파이 시스템

수학에서 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$ 집합의 π-system(또는 pi-system)은 다음과$$ $같은{\displaystyle \mathrm{}}$Ω$$, {\$displaystyle \Oomega$}의 특정 하위 $집합$의 P ${\displaystystyle P}$ 집합이다.

• ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$은(는) 비어 있지 않다.
• $A{\displaystyle }$, ${\displaystyle B\in }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle$ A,$B\in P}$인 경우 $A$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ $.$ {\$displaystyle$A\$cap B\in P.}$

즉, $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$은(는) $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega$}의 부분 집합의 비어 있지 않은 계열이며, 비어$$ 있지 않은 유한 교차로에서 닫힌다.^{[nb 1]}π-systems의 중요성은 두 개의 확률 측정치가 π-system에 대해 합의하는 경우, π-system에 의해 생성된 𝜎-algebra에 합의한다는 사실에서 발생한다.또한, 통합의 평등과 같은 다른 특성이 π 시스템을 유지한다면, 생성된 𝜎-알제브라도 유지된다.부동산이 보유하고 있는 서브셋의 수집이 𝜆-시스템일 때마다 그러하다.π-systems은 랜덤 변수의 독립성을 확인하는 데도 유용하다.

이는 실제로 π-시스템이 𝜎-알게브라스보다 작업하기가 더 쉬운 경우가 많기 때문에 바람직하다.예를 들어 무한히 많은 세트 $\sigma {\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$E ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… )에 의해 생성된 𝜎-알게브라를 가지고 작업하는 것은 어색할 수 있다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \sigma (E_{1},E_{2},\ldots).$$}$ 따라서$$ 대신 우리는 많은 집합 $\bigcup \underset{}{}$ $\underset{}{n}$ $\underset{}{}$ $({}_{}$ ${1\mathrm{}}_{}$,$$… ,${}_{}$ $n_{}$)에 의해 생성된 모든 𝜎알게브라의 결합을 조사할 수 있다. ${\$텍스트 $스타일 \bigcup _${n$}\sigma (E_{1},\ldots,E_{n}).$$}$ 이것은$$ 원하는 𝜎-algebra를 생성하는 π-system을 형성한다.또 다른 예는 실선의 서브셋의 매우 중요한 보렐 𝜎-알지브라(Borel system-algebra)를 생성하는 all-시스템과 함께 실선의 모든 구간을 수집하는 것이다.

정의들

π-system은 비어 있지 않은 유한 교차로에서 닫히는 $세트$ P ${\displaystyle P}$의 비 빈 집합으로, 두 요소의 교차를 포함하는$$ $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$과 동일하다.이 π-system의 모든 세트가 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$의 하위 집합이면 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$. {\$displaystyle \Oomega.}$에서 on-system이라고 한다.

For any non-empty family ${\displaystyle \Sigma }$ of subsets of ${\displaystyle \Omega ,}$ there exists a π-system ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{\Sigma },}$ called the π-system generated by ${\displaystyle {\boldsymbol {\varSigma }}}$, that is the unique smallest π-system of ${\displaystyle$$\$$Displaystyle$ .}의 모든$$ $요소$를 포함하는 \Oomega$$}}. ${\displaystyle ,}$ , ${\displaystyle \Sigma$,}을$$(를) 포함하는 모든 system-systems의 교차점과 같으며$$ $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$: ${\displaysty \Sigma :}$의 가능한 모든 유한 교차점 집합으로 명시적으로 설명할 수 있다.

비어 있지 않은 집합 집합 집합의 집합은 생성되는 π-system이 빈 집합을 요소로 포함하지 않는 경우에만 유한 교차 특성을 갖는다.

