멀티캐논 앙상블

통계와 물리학에서 다원적 앙상블(다원적 샘플링 또는 평면 히스토그램이라고도 함)은 마코프 체인 몬테카를로 샘플링 기법으로, 멀티 로컬 미니마(Multiple local minima)와 함께 거친 지형을 갖는 통합체를 계산하기 위해 메트로폴리스-헤이스팅스팅스 알고리즘은 마르코프 체인 몬테카를로 샘플링 기법이다.그것은 상태 밀도의 역순에 따라 상태를 표본을 추출하는데,^[1] 이는 선험적으로 알려져 있거나 왕과 란다우 알고리즘과 같은 다른 기법을 사용하여 계산되어야 한다.^[2]멀티캐논 샘플링은 Ising 모델이나 스핀글라스 같은 스핀 시스템에 중요한 기법이다.^[1]^[3]^[4]

동기

스핀 시스템과 같이 자유도가 많은 시스템에서는 몬테카를로 통합이 필요하다.이러한 통합에서 중요도 샘플링, 특히 메트로폴리스 알고리즘은 매우 중요한 기법이다.^[3]그러나 메트로폴리스 알고리즘은 $\exp(-\beta E)$ exp ( - $\exp(-\beta E)$ E $\exp(-\beta E)$ ) $\exp(-\beta E)$ 에 따른 상태를 샘플링하며, 여기서 $\exp(-\beta E)$ 베타 값은 온도의 역이다.이는 에너지 스펙트럼에 대한 $\Delta E$ $\Delta E$ E $\Delta E$ 의 에너지 장벽은 기하급수적으로 극복하기 어렵다는 것을 의미한다.^[1]Potts 모델과 같이 다중 로컬 에너지 Minima를 가진 시스템은 알고리즘이 시스템의 로컬 Minima에 고착됨에 따라 샘플링하기가 어려워진다.^[3]이것은 다른 접근법, 즉 다른 표본 추출 분포에 동기를 부여한다.

개요

멀티캐논 앙상블은 메트로폴리스-해스팅 알고리즘의 샘플링 $\exp(-\beta E)$ 분포 $\exp(-\beta E)$ $\exp(-\beta E)$ - $\exp(-\beta E)$ $\exp(-\beta E)$ $){\displaystyle \exp(-\beta E)}$ 와는 반대로 시스템 상태의 밀도의 역순으로 주어진 샘플링 분포가 있는 메트로폴리스-해스팅 알고리즘을 사용한다.^[1]이 선택으로 평균적으로 각 에너지에서 샘플링된 상태 수는 일정하다. 즉, 에너지에 대한 "평평한 히스토그램"을 사용한 시뮬레이션이다.이는 에너지 장벽이 더 이상 극복하기 어렵지 않은 알고리즘으로 이어진다.메트로폴리스 알고리즘에 대한 또 다른 장점은 샘플링이 시스템 온도와 무관하다는 것인데, 이는 한 시뮬레이션이 모든 온도("다중역학"이라는 이름: 여러 온도)에 대한 열역학 변수의 추정을 허용한다는 것을 의미한다.이것은 1차 단계 전환 연구의 큰 개선이다.^[1]

다원적 앙상블 수행의 가장 큰 문제는 국가의 밀도를 선험적으로 알려야 한다는 점이다.^[2]^[3]다원적 표본 추출에 대한 한 가지 중요한 공헌은 왕과 란다우 알고리즘이었는데, 이 알고리즘은 수렴 중에 상태 밀도를 계산하면서 다원적 합주체로 점증적으로 수렴한다.^[2]

다원적 앙상블은 물리적 시스템에 국한되지 않는다.비용함수 F를 가진 추상적인 시스템에 채용될 수 있다.F에 대한 상태 밀도를 사용함으로써, 이 방법은 고차원 적분 계산이나 국소 미니마 찾기에 일반적이 된다.^[5]

동기

Consider a system and its phase-space $\Omega$ characterized by a configuration ${\boldsymbol {r}}$ in $\Omega$ and a "cost" function F from the system's phase-space to a one-dimensional space $\Gamma$ : $F(\Omega )=\Gamma =[\Gamma _{\min },\Gamma _{\max }]$ ${\displaystyle F(\Oomega )=\Gamma =[\Gamma _{\min }},\Gamma _{\max$ }}}, F의 스펙트럼이다 $F(\Omega )=\Gamma =[\Gamma _{\min },\Gamma _{\max }]$

예:

The Ising model with N sites is an example of such a system; the phase-space is a discrete phase-space defined by all possible configurations of N spins ${\boldsymbol {r}}=(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{i},\ldots ,\sigma _{N})$ where ${\displaystyle \sigma$ $_{i}\in \{1,1\}$ .비용 함수는 시스템의 해밀턴식이다.

