모듈 방정식
Modular equation |
수학에서 모듈 방정식은 모듈리 문제라는 의미에서 모듈리가 만족하는 대수 방정식이다.[1]즉, 모듈리 공간의 여러 함수를 감안할 때 모듈 방정식은 그들 사이에 있는 방정식, 즉 모듈리의 정체성을 의미한다.
모듈식이라는 용어를 가장 많이 사용하는 것은 타원곡선의 모듈리 문제와 관련이 있다.그 경우 모듈리 공간 자체가 차원 1이다.이는 모듈형 곡선의 함수 필드에 있는 어떤 두 개의 합리적인 함수 F와 G가 복잡한 숫자에 대한 두 변수의 0이 아닌 다항식을 P와 함께 모듈식 P(F,G) = 0을 만족한다는 것을 의미한다.적절한 비감소형 F와 G 선택에 대해 P(X,Y) = 0 등식은 실제로 모듈형 곡선을 정의한다.
이는 최악의 경우 P가 높은 정도가 될 것이며 P가 정의하는 평면 곡선은 단수점을 가질 것이며 P의 계수는 매우 큰 숫자일 수 있다고 말해 검증할 수 있다.나아가 정직한 타원곡선이 아니라 퇴보하는 경우의 모듈형 곡선의 포인트인 모듈리 문제의 '쿠스'는 P에 대한 지식에서 읽기가 어려울 수 있다.
그런 의미에서 모듈형 방정식은 모듈형 곡선의 방정식이 된다.그러한 방정식은 복잡한 분석의 관점에서 표현된 타원함수의 곱셈 이론(기하학적으로, 2토러스에서 그 자체로 n-폴드2 커버 맵이 기초 그룹의 지도 x → n·x에 의해 제공됨)에서 처음 발생하였다.
