지수 쌓기

대수 기하학에서, 지수 스택은 파라메트리 물체를 등가물체로 하는 스택이다.기하학적으로, 그것은 어떤 계획이나 다양한 종류의 인수를 집단에 의해 일반화한다: 예를 들어, 인지도의 다양성은 인지도 스택의 거친 근사치가 될 것이다.

스택 연구에 있어 개념은 기본적으로 중요하다. 자연에서 발생하는 스택은 종종 지수 스택 자체이거나 지수 스택에 의한 계층화를 인정한다(예: Deligne-Mumford 스택).또한 지수 스택은 분류 스택과 같은 다른 스택을 구성하는 데 사용된다.

정의

지수 스택은 다음과 같이 정의된다.G가 작용하는 S와 X, S-scheme에 대해 우호적인 부드러운 그룹 체계가 되도록 하자.지수 스택${\displaystyle }$[${\displaystyle X/G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [X/G]}$을(를) S-schemes 범주 위에 범주로 두십시오.

• T 위에 있는 물체는 주요 G번들 $P{\displaystyle }$ →${\displaystyle T}$ ${\displaystyle P\to T}$이며 ${\displaystyle \mathrm{등가}}$ 지도 $P{\displaystyle }$→ X ${\displaystyle P\to X$
• an arrow from ${\displaystyle P\to T}$ to ${\displaystyle P'\to T'}$ is a bundle map (i.e., forms a commutative diagram) that is compatible with the equivariant maps ${\displaystyle P\to X}$ and ${\displaystyle P'\to X}$.

지수 $X{\displaystyle }$/ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X/G}$이(가) 대수적 공간(예: Keel-Mori 정리)으로 존재한다고 가정합시다.표준 지도

${\displaystyle [}$ ${\displaystyle X}$/ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$→ ${\displaystyle X}$/ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [X/G]\to$ X$/G$

해당 T 지점에 묶음 P를 보내는 것은 스택의 이형화일 필요는 없다.^[1] 즉, "X/G" 공간은 보통 더 단단하다.표준 지도는 스태빌라이저가 사소한 경우에만(이 경우 $X{\displaystyle /G}$ ${\displaystyle$ X$/G}$이(가) 존재하는 경우) 이형성이다.^{[citation needed]}

일반적으로${\displaystyle }$[ ${\displaystyle X}$/ G ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [X/G]}$은 아르틴 스택(대수 스택이라고도 함)이다$$.기하학적 점의 안정기가 유한하고 감소한다면, 그것은 Deligne-Mumford 스택이다.

버트 토타로(2004)는 다음과 같이 보여주었다: X는 닫힌 지점에 있는 스태빌라이저 그룹이 붙어 있는 정상적인 노메트리안 대수 스택이 되도록 하라.X는 해상도 특성을 갖는 경우에만 지수 스택이다. 즉, 모든 일관성 있는 피복은 벡터 번들의 지수다.앞서 로버트 웨인 토마슨은 지수 스택이 해상도 특성을 가지고 있다는 것을 증명했다.

예

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ 동작이$$ 부드러운 $공간{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M$에 유한 안정제만 있는$$ [$M/G]$와 같은 유효 지수$($예:${\displaystyle }$[${\displaystyle M/G}$])는 지수 스택의 예다.^[2]

If ${\displaystyle X=S}$ with trivial action of ${\displaystyle G}$ (often ${\displaystyle S}$ is a point), then ${\displaystyle [S/G]}$ is called the classifying stack of ${\displaystyle G}$ (in analogy with the classifying space of ${\displaystyle G}$) and is usually denoted by ${\displaystyle BG}$$[\displaystyle BG$ 보렐의 정리에는 분류 스택의 코호몰로지 링이 설명되어 있다.