H({\boldsymbol{r})=-\sum _{\langle i~j\angle }J_{ij}(1-\sigma _{i}\sigma _{j}),

여기서 $<i,j>$ < $<i,j>$ , $<i,j>$ > ${\displaystyle <i,j>$ 는 $<i,j>$ 이웃에 대한 합이고 $J_{ij}$ j ${\$ 은 상호작용 $J_{ij}$ 행렬이다.

에너지 스펙트럼은 $\Gamma =[E_{\min },E_{\max }]$ = $\Gamma =[E_{\min },E_{\max }]$ [ $\Gamma =[E_{\min },E_{\max }]$ , $\Gamma =[E_{\min },E_{\max }]$ $\Gamma =[E_{\min },E_{\max }]$ $\Gamma =[E_{\min },E_{\max }]$ $\Gamma =[E_{\min },E_{\max }}}$ 이며, 이 $\Gamma =[E_{\min },E_{\max }]$ 경우 사용된 특정 $J_{ij}$ $J_{ij}$ $J_{ij}$ ${\$ 에 따라 달라진다.If all $J_{ij}$ are 1 (the ferromagnetic Ising model), $E_{\min }=0$ (e.g. all spins are 1.) and $E_{\max }=2DN$ (half spins are up, half spins are down).또한 이 시스템에서 $\Gamma \in \mathbb {Z}$ ∈ $\Gamma \in \mathbb {Z}$ ${\$ {Z $} }$

위상 공간을 통해 $\langle Q\rangle$ 평균 $\langle Q\rangle$ $\langle Q\rangle$ Q $\langle Q\rangle$ $\langle Q\angle$ 을(를) 계산하려면 다음 적분을 평가해야 한다.

\langle Q\angle =\int_{\Oomega}Q({\boldsymbol{r})P_{r}({\boldsymbol{r}})\,d{\boldsymbol{r}

$P_{r}({\boldsymbol {r}})$ 서 $P_{r}({\boldsymbol {r}})$ $P_{r}({\boldsymbol {r}})$ ( r $){\displaystyle P_{r}({\boldsymbol{r}})$ 은 각 상태의 중량이다 $P_{r}({\boldsymbol {r}})$ (예: P $P_{r}({\boldsymbol {r}})=1/V$ ( $P_{r}({\boldsymbol {r}})=1/V$ ) $P_{r}({\boldsymbol {r}})=1/V$ = $P_{r}({\boldsymbol {r}})=1/V$ / $P_{r}({\boldsymbol {r}})=1/V$ ${\displaystyle P_{r}({\boldsymbol{r}})=1/$ V $}).$

Q가 특정 상태에 의존하지 않고 특정 F의 상태 $F({\boldsymbol {r}})=F_{\boldsymbol {r}}$ $F({\boldsymbol {r}})=F_{\boldsymbol {r}}$ ) $F({\boldsymbol {r}})=F_{\boldsymbol {r}}$ 에만 $F({\boldsymbol {r}})=F_{\boldsymbol {r}}$ 하는 $F({\boldsymbol {r}})=F_{\boldsymbol {r}}$ 경우 = F r {\ $displaystyle$ F({\ $boldsymbol{r}})=$ $F_{\boldsymbol{r}},$ $\langle Q\rangle$ Q $\langle Q\rangle$ {\ $displaystyle \langle$ Q $\angle }$ 의 공식은 dirac 델타 함수를 추가하여 f를 통해 통합할 수 있으며 $\langle Q\rangle$ 다음과 같이 기록될 수 있다.

