포츠 모형

통계역학에서, Ising 모델의 일반화인 Potts 모델은 결정 격자 위에서 스핀들을 상호작용하는 모델이다. 포츠 모델을 연구함으로써, 사람들은 페로마네트의 행동과 고체 상태의 물리학의 특정한 다른 현상에 대한 통찰력을 얻을 수 있을 것이다. Potts 모델의 강도는 이러한 물리적 시스템을 잘 모델링하는 것이 아니라, 오히려 1차원 사례가 정확히 해결될 수 있고, 광범위하게 연구되어 온 풍부한 수학 식을 가지고 있다는 것이다.

이 모델은 1951년 박사 논문 말미에 이 모델을 설명한 렌프리 포츠의 이름을 따서 명명되었다. 이 모델은 그의 조언자인 시릴 돔브에 의해 그에게 제안된 "평면 포츠" 또는 "클록 모델"과 관련이 있었다. 4개 주 평면형 포츠 모델은 1943년 등가 모델을 고려했던 율리우스 애슈킨과 에드워드 텔러에 이어 애슈킨-텔러 모델로도 알려져 있다.

포츠 모델은 XY 모델, 하이젠베르크 모델, N-벡터 모델을 포함한 여러 다른 모델과 연관되고 일반화된다. 무한대의 포츠 모델은 Kac 모델로 알려져 있다. 스핀들이 비-아벨라 방식으로 상호작용할 때, 모델은 플럭스 튜브 모델과 관련이 있는데, 이 모델은 양자 색역학에서 구속을 논하는 데 사용된다. 팟츠 모델의 일반화는 또한 금속의 곡물 성장과 거품에서의 응고를 모형화하는 데 사용되었다. 셀룰러 포츠 모델로 알려진 제임스 글래지어와 프랑수아 그란이어에 의한 이러한 방법의 추가 일반화는 폼과 생물학적 형태생성에서의 정적 및 운동적 현상을 시뮬레이션하는 데 사용되었다.

물리적 설명

포츠 모델은 격자 위에 놓인 스핀들로 구성된다. 격자는 보통 2차원 직사각형 유클리드 격자로 간주되지만 다른 치수나 다른 격자로 일반화되는 경우가 많다. Domb는 원래 스핀이 원 주위에 균일하게 분포하고 각도에서 q의 가능한 값 중 하나를 취할 것을 제안했다.

${\displaystyle \theta _{n}={\frac {2\pi n}{q}},}$

여기서 n = 0, 1, ..., q-1 및 Hamiltonian 교호작용에 의해 주어지는 것

${\displaystyle H_{c}=J_{c}\sum _{(i,j)}\cos \left(\theta _{s_{i}-\theta _{s_{j}\오른쪽)}$

모든 격자 사이트에서 가장 가까운 이웃 쌍(i, j)에 대한 총계 사이트_i 색상은 {1, ..., q. 여기서 J는_c 상호 작용 강도를 결정하는 연결 상수다. 이 모델은 현재 벡터 포츠 모델 또는 시계 모델로 알려져 있다. 팟은 q = 3과 4에 대해 위상 전환의 2차원으로 위치를 제공했다. q → ∞의 한계에서 이것은 XY 모델이 된다.

현재 표준 포츠 모델로 알려진 것은 포츠가 위의 연구 과정에서 제안했으며, 다음과 같이 주어지는 간단한 해밀턴식 모델을 사용한다.

${\displaystyle H_{p}=-J_{p}\sum _{(i,j)}\delta(s_{i}s_{j}\,},}$

여기서 Δ(s_i, s_j)는 크론커 델타인데, s_i = s, 0일_j 때마다 1과 같다.

q=2 표준 포츠 모델은 Ising 모델과 2-state 벡터 포츠 모델과 동일하며, J_p = -2J이다_c. q = 3 표준 포츠 모델은 3-상태 벡터 포츠 모델과 동일하며, J_p = -(3/2)J이다_c.

일반적인 일반화는 외부 "자기장" 용어 h를 도입하고, 합계 내에서 매개변수를 이동시켜 모델에 따라 달라지게 하는 것이다.