예

• $a{\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$, ${\displaystyle a,$${\displaystyle b}$$\in \mathb {R} ,}$ 간격$$$({\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ,${\displaystyle ],}$ ${\displaystyle(-\infit ,a])$은 π-system을 형성하고$$, 간격${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystystyleyle$ ($a,b)$은 빈 집합)도 포함하면 π-system을 형성한다$$.
• 위상학적 공간의 위상(개방형 하위 집합의 집합)은 π-시스템이다.
• 모든 필터는 π-시스템이다.빈 세트를 포함하지 않는 모든 π 시스템은 프리필터(필터 베이스라고도 함)이다.
• 측정 가능한 함수 $f{\displaystyle }$ :${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$, ${\displaystyle f:$$\Oomega \to \mathb${${\displaystyle R}$$}$ 세트$$${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$$$I${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$- ${\displaystyle 1{}^{}}$(${\displaystyle }$( -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$, x${\displaystyle ])}$: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$} ${\$f^{-$1}(-\ft;x])$:}}, 그리고 π-system f에 의해 생성되라고 불린다.{\displaystyle의 'caput'}(또는,{f− 1((a, b]):, b∈ R,<>b}∪{∅}{\displaystyle \left\{f^{)}((a,b]):a,b\in \mathbb{R},a<, b\right\}\cup \{\varnothing)}}.{\dis π-system f에 의해 생성된 정의하는 π-system을 정의합니다\mathbb{R}\right\ x\in.playst$yle$ f$.}$)
• If ${\displaystyle P_{1}}$ and ${\displaystyle P_{2}}$ are π-systems for ${\displaystyle \Omega _{1}}$ and ${\displaystyle \Omega _{2},}$ respectively, then ${\displaystyle \{A_{1}\times A_{2}:$$A_{1}\in P_{1}, A_{2}\in P_{2}\}}}$은(는$$) 데카르트 제품 $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle \Oomega _{1}\time$\times \$Oomega _{$2}의 π-system이다$.$$}$
• 모든 𝜎-algebra는 π-system이다.

𝜆-systems와의 관계

$\Omega$의$display-system {\$displaystyle \$Oomega}$은(는) $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$, ${\displaystyle \Oomega}$을(를) 만족하는$$ 하위 집합의$$ $집합{\displaystyle }$ D$${\$displaystyle$D}이다$$.

• ${\displaystyle \Oomega \in D,}$
• $만약{\displaystyle }$ A ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A\in D}$이면 A ${\displaystyle c^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle$ A$^{c}\in$ D$}($여기서 $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle c^{}}$ ${\displaystyle :=\mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{c}=\Oomega \setminus A}),$
• if ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots }$ is a sequence of (pairwise) disjoint subsets in ${\displaystyle D}$ then ${\displaystyle \cup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D.$$}$

어떤 𝜎-알지브라도 π-system과 system-system 둘 다라는 특성을 만족하는 것은 사실이지만, π-system이 𝜆-system이라는 것은 사실이 아니며, 더욱이 π-system이 𝜎-algebra라는 것도 사실이 아니다.그러나 유용한 분류는 𝜆-system과 system-system이 모두 al-algebra인 모든 set set-system은 모두 𝜎-algebra이다.이것은 π-𝜆 정리를 증명하는 단계로 쓰인다.

π-𝜆 정리

D{D\displaystyle}가 되𝜆-system, 그리고 저는 D{\displaystyle{{나는\mathcal}}\subseteq D}가 되π-system D에 포함된.{D.\displaystyle}은 𝜎-algebra σ(나는){\displaystyle \sigma({{나는}\mathcal})}에 의해 생성된 그π-𝜆 theorem[1]주 나는{\displaystyle{{나는\mathcal}}}에 함유되어 있는 ⊆게 해 주십시오. 에서${\displaystyle D}$: ${\$ $\sigma$${\displaystyle }$(${\displaystyle I}$) ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle \sigma({\mathcal {I}})\subseteq D.}$

π-𝜆 정리는 많은 기본적인 측정 이론적 결과를 입증하는 데 사용될 수 있다.예를 들어, 𝜎-완료 조치를 위한 카라테오도리 확장 정리의 고유성 주장을 입증하는 데 사용된다.^[2]

π-𝜆 정리는 단조계급 정리와 밀접하게 연관되어 있어 단조계급과 알헤브라의 유사한 관계를 제공하며, 같은 결과를 많이 도출하는 데 사용할 수 있다.π-systems는 알헤브라에 비해 단순한 등급이기 때문에 them-systems가 그 안에 있는 세트를 식별하는 것이 더 쉬울 수 있는 반면, 고려 중인 속성이 system-system을 결정하는지는 비교적 쉬운 경우가 많다.두 가지 이론의 차이에도 불구하고 π-𝜆 정리는 때때로 단조계급 정리라고 한다.^[1]

예

$\mu {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{\mu \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle F}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$$F\to \mathb {R}$은(는) $𝜎-algebra{\displaystyle }$ F${\displaystyle }$, ${\displaystyle F,}$에 대한 두 가지 척도가 되며$$, $F$ = ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (I}$) ${\displaystyle$ F$=\sigma$($I$$)}$이(가) π-system $I{\displaystyle .}$ ${\displaysty.}$에 의해 생성된다고$$ 가정한다.