{\begin}\langle Q\rangle &=\int_{\\Damma_{\min }^{\max }\int_{\Oomega}Q(F_{\boldsymbol}{r})P_{r}(F_{\boldsymbol {r}})\delta (f-F_{\boldsymbol {r}})\,d{\boldsymbol {r}}\,df\\&=\int _{\Gamma _{\min }}^{\Gamma _{\max }}Q(f)\int _{\Omega }\delta (f-F_{\boldsymbol {r}})P_{r}(F_{\boldsymbol{r}}})\,d{\boldsymbol{r}\,df\&=\int_{\Gamma_{\\\max }{\max }Q(f)P(f)\,df\\\end{f}}}}}}}}}}}}}정렬

어디에

P(f)=\int _{\Oomega }P_{r}(r)\delta(f-F({\boldsymbol{r})\,d{\boldsymbol{r}}}}

F의 한계 분포다.

예:

역온도 $\beta$ $\beta$ 에서 열탕과 접촉하는 시스템이 이러한 종류의 적분 계산의 예다 $\beta$ .예를 들어 시스템의 평균 에너지는 볼츠만 인자에 의해 가중된다.

\langle E\rangle ={\frac {1}{V}\int _{\Oomega }H_{\boldsymbol{r}}{\frac {e^{-\boldsymbol}}{Z}d{\boldsymbol}}}}}}}}}

어디에

Z={\frac {1}{V}\int _{\Oomega }e^{-\\boldsymbol{r}d{\boldsymbol {r}.

한계 분포 $P(E)$ ) $P(E)$ 은(는)에 의해 제공된다 $P(E)$ .

P(E)={\frac {1}{V}}\int _{\Omega }e^{-\beta H_{\boldsymbol {r}}}\delta (E-H_{\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}=e^{-\beta E}{\frac {1}{V}}\int _{\Omega }\delta (E-H_{\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}=e^{-\beta E}\rho (E)

여기서 $\rho (E)$ ( $\rho (E)$ ) $\rho (E)$ 은(는) 상태 밀도 입니다 $\rho (E)$ .

평균 에너지 $\langle E\rangle$ E $\langle E\rangle$ $\langle E\rangle$ 은(는) 다음에 주어진다 $\langle E\rangle$ .

\langle E\rangle =\int _{E_{\min }^{E_{\max }}EP(E)\,dE

시스템에 자유도가 많은 $\langle Q\rangle$ ⟨ Q $\langle Q\rangle$ ${\displaystyle \langle$ Q $\angle }$ 에 대한 분석 표현은 구하기 어려운 경우가 $\langle Q\rangle$ 많으며, 몬테카를로 통합은 일반적으로 $\langle Q\rangle$ $\langle Q\rangle$ $\langle Q\rangle$ ${\displaystyle \langle$ Q $\angle }$ 의 계산에 사용된다 $\langle Q\rangle$ 가장 간단한 공식에서 방법은 N 균일하게 분배하는 방법을 선택한다.\ $Oomega }$ 에서 ${\boldsymbol {r}}_{i}\in \Omega$ ${\boldsymbol {r}}_{i}\in \Omega$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}_{i}\\in$ \Omga ${\boldsymbol {r}}_{i}\in \Omega$ 상태 및 추정기 사용

{\displaystyle {\overline{Q}_{N}=\sum _{i=1}^{{N}Q({\boldsymbol{r}_{i})VP_{r}({\boldsymbol {r}_{i}})

$\langle Q\rangle$ ${\overline {Q}}_{N}$ $⟩{\$ $displaystyle {\displaystyle{Q}_{N}}}$ 이(가) 대수의 강력한 $\langle Q\rangle$ 법칙에 의해 $\langle Q\rangle$ Q ${\overline {Q}}_{N}$ $\langle Q\rangle$ ${\displaystyle \langle$ Q $\rangele}$ 에 거의 확실하게 ${\overline {Q}}_{N}$ 수렴되기 때문에 $\langle Q\rangle$ ⟨ $q$ $\displaystyle$ {\ $langle$ }.

\lim _{N\오른쪽 화살표 \infit }{\overline{Q}_{N}=\langle Q\angle .

이러한 수렴의 대표적인 문제 중 하나는 Q의 분산이 매우 높을 수 있으며, 이는 합리적인 결과를 얻기 위한 높은 계산적 노력으로 이어질 수 있다는 것이다.

예시

앞의 예에서, 통합에 주로 기여하는 주들은 에너지가 낮은 주들이다.상태를 평균적으로 균일하게 표본 추출하는 경우 에너지 E로 표본 추출되는 상태 수는 상태 밀도에 의해 주어진다.이러한 상태의 밀도는 에너지의 미니마로부터 멀리 중앙에 위치할 수 있으므로 평균을 구하기가 어려울 수 있다.