${\displaystyle \beta H_{g}=-\beta \left(\sum _{(i,j)}J_{ij}\delta (s_{i}s_{j}+\sum _{i}h_{i}s_{i}s_{i}\right)\,}$

여기서 β = 1/kT 역온도, k 볼츠만 상수 및 T 온도. 이 합계는 격자 위의 더 먼 이웃들을 덮을 수도 있고, 사실 무한한 힘이 될 수도 있다.

서로 다른 논문은 약간 다른 규약을 채택할 수 있으며, 이는 H와 관련 파티션 함수를 첨가 상수 또는 승수 상수로 변경할 수 있다.

토론

물리적 시스템의 모델로서 단순함에도 불구하고 Potts 모델은 위상 전환 연구를 위한 모델 시스템으로 유용하다. 예를 들어, J > 0이 있는 2차원 격자는 q > 4일 경우 첫 번째 순서 전환을 나타낸다.(참고, 최근의 연구는 위상 전환이 실제로 q≥ 5의 경우 무한 순서라는 증거를 제공한다(예: [Phys] 참조). 개정 E 101, 060105(R)]). q = 2인 Ising 모델에서와 같이 q ≤ 4에서는 연속적인 전환이 관찰된다. 추가 용도는 모델의 과대포장 문제 및 결합체에서 발견된 투테와 색소 다항식과의 관계를 통해 발견된다.

이 모델은 통계 역학의 또 다른 모델인 Fortuin-Kastleyn 랜덤 클러스터 모델과 밀접한 관계가 있다. 이 관계를 이해하는 것은 작은 q에서 모델의 수치 탐사를 위한 효율적인 마르코프 체인 몬테 카를로 방법을 개발하는 데 도움이 되었다.

q, q ≥ 3의 정수 값의 경우, 모델은 서로 다른 두 상태에서 반대 경계를 고정할 때 호기심을 자극하는 임계 습윤 특성을 갖는 '간인 흡착' 현상을 표시한다.

Ferromagnetic Potts model on a square lattice has a phase transition at ${\displaystyle \beta J=\ln(1+{\sqrt {q}})}$, for ${\displaystyle q\geq 4}$ or ${\displaystyle q=2}$. It is expected that the formula is also correct for ${\displaystyle q=3}$, although a rigorous proof of this 추정이 ^[1]아직 부족하다

측정 이론적 설명

1차원 포츠 모델은 유한 유형의 하위 변화로 표현될 수 있으며, 따라서 이 형식주의와 관련된 모든 수학 기법에 접근할 수 있다. 특히 전송사업자의 기법을 이용해 정확하게 해결할 수 있다. (그러나 에른스트 이싱은 1924년 박사학위 논문에서 포츠 모델의 '앵커'인 이싱 모델을 풀기 위해 결합기법을 사용했다. 이 절은 이 해법 뒤에 있는 측정 이론에 기초하여 수학적인 형식주의를 전개한다.

아래 예제는 1차원 사례에 대해 개발된 반면, 많은 주장과 거의 모든 표기법은 어느 정도 차원으로도 쉽게 일반화된다. 형식주의 중 일부는 XY 모델, 하이젠베르크 모델, N-벡터 모델 등 관련 모델을 다룰 수 있을 정도로 광범위하기도 하다.

상태 공간의 토폴로지

Q = {1, ..., q}을(를) 유한한 기호 집합으로 하고

${\displaystyle Q^{\mathbf {Z} }=\{s=(\ldots,s_{-1},s_{0},s_{1},\ldots ):s_{k}\in Q\;\forall k\in \mathbf {Z} \}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

설정된 Q에서 모든 값의 무한대 문자열의 집합이다. 이 세트를 풀 시프트라고 한다. Potts 모델을 정의하기 위해, 이 전체 공간 또는 그것의 특정 부분집합, 유한한 형식의 하위 교대를 사용할 수 있다. Shifts는 이 공간에 자연 연산자 τ : Q^Z → Q, as이^Z 존재하기 때문에 이 이름을 얻게 된다.

${\displaystyle \tau(s)_{k}=s_{k+1}.$

이 세트는 천연 제품 토폴로지를 가지고 있다. 이 토폴로지의 기본은 실린더 세트다.

${\displaystyle C_{m}[\xi _{0},\ldots,\xi _{k}=\s\in Q^{\mathbf {Z}}}}}:s_{m}=\ldots ,s_{m+k}=\xi _{k}\}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

즉, k+1_k 스핀들이 주어진 특정 값들의 집합에₀ 정확히 일치하는 모든 가능한 문자열들의 집합이다. 그러나 q-adic 숫자의 자연 위상은 위의 제품 위상보다 더 미세하다.

