세트 링

수학에서, 두 가지 다른 개념의 집합이 있는데, 둘 다 특정한 집합의 가족을 가리킨다.

순서론에서는 집합 $R{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 조합과 교차점 아래에서 닫히면 집합 R {\displaystyle {\mathcal{R}}이(가) 링(세트)이라고 한다$$.^[1]즉, $다음{\displaystyle }$ 두 문장은 A ${\displaystyle A}$ 및 $B$ ${\displaystyle B}$ 모든 세트에 대해 참이다$.$

1. ${\displaystyle A\mathcal{}}$, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ R ${\$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathcal{}}$ ${\$을(를) 의미하며$$
2. ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ R ${\$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {R}$을(를) 의미한다$$.

측정 이론에서, 비빈 $집합{\displaystyle \mathcal{}}$ R ${\$ 집합의 집단은 결합 및 상대적 보완(set-theatistic tifference)에 따라 닫히면 링(세트)이라고$$ 불린다.^[2]즉, $다음{\displaystyle }$ 두 문장은 A ${\displaystyle A}$ 및 $B$ ${\displaystyle B}$ 모든 세트에 대해 참이다$.$

1. ${\displaystyle A\mathcal{}}$, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ R ${\$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathcal{}}$ ${\$을(를) 의미하며$$
2. ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ R ${\$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R}$. ${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}$을(를) 의미한다$$.

이것은 측정-이론적 의미의 링이 항상 빈 세트를 포함한다는 것을 암시한다.게다가, 모든 A와 B 세트에 대해서,

$(A\displaystyle A\cap B=A\setminus(A\setminus B),}$

이것은 상대적 보완 하에서 닫힌 집합의 패밀리가 교차로에서도 닫히므로 측정-수정적 의미에서의 링도 순서-수정적 의미에서의 링이라는 것을 보여준다.

예

만약 X가 어떤 세트라면, X의 전원 세트(X의 모든 서브셋의 패밀리)는 어느 의미에서도 집합의 고리를 형성한다.

(X, ≤)이 부분적으로 주문한 집합인 경우, 그 상위 집합(x가 상위 집합 U에 속하고 x ≤ y에 속하면 y도 U에 속해야 한다는 추가 속성이 있는 X의 하위 집합)은 교차로와 유니언 양쪽에서 닫힌다.그러나 일반적으로 집합의 차이에 따라 닫히지는 않을 것이다.

토폴로지 공간의 오픈 세트와 클로즈드 세트는 조합과 교차점 모두에서 폐쇄된다.^[1]

실제 라인 R에서, 빈 세트와 형태(a, b)의 반쯤 열린 간격의 모든 유한 조합으로 구성된 집합의 계열은 측정-이론적 의미에서의 링이다.

T가 공간에 정의된 변환이라면 T에 의해 매핑된 집합은 유니언과 교차점 양쪽에서 닫힌다.^[1]

만약 두 개의 고리 세트가 모두 동일한 원소에 정의되어 있다면, 두 링에 속하는 세트 자체가 하나의 고리를 형성한다.^[1]

관련 구조물

주문-이론적 의미의 집합 링은 교차점과 조합 운영이 각각 격자의 만남과 결합 운영에 대응하는 분배 격자를 형성한다.반대로, 모든 분배 격자는 집합의 링에 이형성이 있다. 유한 분배 격자의 경우, 이것은 Birkhoff의 표현 정리이며 집합은 부분적으로 순서가 정해진 집합의 하위 집합으로 간주될 수 있다.^[1]

조합 및 상대적 보완 하에서 닫힌 집합의 집합도 대칭적 차이와 교차점에 따라 닫힌다.반대로, 대칭적 차이와 교차점 둘 다에서 닫힌 집합의 모든 집합은 결합 및 상대적 보완 하에서 닫힌다.이것은 정체성 때문이다.

1. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle B}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle A\mathrm{}△}$ ${\displaystyle B}$)${\displaystyle A\cupb B=(A$\,\$triangle$\,B$)\\triangle \,$ ($A\cap B)}$ 및$$
2. $A=A\setminus B=A\,\triangle \, (A\cap B)}$

대칭적 차이와 교차점은 측정-이론적 감각에 부울 링의 구조를 제공한다.

측정이론적 의미에서 Δ-링은 계수 가능한 조합에서 닫힌 고리, Δ-링은 계수 가능한 교차로에서 닫힌 고리다.Explicitly, a σ-ring over ${\displaystyle X}$ is a set ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ such that for any sequence ${\displaystyle \{A_{k}\}_{k=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {F}},}$ we have ${\textstyle \bigcup _{k=1}^{\infty }A_{k}\in {\mathcal$${F}}.}$

Given a set ${\displaystyle X,}$ a field of sets − also called an algebra over ${\displaystyle X}$ − is a ring that contains ${\displaystyle X.}$ This definition entails that an algebra is closed under absolute complement ${\displaystyle A^{c}=X\setminus A.}$ A σ-algebra is an algebra that is also계수 가능한 유니온으로 폐쇄되거나, $동등$하게 X${\displaystyle .}${\$displaystyle$ X$.}$을(를) 포함하는 Δ-링도$$ 사실 데 모건의 법칙에 따르면, $X{\displaystyle }${\$displaystyle$X}을(를) 포함하는 Δ-링도 반드시$$ al-algebra이다.세트장, 특히 especially알게브라는 현대적인 확률 이론과 측정의 정의의 중심이다.