이러한 융합을 개선하기 위해 메트로폴리스-해스팅 알고리즘이 제안되었다.일반적으로 몬테카를로 방법의 아이디어는 중요도 샘플링을 사용하여 임의 분포 $\pi ({\boldsymbol {r}})$ ( $){\displaystyle \pi{\boldsymbol{r$ 에 따른 샘플링 상태로 ${\overline {Q}}_{N}$ 추정기 ${\$ 의 수렴을 개선하고 적절한 추정기를 사용하는 것이다.

{\displaystyle {\overline {Q}}_{N}=\sum _{i=1}^{N}Q({\boldsymbol {r}}_{i})\pi ^{-1}({\boldsymbol {r}}_{i})

P_{r}({\boldsymbol {r}_{i

이 추정기는 임의 분포에서 추출한 표본에 대한 평균 추정기를 일반화한다.따라서 $\pi ({\boldsymbol {r}})$ ( $\pi ({\boldsymbol {r}})$ ) ${\displaystyle \pi({\boldsymbol{r}}})$ 가 $\pi ({\boldsymbol {r}})$ 균일한 분포일 경우 위의 균일한 표본 추출에 사용된 분포에 해당한다.

When the system is a physical system in contact with a heat bath, each state ${\boldsymbol {r}}$ is weighted according to the Boltzmann factor, $P_{r}({\boldsymbol {r}}_{i})\propto \exp(-\beta F_{\boldsymbol {r}})$ . In Monte Carlo, the canonical ensemble is $\pi ({\boldsymbol {r}})$ $P_{r}({\boldsymbol {r}}_{i})$ ( $\pi ({\boldsymbol {r}})$ ) ${\displaystyle \pi({\boldsymbol{r}})$ 가 P r $P_{r}({\boldsymbol {r}}_{i})$ ( r $P_{r}({\boldsymbol {r}}_{i})$ ) ${\displaystyle P_{r}({\boldsymbol {r}_{i}})$ 에 비례하도록 $\pi ({\boldsymbol {r}})$ 정의. 이 경우 추정기는 단순한 산술 평균에 해당한다 $P_{r}({\boldsymbol {r}}_{i})$

{\displaystyle {\overline{Q}_{N}={\frac {1}{{N}\sum _{i=1}^{N}Q({\boldsymbol{r}_{i}}}}})

Historically, this occurred because the original idea^[6] was to use Metropolis–Hastings algorithm to compute averages on a system in contact with a heat bath where the weight is given by the Boltzmann factor, $P({\boldsymbol {x}})\propto \exp(-\beta E({\boldsymbol {r}}))$ .^[3]

표본 분포 ${\displaystyle \pi$ }을 $\pi$ (를) 중량 분포 $P_{r}$ r ${\$ 로 선택하는 경우가 많지만 $P_{r}$ 그럴 필요는 없다.규범적 앙상블이 효율적인 선택이 아닌 한 가지 상황은 임의로 오랜 시간이 걸려 수렴하는 것이다.^[1]이렇게 되는 한 가지 상황은 F함수에 여러 개의 국소 미니마가 있는 경우다.특정 지역을 국소 최소로 남기기 위한 알고리즘의 계산 비용은 최소의 비용 함수의 값에 따라 기하급수적으로 증가한다.즉, 최소한의 깊이가 깊을수록 알고리즘이 그 곳에서 보내는 시간이 많아지고, 떠나는 것이 더 어려워진다는 것이다(특히 국소 최소의 깊이에 따라 더욱 커진다).

비용함수의 국부적 미니마에 고착되는 것을 피하는 한 가지 방법은 샘플링 기법을 국부적 미니마에 "보이지 않는" 상태로 만드는 것이다.이것이 다원적 앙상블의 기본이다.

멀티캐논 앙상블

다원적 앙상블은 샘플링 분포를 선택함으로써 정의된다.