1. ${\displaystyle {}_{}\mu }$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( A${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( A${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mu _{1}(A)=\mu$ ${\displaystyle \_}$${2}(A)}$ 모든$$$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ I${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle A\in$ I$,}$ 및
2. ${\displaystyle \mu _{1}(\Oomega )=\mu _{2}(\Oomega )<\inflty ,}$

그 다음 ${\displaystyle {\mu 1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {\mu 2\mathrm{}}_{}}$. ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}}$ 유한한$$ 측정에 대한 카라테오도리 확장 정리의 고유성 명세서다.만약 이 결과가 그다지 주목할 만한 것으로 보이지 않는다면, 일반적으로 𝜎-알지브라에 있는 모든 세트를 완전히 기술하는 것은 매우 어렵거나 심지어 불가능하다는 사실을 고려하라. 그래서 그러한 도구가 없다면, 조치를 동일시하는 문제는 완전히 절망적일 것이다.

증거^[2] 아이디어 세트 모음 정의

By the first assumption, ${\displaystyle \mu _{1}}$ and ${\displaystyle \mu _{2}}$ agree on ${\displaystyle I}$ and thus ${\displaystyle I\subseteq D.}$ By the second assumption, ${\displaystyle \Omega \in D,}$ and it can further be shown that ${\displaystyle D}$ is a 𝜆-system.$\sigma {\displaystyle }$(${\displaystyle I}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle D\subseteq }$ σ ${\displaystyle \sigma }$ σ σ ${\displaystyle \sigma (}$ ( I ) , {\$displaystyle \sigma (I)\subseteq$ D\$subseteq \sigma (I),},$ 그래서$$ $D{\displaystyle }$= ${\displaystyle \sigma }$(${\displaystyle I}$)${\displaystyle }$. ${\displaystystyle$ D$=\sigma$ ($I)$ .$}}$ $즉$, ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle }$I${\displaystyle }$) . ${\displaystyle \sigma (I$)에 대한 측정에 동의한다$.$$}$

π 확률의 시스템

π-systems은 일반적인 측량 이론의 분야보다 확률 이론의 연구에 더 많이 사용된다.이는 주로 독립과 같은 확률론적 관념에 기인하지만, π-𝜆 정리가 확률론자 유진 딘킨에 의해 증명된 결과일 수도 있다.표준 측정 이론 텍스트는 일반적으로 π-systems가 아니라 단조로운 클래스를 통해 동일한 결과를 증명한다.

분포의 평등

π-𝜆 정리는 그 누적분포함수의 관점에서$$ ${\displaystyle 임의변수\mathbb{}}$X${\displaystyle }$: (${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$,${\displaystyle F\mathcal{}}$ ,${\displaystyle \mathrm{P}}$) → R ${\$X\$colon$(\$Oomega ,{\mathcal {F},\operatorname {P} )\rightarrow \mathb {R}}}}$의 확률분포에 대한 공통의 정의에 동기를 부여한다.랜덤 변수의 누적 분포가 다음과 같이 정의되어 있음을 상기하십시오.

반면에 변수의 보다 일반적인 법칙은 확률 측정이다.여기서 $B{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle R\mathbb{}}$) ${\displaystyle {\mathcal {B}(\mathb {R}$)은$$ 보렐 𝜎-algebra이다.We say that the random variables ${\displaystyle X\colon (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} ),}$ and ${\displaystyle Y\colon ({\tilde {\Omega }},{\tilde {\mathcal {F}}},{\tilde {\operatorname {P} }})\rightarrow \mathbb {R} }$ (on two possibly different probability spaces) are equal in distribution (or law), denoted by ${\displaystyle X\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,Y,}$ if they have the same cumulative distribution functions, that is, ${\displaystyle F_{X}=F_{Y}.}$ The motivation for the definition stems from the observation that if ${\displaystyle F_X}$${\displaystyle F_{X}=F_{Y},}$ then that is exactly to say that ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}}$ agree on the π-system ${\displaystyle \left\{(-\infty ,a]\colon a\in \mathbb {R} \right\}}$ which generates ${\displaystyle \mathcal{B}}$${\displaystyle (R\mathbb{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\mathcal {B}(\mathb {R}),}$등$$ 위의 예에 ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$: ${\displaystyle L_{}}$X = ${\displaystyle L_{}}$ Y${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal$ {$L}}}={\mathcal {L}_{Y}.$$}$