상호작용 에너지

스핀들 사이의 상호작용은 이 위상의 연속 함수 V : Q → R에^Z 의해 주어진다. 예를 들어, 모든 연속적인 기능이 가능하다.

${\displaystyle V(s)=-J\delta(s_{0},s_{1})}$

가장 가까운 이웃들 사이의 상호작용을 묘사하는 것이 보일 것이다. 물론, 다른 기능들은 서로 다른 상호작용을 제공한다; 그래서₀ s, s₁, s의₂ 함수는 다음 가장 가까운 이웃의 상호작용을 설명할 것이다. 함수 V는 일련의 스핀들 사이에 상호작용 에너지를 준다; 그것은 해밀턴 인이 아니라 그것을 만드는 데 사용된다. 함수 V에 대한 인수는 요소 s q^Z Q, 즉 무한의 스핀 문자열이다. 위의 예에서 V 함수는 방금 무한 문자열 중₀ 두 개의 스핀₁, 즉 값 s와 s를 골랐다. 일반적으로 V 함수는 스핀의 일부 또는 전체에 의존할 수 있다. 현재, 한정된 숫자에 의존하는 것만 정확히 해결할 수 있다.

함수_n H : Q^Z → R을 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=0}^{nV(\tau ^{k}s)}$

이 기능은 두 부분으로 구성된다. 즉, 스핀들의 구성 [s₀₁, s, ..., s_n]의 자체 에너지와 이 세트와 격자의 다른 모든 스핀들의 상호작용 에너지. 이 함수의 n → ∞한 한계는 시스템의 해밀턴어로서, 유한한 n에 대해서는 이들을 유한 상태 해밀턴어라고 부르기도 한다.

파티션 함수 및 측정

해당 유한 상태 파티션 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle Z_{n}(V)=\sum _{s_{0},\ldots,s_{n}\in Q}\exp(-\beta H_{n})(C_{0}[s_{0},s_{1},\ldots_s_{n})}}}}}}}}}}$

C가₀ 위에 정의된 실린더 세트인 경우. 여기서 β = 1/kT, 여기서 k는 볼츠만의 상수, T는 온도. 상호작용 에너지를 재분배하여 쉽게 회복되기 때문에 β = 1을 설정하는 것은 수학 치료에서 매우 흔한 일이다. 이 파티션 함수는 교호작용 V의 함수로써 쓰이며, 이는 교호작용의 함수에 불과하며, 스핀의 특정 구성이 아님을 강조한다. 파티션 함수는 해밀턴어와 함께 다음과 같은 방법으로 보렐 σ-알지브라에 대한 측정을 정의하는데 사용된다. 실린더 세트, 즉 베이스의 요소 측정은 다음과 같다.

${\displaystyle \mu(C_{k}[s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}])={\frac {1}{Z_{n}(V)}}}\exp(-\beta H_{n})(C_{k}[s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}])}}}$

그런 다음 전체 σ-알지브라에 셀 수 있는 가감력으로 확장할 수 있다. 이 측정치는 확률 측정값으로, 구성 공간 Q에서^Z 특정 구성이 발생할 가능성을 제공한다. 이런 식으로 해밀턴인으로부터 구축된 확률 측도로 구성 공간을 내포함으로써 구성 공간은 정식 앙상블로 변한다.

대부분의 열역학적 특성은 파티션 함수의 측면에서 직접 표현할 수 있다. 따라서 예를 들어 헬름홀츠 자유 에너지는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle A_{n}(V)=-kT\log Z_{n}(V)}$

또 다른 중요한 관련량은 위상압력으로서 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle P(V)=\lim _{n\to \inflt }{\frac {1}{n}\log Z_{n}(V)}$

이는 솔루션 이전 운영자의 선도적 고유값의 로그로 나타난다.

자유현장솔루션

가장 단순한 모델은 교호작용이 전혀 없는 모델이며, 따라서 V = c 및 H_n = c (c 상수 및 스핀 구성에 독립적)이다. 파티션 함수가

${\displaystyle Z_{n}(c)=e^{-c\beta }\sum _{s_{0},\ldots ,s_{n}\in Q}}$

만약 모든 주(州)가 허용된다면, 즉, 기초적인 주(州) 집합이 완전한 교대조치에 의해 주어지는 경우, 그 합은 다음과 같이 사소한 것으로 평가될 수 있다.