\pi({\boldsymbol{r}})\propto {\frac {1}{P(F_{\boldsymbol{r}}}}}}

여기서 $P(f)$ ( $P(f)$ ) $P(f)$ 은 $P(f)$ 위에서 정의한 F의 한계 분포다.이 선택의 결과는 주어진 값의 f, m(f)을 가진 표본의 평균 개수는 다음과 같다.

m(f)=\int _{\Oomega}\delta(f-F_{\boldsymbol{r}})\pi({\boldsymbol{r}}})P_{r}({\boldsymbol{r}})\,d{\boldsymbol{r}\propto \int _\Oomega }\delta (f-F_{\boldsymbol{r}})P_{r}({\boldsymbol {r}){\frac {1}{P(F_{\boldsymbol{r}}}}}d{\boldsymbol{r}}}}d{\boldsymbol{r}}}}}}d{\frac {1}{p({p)}}})P_{r}({\boldsymbol{r}})d{\boldsymbol{r}=1

즉, 표본의 평균 개수는 f에 의존하지 않는다. 즉, 모든 비용 f는 개연성 여부에 관계없이 균등하게 표본 추출된다.이것은 "평평한 역사학"이라는 이름에 동기를 부여한다.열탕과 접촉하는 시스템의 경우 샘플링은 온도와 무관하며 한 번의 시뮬레이션으로 모든 온도를 연구할 수 있다.

예:

N개 부위가 있는 강자성 Ising 모델(이전 섹션에 설명됨)에서는 상태 밀도를 분석적으로 계산할 수 있다.이 경우 다원적 앙상블을 사용하여 $P({\boldsymbol {r}})$ $){\displaystyle P({\boldsymbol{r}})$ 에 따라 시스템을 샘플링하고 $P({\boldsymbol {r}})$ 이전 섹션에서 정의한 ${\overline {Q}}$ 적절한 추정기 ${\$ 를 사용하여 다른 수량 Q를 계산할 수 있다.

터널링 시간 및 중요 성능 저하

다른 몬테카를로 방법에서와 마찬가지로 $P({\boldsymbol {r}})$ ( $){\displaystyle$ P $({\boldsymbol{r}}}}$ 에서 추출되는 샘플의 상관관계가 있다 $P({\boldsymbol {r}})$ 상관관계의 대표적인 측정은 터널링 시간이다.터널링 시간은 (마코프 체인의) 마르코프 스텝 수로 정의되며, 시뮬레이션은 F 스펙트럼의 최소값과 최대값 사이의 왕복 이동을 수행해야 한다.터널링 시간을 사용하는 한 가지 동기는 스펙트럼을 교차할 때 상태 밀도의 최대 영역을 통과하여 공정을 상쇄시키는 것이다.반면에 라운드 트립을 사용하면 시스템이 모든 스펙트럼을 방문하도록 보장한다.

히스토그램이 변수 F에 평탄하기 때문에 다원적 앙상블은 F 값의 1차원 선에서 확산 과정(즉, 무작위 보행)으로 볼 수 있다.공정의 세부적인 균형은 공정의 표류가 없음을 나타낸다.^[7]이는 지역 역학에서 터널링 시간은 확산 과정으로 확장되어야 하며 따라서 터널링 시간은 스펙트럼의 크기에 따라 2차적으로 확장되어야 함을 의미한다. N:

\tau_{tt}\propto N^{2}

그러나 일부 시스템(Ising model이 가장 패러다임인 경우)에서는 스케일링이 매우 느려지는데, 여기에는 $z>0$ > $z>0$ ${\$ $N$ $^{2+z}$ 이(가)^[4] 특정 시스템에 의존하는 $z>0$ N $N^{2+z}$ + z > 0 ${\displaystyle$ z $>0}$ 이(가)

비 국부적 역학은 임계 감속을 제치고 2차 스케일링^[8](Wolff 알고리즘 참조)으로 스케일링을 개선하기 위해 개발되었다.그러나, 이싱 모델과 같은 스핀 시스템에서 결정적인 감속 때문에 고통받지 않는 국지적 역학이 존재하는지는 여전히 의문이다.

