주 번들의 모듈리 스택

대수 기하학에서 유한한 밭에 F{\displaystyle \mathbf{F}_{q}q}와 그것에 대해서 X에 주요한 다발, 번 G에 의해 표시된의moduli 스택(X){\displaystyle \operatorname{ 번}_ᆮ(X)⁡ 부드러운 아핀군 계획 G} 부드러운 사영 곡선 X이 주어지는 것은 대수 스택[1]:에 의해 어떤 F로 준${\displaystyle q_{}}$ ${\$ -algebra$$ R,

${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)(R)=}$ the category of principal G-bundles over the relative curve ${\displaystyle X\times _{\mathbf {F} _{q}}\operatorname {Spec} R}$.

In particular, the category of ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$-points of ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$, that is, ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)(\mathbf {F} _{q})}$, is the category of G-bundles over X.

마찬가지로, ${\displaystyle {\mathrm{Bun}}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle X}$ ) ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$도 곡선 X가 복잡한 숫자 필드 위에 있을 때 정의할 수 있다$$.대략적으로 복잡한 경우, 게이지 그룹에 의한 X 상의 홀로모르픽 연결 공간의 지수 스택으로 ${\displaystyle {Bun}_{}}$ G ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$을 정의할 수 있다.지수 스택(위상학적 공간이 아님)을 호모토피 지수(위상학적 공간)로 대체하면 호모토피 타입의 ${\displaystyle {\mathrm{Bun}}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle (X}$) ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X$ .

In the finite field case, it is not common to define the homotopy type of ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$. But one can still define a (smooth) cohomology and homology of ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$.

기본 속성

${\displaystyle {\mathrm{Bun}}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$은 치수$({\displaystyle g}$($$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$)의 부드러운 스택으로 ${\displaystyle \mathrm{알려져<img\; alt="\backslash operatorname\; \{Bun\}\; \_\{G\}(X)"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/cb9ba4827356dd43a3d4261948db761269f57e23"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:9.544ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="59">}}$ 있으며, 여기서$$ g${\displaystyle (}$ $X{\displaystyle )}$ ${\dim G}$은 X의 ${\displaystyle \mathrm{속이라고}}$ 한다$.$유한형식이 아니라 국부적으로 유한형식이므로 보통 유한형(cf. Harder-Narasimhan 성층화)의 개방형 하위형(cf. Harder-North-Narasimhan 성층화.G가 분할 환원 그룹인 경우, 연결된 구성 요소 집합 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {Bun}_{}}$ G${\displaystyle {}_{}(}$ (${\displaystyle X}$ ) ${\displaystyle \pi$ _${0}(\operatorname {Bun} _{G}(X)})$이 기본 $그룹{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle G}$)$${\$displaysty \pi _{1}(G$^[2]

아티야-보트 공식

베렌드의 미량 공식

1993년 Behrend가 도입한 ${\displaystyle X}$가 유한한 분야를$$ ${\displaystyle {\mathrm{넘었을}}_{}}$ ${\displaystyle {때}_{}}$ Bun G${\displaystyle {}_{})}$(X $)$ {\$displaystyle \operatorname {Bun} _{G}($X)}에 대한 렙체츠 미량식의 (conjectal) 버전이다.^[3]그것은 다음과 같다:^[4] 만약 G가 일반 섬유와 연결된 반이 구현된 매끄러운 연결 그룹 체계라면,

${\displaystyle \#\operatorname {Bun} _{G}(X)(\mathbf {F} _{q})=q^{\dim \operatorname {Bun} _{G}(X)}\operatorname {tr} (\phi ^{-1} H^{*}(\operatorname {Bun} _{G}(X);\mathbb {Z} _{l}))}$

(자세한 내용은 Behrend의 추적 공식도 참조)

• l은 p가 아닌 소수점이며 l-adic 정수의 링$$ Z ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $\$$mathb {Z} _{l}$은(는$)$ C {\$displaystyle$\mathb ${C}$의 하위 문자열로 간주된다$.$
• ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \pi }$은(는) 기하학적 프로베니우스다.
• ${\displaystyle \#\operatorname {Bun} _{G}(X)(\mathbf {F} _{q})=\sum _{P}{1 \over \#\operatorname {Aut} (P)}}$, the sum running over all isomorphism classes of G-bundles on X and convergent.
• ${\displaystyle \operatorname {tr} (\phi ^{-1} V_{*})=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\operatorname {tr} (\phi ^{-1} V_{i})}$ for a graded vector space ${\displaystyle V_{*}}$, provided the series on the right absolutely converges.

공식에서 왼쪽과 오른쪽이 모두 수렴되지 않는 선행.따라서 이 공식은 양쪽이 유한한 숫자로 수렴되고 그 숫자들이 일치한다고 명시한다.

메모들

참조

• J. Heinloth, 곡선에 벡터 번들의 모듈리 스택에 대한 강의, 2009년 예비 버전
• J. Heinloth, A.H.W. Schmitt, The Cohomology Ring of Moduli Stacks of Curves over Curves, 2010 사전 인쇄, http://www.uni-essen.de/~1180002/에서 이용 가능.
• 게이츠고리, D; 루리, J.; Weil's Estabulation for Function Fields.2014, [1]

추가 읽기

• 기능 필드용 타마가와 번호
• C. 소거, 대수곡선을 넘는 주 G번들 모듈리 강의

참고 항목

• 기하학적 랭글랜드 추측
• 런 스페이스
• 벡터 번들 모듈리 스택