${\displaystyle Z_{n}(c)=e^{-c\베타 }q^{n+1}:{n+1}$

인접한 스핀이 특정 구성에서만 허용되는 경우, 상태 공간은 유한 유형의 하위 변속으로 주어진다. 그러면 파티션 함수는 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle Z_{n}(c)=e^{-c\beta }{\mbox{Fix}\,\tau ^{n} = e^{-c\beta }{\mbox{Tr}}}}A^{n}}$

여기서 카드는 세트의 카디널리티 또는 카운트이며 Fix는 반복된 시프트 기능의 고정 지점 세트:

${\displaystyle {\mbox{Fix}\,\tau ^{n}=\{s\in Q^{\mathbf {Z}}}:\tau ^{n}s=s\}}}}}$

q × q 행렬 A는 어떤 인접 스핀 값이 허용되는지 지정하는 인접 행렬이다.

상호작용 모델

상호 작용 모델의 가장 간단한 경우는 Ising 모델인데, 여기서 스핀은_n s {{-1, 1} 두 값 중 하나만 차지할 수 있고 가장 가까운 이웃 회전만이 상호작용한다. 상호작용 전위는 다음과 같다.

${\displaystyle V(\sigma )=-J_{p}s_{0}s_{1}\,}$

이 전위는 매트릭스 요소가 있는 2 × 2 매트릭스에서 포착할 수 있다.

${\displaystyle M_{\sigma \sigma '}=\exp \left(\beta J_{p}\sigma \sigma '\right)$

지수 σ, σ′ ∈{-1, 1}과 함께. 그런 다음 파티션 함수는

${\displaystyle Z_{n}(V)={\mbox{Tr}\,M^{n}}}$

임의의 수의 스핀과 임의의 유한 범위 상호작용에 대한 일반 해법은 동일한 일반 형태에 의해 주어진다. 이 경우 행렬 M에 대한 정확한 표현은 좀 더 복잡하다.

포츠 모델과 같은 모델을 푸는 목적은 칸막이 기능에 대한 정확한 폐쇄형식 표현과 열역학 한계인 n → ∞의 한계에서 깁스 상태나 평형 상태에 대한 표현을 주는 것이다.

신호 및 이미지 처리의 포츠 모델

포츠 모델은 신호 재구성에 응용이 있다. R에서ⁿ 조각처럼 일정한 신호 g에 대한 시끄러운 관찰이 주어진다고 가정합시다. R의ⁿ 소음 관측 벡터 f로부터 g를 복구하기 위해, 해당 역문제의 최소제인 L-Potts^p 함수 P_γ(u)를 구한다.

${\displaystyle P_{\gamma }{\gamma \nabla u\_{0}+\u-f\_{p}^{p}^{p}=\#\i:u_\neq u_{i+1}\sum _{i=1}{n}-f_{i}{i}}}}}}}}}}}}{n}}}{i}}{n}}}}}}}}}}}{{{{{{n}}}}}}}}}}}}$

점프 패널티 ${\displaystyle \mathrm{\Vert }}$ u u ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ u ${\displaystyle {}_{}}$ \$$\ \$displaystyle \nabla u\_{0}}$는 조각상수 솔루션을 강제하며$$ 데이터 용어 $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$- f ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$\ u $u-f\ _{p}^{p}}}}}}}}}}}}$는 최소화된 후보 u를 데이터 f와 결합한다$$. 변수 > > 0은 규칙성과 데이터 충실도 사이의 절충을 제어한다. L과¹ L-Potts² 기능의 정확한 최소화를 위한 빠른 알고리즘이 있다(Friedrich, Kempe, Liebscher, Winkler, 2008).

영상 처리에서 Potts 기능은 분할 문제와 관련이 있다. 그러나 2차원에서 문제는 NP-hard이다(보이코프, 벡슬러, 자비흐, 2001).

참고 항목

• 랜덤 군집 모형
• 정사각형-격자 이싱 모델
• 미니멀 모델
• Z N 모형

참조

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외부 링크

• Haggard, Gary; Pearce, David J.; Royle, Gordon. "Code for efficiently computing Tutte, Chromatic and Flow Polynomials".