모노톤급 정리

측정 이론과 확률에서, 단조로운 계급 정리는 단조로운 계급과 시그마-알게브라를 연결한다.정리는 집합 $G$ ${\displaystyle$ $G$ $}$ 의 대수학을 포함하는 가장 작은 단조류 클래스가 정확하게 $G$ $G .$ ${\displaystyle$ G $.}$ 를 포함하는 𝜎-알게브라라고 말하고 있다. 이는 $G.$ 후비니의 정리 등 다른 많은 이론들을 증명하기 위한 트랜스피나이트 유도 유형으로 사용된다.

단조류 클래스의 정의

모노톤 클래스(monotone class)는 카운트 가능한 모노톤 유니온에 따라 닫히고 카운트 가능한 모노톤 교차로에 대해서도 닫히는 세트의 $M$ $M$ $M$ 이다.명시적으로 이것은 $M$ $M$ 에 다음 속성이 있음을 $M$ 의미한다.

if $A_{1},A_{2},\ldots \in M$ and $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots$ then ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in M,}$ and
if $B_{1},B_{2},\ldots \in M$ and $B_{1}\supseteq B_{2}\supseteq \cdots$ then ${\textstyle \bigcap _{i=1}^{\infty }B_{i}\in M.}$

집합에 대한 모노톤 클래스 정리

세트를 위해Monotone 수업 정리 — 세트의 G{G\displaystyle} 되는 대수와 가장 작은 단조로운 수업 G포함하는 M(G){M(G)\displaystyle}을 규정한다.{G.\displaystyle}그럼 M(G){M(G)\displaystyle}은 정확히 𝜎-algebra G{G\displaystyle}에 의해 생성된, 즉σ(G)=M(자. ${\displaystyle \sigma(G)=M(G)$ $}$

함수에 대한 모노톤 클래스 정리

Monotone class theorem for functions — Let ${\mathcal {A}}$ be a $π$ -system that contains $\Omega \,$ and let ${\mathcal {H}}$ be a collection of functions from $\Omega$ to $\mathbb {R}$ with the following properties:

$A\in {\mathcal {A}}$ {\ $displaystyle A\$ in {\ $mathcal$ { $A}$ 인 $A\in {\mathcal {A}}$ $\mathbf {1} _{A}\in {\mathcal {H}}.$ 1 A $\mathbf {1} _{A}\in {\mathcal {H}}.$ $\mathbf {1} _{A}\in {\mathcal {H}}.$ . ${\displaystyle \mathbf {$ 1 $} _{A}\in {\mathcal {H}.$ $}$
$f,g\in {\mathcal {H}}$ , $f,g\in {\mathcal {H}}$ $f,g\in {\mathcal {H}}$ $f,g\in {\mathcal {H}}$ ${\$ 및 $f,g\in {\mathcal {H}}$ $c\in \mathbb {R}$ $c\in \mathbb {R}$ R ${\$ { $R}}$ 인 경우 $f+g$ + $f+g$ $f+g$ $cf\in {\mathcal {H}}.$ $cf\in {\mathcal {H}}.$ $cf\in {\mathcal {H}}.$ $cf\in {\mathcal {H}}.$ . ${\displaystystyle cf\in {H}.$ $}$
$f_{n}\in {\mathcal {H}}$ n $f_{n}\in {\mathcal {H}}$ H ${\displaystyle f_{n}\in {\$ mathcal { $H}$ 에서 경계 함수 $f$ ${\displaystyle f}($ 으)로 증가하는 음이 아닌 함수의 시퀀스인 $f_{n}\in {\mathcal {H}}$ 경우 $f\in {\mathcal {H}}.$ $f\in {\mathcal {H}}.$ $f\in {\mathcal {H}}.$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {H}.$ $}$

그러면 ${\mathcal {H}}$ ${\$ { $\sigma ({\mathcal {A}}),$ 에는 ${\mathcal {A}}.$ . ${\mathcal {A$ 에서 $\sigma ({\mathcal {A}}),$ 생성된 시그마-알게브라 $({\displaystyle \sigma{\mathcal$ { $A})$ 에 대해 측정할 수 있는 모든 경계 함수가 포함되어 ${\mathcal {H}}$ 있다. $}$

증명

다음 주장은 릭 더렛의 확률에서 비롯된다.이론과 예.^[1]

증명

가정 $\Omega \,\in {\mathcal {A}},$ $\Omega \,\in {\mathcal {A}},$ A $\Omega \,\in {\mathcal {A}},$ , $\Omega \,\in {\mathcal {A}},$ {\ $displaystyle \Oomega$ \,\ $in$ {\ $mathcal {A},}($ 2), (3)은 G ${\mathcal {G}}=\left\{A:\mathbf {1} _{A}\in {\mathcal {H}}\right\}$ = ${\mathcal {G}}=\left\{A:\mathbf {1} _{A}\in {\mathcal {H}}\right\}$ 1 ${\mathcal {G}}=\left\{A:\mathbf {1} _{A}\in {\mathcal {H}}\right\}$ : ${\mathcal {G}}=\left\{A:\mathbf {1} _{A}\in {\mathcal {H}}\right\}$ A ${\mathcal {G}}=\left\{A:\mathbf {1} _{A}\in {\mathcal {H}}\right\}$ H ${\mathcal {G}}=\left\{A:\mathbf {1} _{A}\in {\mathcal {H}}\right\}$ } ${\$ {\ $mathcal {G}=\left\\\$ 을 의미한다. ${A:\mathbf {$ 1 $} _{A}\in {\mathcal {H}\right\}}}$ 은 ${\mathcal {G}}=\left\{A:\mathbf {1} _{A}\in {\mathcal {H}}\right\}$ (는) 𝜆-시스템이다.By (1) and the $π$ −𝜆 theorem, $\sigma ({\mathcal {A}})\subset {\mathcal {G}}.$ Statement (2) implies that ${\mathcal {H}}$ contains all simple functions, and then (3) implies that ${\mathcal {H}}$ contains all bounded functions measurable with respect to $\sigma ({\mathcal {A}}).$ ( $\sigma ({\mathcal {A}}).$ ) $\sigma ({\mathcal {A}}).$ . ${\displaystyle \sigma({\mathcal{A}).$ $}$