유사한 결과가 랜덤 벡터의 공동 분포를 유지한다.For example, suppose ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are two random variables defined on the same probability space ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} ),}$ with respectively generated π-systems ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}}$ and ${\displaystyle {\mathcal{I}}_Y.}$${\displaystyle {\mathcal{I}_{Y}}$의 합동$$ 누적 분포 함수는${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle (X,Y)$이다.

단, ${\displaystyle {}^{}}$= X${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$(${\displaystyle }$( -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$, ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ]}$) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$$\in {\mathcal{I}_{X}$ 및 $B$ = ${\displaystyle {\mathrm{Y}}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle }$-${\displaystyle \mathrm{\infty ,}b])}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle B=Y^{-1}(-\profty,b])$$\in {\mathcal {I}_{Y}}$ 이유$$

is a π-system generated by the random pair ${\displaystyle (X,Y),}$ the π-𝜆 theorem is used to show that the joint cumulative distribution function suffices to determine the joint law of ${\displaystyle (X,Y).}$ In other words, ${\displaystyle (X,Y)}$ and ${\displaystyle (W,Z)}$ ha 동일한 합동 누적 분포 함수를 갖는 경우에만 동일한 분포를 갖는다.

In the theory of stochastic processes, two processes ${\displaystyle (X_{t})_{t\in T},(Y_{t})_{t\in T}}$ are known to be equal in distribution if and only if they agree on all finite-dimensional distributions; that is, for all ${\displaystyle t_{1},\ldot$$s ,t_{n}\in T,\,n\in \mathb {N}.}$

이것의 증거는 π-𝜆 정리의 또 다른 응용이다.^[3]

독립 랜덤 변수

π-system 이론은 독립의 확률론적 개념에 중요한 역할을 한다.If ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are two random variables defined on the same probability space ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$ then the random variables are independent if and only if their π-systems ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X$$}},{\mathcal{I}_{$$Y}$ 만족$$

${\displaystyle {즉}_{}}$, $I{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\$_{\mathcal {I}$_{\$mathcal}}}{{\mathcal {I}_{}}}}$Y}}$은 독립적이다$$.이것은 실제로${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$)${\displaystyle }$. ${\디스플레이$ 스타일 $(X,Y$)의 분포를 결정하기 위해 π-systems를 사용하는 특별한 경우다$.$$}$

예

Let $Z{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( Z ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle Z=\left(Z_{1$}, $Z_{2}\right$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {여기}_{}}$서${\displaystyle {}_{}}$Z 1,${\displaystyle Z\mathcal{}}$ ${\displaystyle 2}$ ~${\displaystyle \mathrm{N}}$( 0$,$ 1 ) {\$displaystyle$Z_{1}, $Z_{2},$심${\mathcal {N},1$}은$$iid 표준 랜덤 변수다$$.반지름 및 인수(Arctan) 변수 정의

그런 $다음{\displaystyle }$ R$${\$displaystyle R}$ $및$ {$${\$displaystyle \Theta$}은(는) 독립 랜덤 변수다$$.

이를 증명하기 위해 π-systems $I{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {\theta }_{\mathrm{}}}$ ${\$I$}$_{\mathcal {I}$_{\$mathcal}}{\\\cHB}}{\mathcal}}}{\\}}}}}}을 보여주면 충분하다.$세타 }}$은 독립적이다: 즉,

이것이 사실이라는 것을 확인하는 것은 변수를 바꾸는 연습이다.$\rho {\displaystyle }$[${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle \rho \in [0,\inflt )}$ $및$ ${\displaystyle [}$ [${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 2}$ ]${\displaystyle ],}${\$displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}$을(를) 수정하면$$ $확률$을${\displaystyle }$Z .$${\$displaystystystystystystysty Z$의 확률 밀도 함수의 적분으로 표현할 수 있다$.$$}$