참조

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Berg, B.; Neuhaus, T. (1992). "Multicanonical ensemble: A new approach to simulate first-order phase transitions". Physical Review Letters. 68 (1): 9–12. arXiv:hep-lat/9202004. Bibcode:1992PhRvL..68....9B. doi:10.1103/PhysRevLett.68.9. PMID 10045099.
^ ^a ^b ^c Wang, F.; Landau, D. (2001). "Efficient, Multiple-Range Random Walk Algorithm to Calculate the Density of States". Physical Review Letters. 86 (10): 2050–2053. arXiv:cond-mat/0011174. Bibcode:2001PhRvL..86.2050W. doi:10.1103/PhysRevLett.86.2050. PMID 11289852.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Newmann, M E J; Barkema, G T (2002). Monte Carlo Methods in Statistical Physics. USA: Oxford University Press. ISBN 0198517971.
^ ^a ^b Dayal, P.; Trebst, S.; Wessel, S.; Würtz, D.; Troyer, M.; Sabhapandit, S.; Coppersmith, S. (2004). "Performance Limitations of Flat-Histogram Methods". Physical Review Letters. 92 (9): 097201. arXiv:cond-mat/0306108. Bibcode:2004PhRvL..92i7201D. doi:10.1103/PhysRevLett.92.097201. PMID 15089505.
^ Lee, J.; Choi, M. (1994). "Optimization by multicanonical annealing and the traveling salesman problem". Physical Review E. 50 (2): R651–R654. Bibcode:1994PhRvE..50..651L. doi:10.1103/PhysRevE.50.R651. PMID 9962167.
^ Metropolis, N.; Rosenbluth, A. W.; Rosenbluth, M. N.; Teller, A. H.; Teller, E. (1953). "Equation of State Calculations by Fast Computing Machines". The Journal of Chemical Physics. 21 (6): 1087. Bibcode:1953JChPh..21.1087M. doi:10.1063/1.1699114.
^ Robert, Christian; Casella, George (2004). Monte Carlo statistical methods. Springer. ISBN 978-0-387-21239-5.
^ Wolff, U. (1989). "Collective Monte Carlo Updating for Spin Systems". Physical Review Letters. 62 (4): 361–364. Bibcode:1989PhRvL..62..361W. doi:10.1103/PhysRevLett.62.361. PMID 10040213.

[Berg-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Berg, B.; Neuhaus, T. (1992). "Multicanonical ensemble: A new approach to simulate first-order phase transitions". Physical Review Letters. 68 (1): 9–12. arXiv:hep-lat/9202004. Bibcode:1992PhRvL..68....9B. doi:10.1103/PhysRevLett.68.9. PMID 10045099.

[Landau-2] Wang, F.; Landau, D. (2001). "Efficient, Multiple-Range Random Walk Algorithm to Calculate the Density of States". Physical Review Letters. 86 (10): 2050–2053. arXiv:cond-mat/0011174. Bibcode:2001PhRvL..86.2050W. doi:10.1103/PhysRevLett.86.2050. PMID 11289852.

[Newmann-3] Newmann, M E J; Barkema, G T (2002). Monte Carlo Methods in Statistical Physics. USA: Oxford University Press. ISBN 0198517971.

[Dayal-4] Dayal, P.; Trebst, S.; Wessel, S.; Würtz, D.; Troyer, M.; Sabhapandit, S.; Coppersmith, S. (2004). "Performance Limitations of Flat-Histogram Methods". Physical Review Letters. 92 (9): 097201. arXiv:cond-mat/0306108. Bibcode:2004PhRvL..92i7201D. doi:10.1103/PhysRevLett.92.097201. PMID 15089505.

[Lee-5] Lee, J.; Choi, M. (1994). "Optimization by multicanonical annealing and the traveling salesman problem". Physical Review E. 50 (2): R651–R654. Bibcode:1994PhRvE..50..651L. doi:10.1103/PhysRevE.50.R651. PMID 9962167.

[Metropolis-6] Metropolis, N.; Rosenbluth, A. W.; Rosenbluth, M. N.; Teller, A. H.; Teller, E. (1953). "Equation of State Calculations by Fast Computing Machines". The Journal of Chemical Physics. 21 (6): 1087. Bibcode:1953JChPh..21.1087M. doi:10.1063/1.1699114.

[Robert-7] Robert, Christian; Casella, George (2004). Monte Carlo statistical methods. Springer. ISBN 978-0-387-21239-5.

[Wolff-8] Wolff, U. (1989). "Collective Monte Carlo Updating for Spin Systems". Physical Review Letters. 62 (4): 361–364. Bibcode:1989PhRvL..62..361W. doi:10.1103/PhysRevLett.62.361. PMID 10040213.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Search

멀티캐논 앙상블

네임스페이스

더

목차

동기

개요

동기

멀티캐논 앙상블

터널링 시간 및 중요 성능 저하

참조