라인다발모듈리

One of the basic examples of quotient stacks comes from the moduli stack ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$ of line bundles ${\displaystyle [*/\mathbb {G} _{m}]}$ over ${\displaystyle {\text{Sch}}}$, or ${\displaystyle [S/\mathbb {G} _{m}]}$ over ${\$$displaystyle {\text{Sch}}/S}$ for the trivial ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$-action on ${\displaystyle S}$. For any scheme (or ${\displaystyle S}$-scheme) ${\displaystyle X}$, the ${\displaystyle X}$-points of the moduli stack are the groupoid of principal ${\displaystyle \mathbb {$$G} _{m}}$ -번들$$ $P{\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P\to$ X$}$.

n-섹션이 있는 라인 번들의 모듈리

$[{\displaystyle {}^{}}$ / ${\displaystyle {}_{}}$ m${\displaystyle {}_{}}$]$${\$displaystyle$[\$mathb {A}$^{$n}/\mathb {G} _{m}}}}$이(가) 부여한 또 다른 밀접하게 관련된 모듈리 스택이 있는데, $이$는 n ${\displaystyn}$ -sections가$$ 있는 라인 번들의 모듈리 스택이다.이것은 포인트에 대해 평가된 지수 스택의 정의에서 직접 따른다.구성표 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$의 경우 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ -포인트는$$ 집합에 의해 개체가 주어지는 그룹형입니다.

${\displaystyle [\mathb {A} ^{n}/\mathb {G} _{m}(X)=\좌측\{\begin{matrix}P&\to &\\mathb {A} ^{n}\\downarrow &\x\end{matrix}}}:(*\reason{aigned}&)P\to \mathb {A} ^{n}{\text{{\text{G} _{m}{\text{등각 및}\\&P\to X{\text}}은(는) 주체 }}}}\mathb {G}{-bundle}\end{정렬}\riged}}\right\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

상단 행의 형태론은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$ 위에 연결된 선다발의 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -sections에$$ 해당한다$.$ 이는 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ {$G}_{m}}}$ -등가 지도$$${\displaystyle }\varphi {\displaystyle }$ : ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ →${\displaystyle }$A ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$:$P$$\to \mathb {A} ^{1}:{$1} $섬유{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ x ${\$로 제한하면 번들의 $섹션$ ${\displaystyle \sigma}$과 동일한 데이터가 제공된다$$.This can be checked by looking at a chart and sending a point ${\displaystyle x\in X}$ to the map ${\displaystyle \phi _{x}}$, noting the set of ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$-equivariant maps ${\displaystyle P _{x}\to \mathbb {A} ^{1}}$ is isomorphic to ${\$$디스플레이$ 스타일 $\mathb {G}$ _${m$그리고 나서 이 공사는 접착 도표를 함께 붙여서 번들의 글로벌 섹션을 제공함으로써 세계화된다.Since ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$-equivariant maps to ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ is equivalently an ${\displaystyle n}$-tuple of ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$-equivariant maps to ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$, the result holds.

형식집단법의 모둘리

예:^[3] L을 라자드 링으로 하자. 즉, $L{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ∗ ${\displaystyle \mathrm{MU}}$ ${\displaystyle$ L$=\pi _{*}\operatorname {MU$ 그러면 몫 ${\displaystyle \mathrm{스택}}{\displaystyle }$[규격 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle L/G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystystyle$[\$Spec}L$$/G]$ by$$${\displaystyle }$ G$.$

${\displaystyle G(R)=\{g\in R[\![t]\!] g(t)=b_{0}t+b_{1}t^{2}+\cdots ,b_{0}\in R^{\times }\}}$,

$M{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {\text{FG}}_{}}$ ${\$에 의해 표시된 공식 그룹 법칙의 모듈리 스택이라고 한다.$FG$

참고 항목

• 호모토피 지수
• 주 번들의 모듈리 스택(대략적으로 스택을 분류하는 무한 제품)
• 그룹 구성 작업
• 대수곡선의 모둘리

참조

• Deligne, Pierre; Mumford, David (1969), "The irreducibility of the space of curves of given genus", Publications Mathématiques de l'IHÉS, 36 (36): 75–109, CiteSeerX 10.1.1.589.288, doi:10.1007/BF02684599, MR 0262240
• Totaro, Burt (2004). "The resolution property for schemes and stacks". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 577: 1–22. arXiv:math/0207210. doi:10.1515/crll.2004.2004.577.1. MR 2108211.

일부 다른 언급은 다음과 같다.

• Behrend, Kai (1991). The Lefschetz trace formula for the moduli stack of principal bundles (PDF) (Thesis). University of California, Berkeley.
• Edidin, Dan. "Notes on the construction of the moduli space of curves" (PDF).