참고 항목

• Δ-링 – 계산 가능한 교차로에서 링 닫힘
• 세트장 – 측정 이론에서 대수 개념으로, 집합의 대수라고도 한다.
• 이상(세트 이론) – 유한 유니언 및 하위 집합에 따라 닫히는 비어 있지 않은 집합 제품군
• 독립성(확률 이론) – 확률 이론의 기본 개념
• 𝜆-시스템(Dynkin 시스템) – 보완 및 계산 가능한 분리 연합에 의해 폐쇄된 제품군
• 모노톤급 정리
• 확률 분포 – 실험에서 특정 결과가 발생할 확률에 대한 수학적 함수
• 세트 링 – 유니언 및 상대적 보완 하에 패밀리 마감
• σ알게브라 – 집합대수의 알헤브릭 구조
• 𝜎 이상 – 하위 집합 및 카운트 가능한 조합에 의해 폐쇄된 가족
• 𝜎-링 – 계산 가능한 유니언에 따라 링 닫힘

메모들

인용구

참조

• Gut, Allan (2005). Probability: A Graduate Course. Springer Texts in Statistics. New York: Springer. doi:10.1007/b138932. ISBN 0-387-22833-0.
• David Williams (1991). Probability with Martingales. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40605-6.
• Durrett, Richard (2019). Probability: Theory and Examples (PDF). Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Vol. 49 (5th ed.). Cambridge New York, NY: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC 1100115281. Retrieved November 5, 2020.

제품군 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$$mathcal$${F}$$Ω$ 이상 세트
$반드시{\displaystyle \mathcal{}}$F :$${\$displaystyle${\$mathcal {F}\colon}$에 해당됨 $또는{\displaystyle \mathcal{}}$ F ${\$이(가) 다음 조건에 따라 닫힘:	연출된 by ${\displaystyle \,\supseteq }$	$A\cap B}$	$A\컵 B}$	$B\setminus A}$	$\displaystyle \Oomega \setminus A}$	${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots }$	${\displaystyle A_{1}\컵 A_{2}\컵 \cdots }$	${\displaystyle \Oomega \in {\mathcal {F}}$	${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}$	F.I.P.
π-시스템
세미닝										결코 하지 않다
세미날게브라 (세미필드)										결코 하지 않다
모노톤급						${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{i}\searrow }$인 경우에만 해당됨	$A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}${$${\$displaystyle A_{i}\nearrow }$인 경우에만 해당됨
𝜆-시스템 (Dynkin 시스템				할 때만 $A\subseteq B}$			$A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{i}\nearrow }$ 또는$$ 그들은 서로 단절되어 있다.			결코 하지 않다
반지(순서가론)
링(측정 이론)										결코 하지 않다
Δ-링										결코 하지 않다
𝜎-링										결코 하지 않다
대수(필드)										결코 하지 않다
𝜎알게브라 (필드-필드)										결코 하지 않다
이중 이상
필터				결코 하지 않다	결코 하지 않다				${\displaystyle \varnot \in {\mathcal {F}}$
프리필터 (필터 베이스)				결코 하지 않다	결코 하지 않다				${\displaystyle \varnot \in {\mathcal {F}}$
필터 서브베이스				결코 하지 않다	결코 하지 않다				${\displaystyle \varnot \in {\mathcal {F}}$
위상							(임의의 조합도)			결코 하지 않다
$반드시{\displaystyle \mathcal{}}$F :$${\$displaystyle${\$mathcal {F}\colon}$에 해당됨 $또는{\displaystyle \mathcal{}}$ F ${\$이(가) 다음 조건에 따라 닫힘:	연출된 아래쪽으로	유한한 교차점	유한한 조합	상대적 보완물	보완물 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega }$	셀 수 있는 교차점	셀 수 있는 조합	$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$ 포함	포함 ${\displaystyle \varnothing }$	유한한 교차로 속성
또한 의미 부여는 모든 보완 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B\setminus A$}이(가)${\displaystyle }$F .$${\$displaystyle${\$mathcal {F}$에서 집합의 유한 분리 결합과 동일한 π-시스템이다.$}$ 세미메이지브라(semialgebra)는$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ . {\$displaystyle \Oomega .}$을(를) 포함하는 기호다. ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$A ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots }$은(는) $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 임의적인 요소이며$$$$, $≠.{\displaystystyle. {\\f}\neqvarnot.}$라고 가정한다.