4	36	610	0	24	288
23	23	22	1	1	−1	−1	3.14	9	2	24	530	0	0	192
24	23 · 3	8	2	4	1	0	0	9	8	60	850	0	24	96
25	52	20	1	2	1	0	1.61	9	3	31	651	12	30	248
26	2 · 13	12	2	2	1	1	0	9	4	42	850	8	72	336
27	33	18	1	3	−1	0	1.10	9	4	40	820	0	32	320
28	22 · 7	12	2	3	−1	0	0	9	6	56	1050	0	0	192
29	29	28	1	1	−1	−1	3.37	10	2	30	842	8	72	240
30	2 · 3 · 5	8	3	3	−1	−1	0	10	8	72	1300	0	48	576
31	31	30	1	1	−1	−1	3.43	11	2	32	962	0	0	256
32	25	16	1	5	−1	0	0.69	11	6	63	1365	4	12	24
33	3 · 11	20	2	2	1	1	0	11	4	48	1220	0	48	384
34	2 · 17	16	2	2	1	1	0	11	4	54	1450	8	48	432
35	5 · 7	24	2	2	1	1	0	11	4	48	1300	0	48	384
36	22 · 32	12	2	4	1	0	0	11	9	91	1911	4	30	312
37	37	36	1	1	−1	−1	3.61	12	2	38	1370	8	24	304
38	2 · 19	18	2	2	1	1	0	12	4	60	1810	0	72	480
39	3 · 13	24	2	2	1	1	0	12	4	56	1700	0	0	448
40	23 · 5	16	2	4	1	0	0	12	8	90	2210	8	24	144
41	41	40	1	1	−1	−1	3.71	13	2	42	1682	8	96	336
42	2 · 3 · 7	12	3	3	−1	−1	0	13	8	96	2500	0	48	768
43	43	42	1	1	−1	−1	3.76	14	2	44	1850	0	24	352
44	22 · 11	20	2	3	−1	0	0	14	6	84	2562	0	24	288
45	32 · 5	24	2	3	−1	0	0	14	6	78	2366	8	72	624
46	2 · 23	22	2	2	1	1	0	14	4	72	2650	0	48	576
47	47	46	1	1	−1	−1	3.85	15	2	48	2210	0	0	384
48	24 · 3	16	2	5	−1	0	0	15	10	124	3410	0	8	96
49	72	42	1	2	1	0	1.95	15	3	57	2451	4	54	456
50	2 · 52	20	2	3	−1	0	0	15	6	93	3255	12	84	744
51	3 · 17	32	2	2	1	1	0	15	4	72	2900	0	48	576
52	22 · 13	24	2	3	−1	0	0	15	6	98	3570	8	24	336
53	53	52	1	1	−1	−1	3.97	16	2	54	2810	8	72	432
54	2 · 33	18	2	4	1	0	0	16	8	120	4100	0	96	960
55	5 · 11	40	2	2	1	1	0	16	4	72	3172	0	0	576
56	23 · 7	24	2	4	1	0	0	16	8	120	4250	0	48	192
57	3 · 19	36	2	2	1	1	0	16	4	80	3620	0	48	640
58	2 · 29	28	2	2	1	1	0	16	4	90	4210	8	24	720
59	59	58	1	1	−1	−1	4.08	17	2	60	3482	0	72	480
60	22 · 3 · 5	16	3	4	1	0	0	17	12	168	5460	0	0	576
61	61	60	1	1	−1	−1	4.11	18	2	62	3722	8	72	496
62	2 · 31	30	2	2	1	1	0	18	4	96	4810	0	96	768
63	32 · 7	36	2	3	−1	0	0	18	6	104	4550	0	0	832
64	26	32	1	6	1	0	0.69	18	7	127	5461	4	6	24
65	5 · 13	48	2	2	1	1	0	18	4	84	4420	16	96	672
66	2 · 3 · 11	20	3	3	−1	−1	0	18	8	144	6100	0	96	1152
67	67	66	1	1	−1	−1	4.20	19	2	68	4490	0	24	544
68	22 · 17	32	2	3	−1	0	0	19	6	126	6090	8	48	432
69	3 · 23	44	2	2	1	1	0	19	4	96	5300	0	96	768
70	2 · 5 · 7	24	3	3	−1	−1	0	19	8	144	6500	0	48	1152
71	71	70	1	1	−1	−1	4.26	20	2	72	5042	0	0	576
72	23 · 32	24	2	5	−1	0	0	20	12	195	7735	4	36	312
73	73	72	1	1	−1	−1	4.29	21	2	74	5330	8	48	592
74	2 · 37	36	2	2	1	1	0	21	4	114	6850	8	120	912
75	3 · 52	40	2	3	−1	0	0	21	6	124	6510	0	56	992
76	22 · 19	36	2	3	−1	0	0	21	6	140	7602	0	24	480
77	7 · 11	60	2	2	1	1	0	21	4	96	6100	0	96	768
78	2 · 3 · 13	24	3	3	−1	−1	0	21	8	168	8500	0	48	1344
79	79	78	1	1	−1	−1	4.37	22	2	80	6242	0	0	640
80	24 · 5	32	2	5	−1	0	0	22	10	186	8866	8	24	144
81	34	54	1	4	1	0	1.10	22	5	121	7381	4	102	968
82	2 · 41	40	2	2	1	1	0	22	4	126	8410	8	48	1008
83	83	82	1	1	−1	−1	4.42	23	2	84	6890	0	72	672
84	22 · 3 · 7	24	3	4	1	0	0	23	12	224	10500	0	48	768
85	5 · 17	64	2	2	1	1	0	23	4	108	7540	16	48	864
86	2 · 43	42	2	2	1	1	0	23	4	132	9250	0	120	1056
87	3 · 29	56	2	2	1	1	0	23	4	120	8420	0	0	960
88	23 · 11	40	2	4	1	0	0	23	8	180	10370	0	24	288
89	89	88	1	1	−1	−1	4.49	24	2	90	7922	8	144	720
90	2 · 32 · 5	24	3	4	1	0	0	24	12	234	11830	8	120	1872
91	7 · 13	72	2	2	1	1	0	24	4	112	8500	0	48	896
92	22 · 23	44	2	3	−1	0	0	24	6	168	11130	0	0	576
93	3 · 31	60	2	2	1	1	0	24	4	128	9620	0	48	1024
94	2 · 47	46	2	2	1	1	0	24	4	144	11050	0	96	1152
95	5 · 19	72	2	2	1	1	0	24	4	120	9412	0	0	960
96	25 · 3	32	2	6	1	0	0	24	12	252	13650	0	24	96
97	97	96	1	1	−1	−1	4.57	25	2	98	9410	8	48	784
98	2 · 72	42	2	3	−1	0	0	25	6	171	12255	4	108	1368
99	32 · 11	60	2	3	−1	0	0	25	6	156	11102	0	72	1248
100	22 · 52	40	2	4	1	0	0	25	9	217	13671	12	30	744
n		𝜙(n)	Ω(n)	Ω(n)	𝜆(n)	𝜇(n)	𝜆(n)	π(n)	𝜎0(n)	𝜎1(n)	𝜎2(n)	r2(n)	r3(n)	r4(n)

메모들

참고문헌

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가기기기

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