결과 및 애플리케이션

산호로서 $G$ $G$ 이(가) 세트 링이라면 이를 $G$ 포함하는 가장 작은 모노톤 클래스는 $G$ . $G.$ 의 시그마 링과 일치한다.

이 정리를 호출함으로써, 특정 서브셋 컬렉션이 시그마-알지브라인지 검증하는 데 도움이 되는 단조 클래스를 사용할 수 있다.

기능에 대한 단조로운 클래스 정리는 특히 단순한 종류의 함수에 대한 진술이 임의의 경계와 측정 가능한 함수에 일반화되도록 하는 강력한 도구가 될 수 있다.

참고 항목

π-𝜆 정리
π-시스템 – 교차점에서 닫힌 세트 패밀리
Dynkin 시스템 – 보완 및 계산 가능한 분리 유니온으로 마감된 제품군

인용구

^ Durrett, Rick (2010). Probability: Theory and Examples (4th ed.). Cambridge University Press. p. 276. ISBN 978-0521765398.

참조

Durrett, Richard (2019). Probability: Theory and Examples (PDF). Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Vol. 49 (5th ed.). Cambridge New York, NY: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC 1100115281. Retrieved November 5, 2020.

제품군 ${\mathcal {F}}$ ${\$ $mathcal$ ${F}$ $Ω$ 이상 세트 ${\mathcal {F}}$
${\mathcal {F}}\colon$ F : ${\mathcal {F}}\colon$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {F}\colon}$ 에 해당됨 ${\mathcal {F}}$ F ${\$ 이(가) 다음 조건에 ${\mathcal {F}}$ 따라 닫힘:	연출된 by $\,\supseteq$	$A\cap B}$	$A\컵 B}$	$B\setminus A}$	$\displaystyle \Oomega \setminus A}$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\컵 A_{2}\컵 \cdots$	$\Oomega \in {\mathcal {F}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}$	F.I.P.
π-시스템
세미닝										결코 하지 않다
세미날게브라 (세미필드)										결코 하지 않다
모노톤급						$A_{i}\searrow$ $A_{i}\searrow$ $A_{i}\searrow$ 인 경우에만 해당됨	$A_{i}\nearrow$ $A_{i}\nearrow$ { $A_{i}\nearrow$ {\ $displaystyle A_{i}\nearrow }$ 인 경우에만 해당됨
𝜆-시스템 (Dynkin 시스템				할 때만 $A\subseteq B}$			$A_{i}\nearrow$ $A_{i}\nearrow$ $A_{i}\nearrow$ $A_{i}\nearrow$ 또는 $A_{i}\nearrow$ 그들은 서로 단절되어 있다.			결코 하지 않다
반지(순서가론)
링(측정 이론)										결코 하지 않다
Δ-링										결코 하지 않다
𝜎-링										결코 하지 않다
대수(필드)										결코 하지 않다
𝜎알게브라 (필드-필드)										결코 하지 않다
이중 이상
필터				결코 하지 않다	결코 하지 않다				$\varnot \in {\mathcal {F}$
프리필터 (필터 베이스)				결코 하지 않다	결코 하지 않다				$\varnot \in {\mathcal {F}$
필터 서브베이스				결코 하지 않다	결코 하지 않다				$\varnot \in {\mathcal {F}$
위상							(임의의 조합도)			결코 하지 않다
${\mathcal {F}}\colon$ F : ${\mathcal {F}}\colon$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {F}\colon}$ 에 해당됨 ${\mathcal {F}}$ F ${\$ 이(가) 다음 조건에 ${\mathcal {F}}$ 따라 닫힘:	연출된 아래쪽으로	유한한 교차점	유한한 조합	상대적 보완물	보완물 $\Omega$ $\Oomega$	셀 수 있는 교차점	셀 수 있는 조합	$\Omega$ $\Oomega$ 포함	포함 $\varnothing$	유한한 교차로 속성
또한 의미 부여는 모든 보완 $B\setminus A$ $B\setminus A$ $B\setminus A$ ${\displaystyle B\setminus A$ }이 $B\setminus A$ (가) ${\mathcal {F}}.$ F . ${\mathcal {F}}.$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {F}$ 에서 집합의 유한 분리 결합과 동일한 π-시스템이다. $}$ *세미메이지브라*(semialgebra)는 $\Omega .$ . {\ $displaystyle \Oomega .}$ 을(를) 포함하는 기호다. $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ , $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ , $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ , $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ A $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ , $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ … $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ 은(는) ${\mathcal {F}}$ ${\$ 의 임의적인 요소이며 $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ ${\mathcal {F}}$ , $≠.{\displaystystyle. {\\f}\neqvarnot.}$ 라고 가정한다.

[Durrett-1] Durrett, Rick (2010). Probability: Theory and Examples (4th ed.). Cambridge University Press. p. 276. ISBN 978-0521765398.

[1]

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