세밀링(세트)은 속성이 $있는$ S$${\$displaystyle${\$mathcal{S}$ 집합 집합의 집합이다.

1. ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S},}$
   • (3)이 유지되는 경우$,{\displaystyle }$ ${\displaystyle \{}$S {\$displaystyle \varnothing$ \$varnothing$${\displaystyle \backslash }$in {\$mathcal{S}}$인 경우 및 $S$가 유지되는 경우에만 해당${\displaystyle .}$ ${\displaystyle {\mathcal$ {S$}\neq \varnothing.}$
2. ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S\mathcal{}}$ ${\$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A\cap B\in {\$mathcal {$S},}을($를) 의미하며,
3. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {S}}}$ implies ${\displaystyle A\setminus B=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}}$ for some disjoint ${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{n}\in {\mathcal {S}}.$$}$

(측량 이론의 의미에서는) 모든 고리는 반고리다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 부분 집합의 세미 지브라 또는 세미필드는 $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$.}$을(를) 포함하는 세미 링이다$$.

참고 항목

• 집합 대수 - 집합과 관련된 ID 및 관계
• Δ-링 – 계산 가능한 교차로에서 링 닫힘
• 세트장 – 측정 이론에서 대수 개념으로, 집합의 대수라고도 한다.
• 𝜆-시스템(Dynkin 시스템) – 보완 및 계산 가능한 분리 연합에 의해 폐쇄된 제품군
• 모노톤급
• π-시스템 – 교차점에서 닫힌 세트 패밀리
• σ알게브라 – 집합대수의 알헤브릭 구조
• 𝜎 이상 – 하위 집합 및 카운트 가능한 조합에 의해 폐쇄된 가족
• 𝜎-링 – 계산 가능한 유니언에 따라 링 닫힘

참조

외부 링크

• 수학 백과사전 세트 링

제품군 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$$mathcal$${F}$$Ω$ 이상 세트
$반드시{\displaystyle \mathcal{}}$F :$${\$displaystyle${\$mathcal {F}\colon}$에 해당됨 $또는{\displaystyle \mathcal{}}$ F ${\$이(가) 다음 조건에 따라 닫힘:	연출된 by ${\displaystyle \,\supseteq }$	$A\cap B}$	$A\컵 B}$	$B\setminus A}$	$\displaystyle \Oomega \setminus A}$	${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots }$	${\displaystyle A_{1}\컵 A_{2}\컵 \cdots }$	${\displaystyle \Oomega \in {\mathcal {F}}$	${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}$	F.I.P.
π-시스템
세미닝										결코 하지 않다
세미날게브라 (세미필드)										결코 하지 않다
모노톤급						${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{i}\searrow }$인 경우에만 해당됨	$A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}${$${\$displaystyle A_{i}\nearrow }$인 경우에만 해당됨
𝜆-시스템 (Dynkin 시스템				할 때만 $A\subseteq B}$			$A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{i}\nearrow }$ 또는$$ 그들은 서로 단절되어 있다.			결코 하지 않다
반지(순서가론)
링(측정 이론)										결코 하지 않다
Δ-링										결코 하지 않다
𝜎-링										결코 하지 않다
대수(필드)										결코 하지 않다
𝜎알게브라 (필드-필드)										결코 하지 않다
이중 이상
필터				결코 하지 않다	결코 하지 않다				${\displaystyle \varnot \in {\mathcal {F}}$
프리필터 (필터 베이스)				결코 하지 않다	결코 하지 않다				${\displaystyle \varnot \in {\mathcal {F}}$
필터 서브베이스				결코 하지 않다	결코 하지 않다				${\displaystyle \varnot \in {\mathcal {F}}$
위상							(임의의 조합도)			결코 하지 않다
$반드시{\displaystyle \mathcal{}}$F :$${\$displaystyle${\$mathcal {F}\colon}$에 해당됨 $또는{\displaystyle \mathcal{}}$ F ${\$이(가) 다음 조건에 따라 닫힘:	연출된 아래쪽으로	유한한 교차점	유한한 조합	상대적 보완물	보완물 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega }$	셀 수 있는 교차점	셀 수 있는 조합	$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$ 포함	포함 ${\displaystyle \varnothing }$	유한한 교차로 속성
또한 의미 부여는 모든 보완 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B\setminus A$}이(가)${\displaystyle }$F .$${\$displaystyle${\$mathcal {F}$에서 집합의 유한 분리 결합과 동일한 π-시스템이다.$}$ 세미메이지브라(semialgebra)는$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ . {\$displaystyle \Oomega .}$을(를) 포함하는 기호다. ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$A ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots }$은(는) $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 임의적인 요소이며$$$$, $≠.{\displaystystyle. {\\f}\neqvarnot.}$라고 가정한다.