다차원 체비셰프의 부등식

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확률론에서 다차원 체비셰프의 불평등은 체비셰프의 불평등을 일반화한 것으로, 무작위 변수가 예상값과 일정량 이상 차이가 나는 사건의 확률에 한계를 둔다.

X를 기대값 $\mu {\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{E}}$ ${\displaystyle }$[ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} [X]}$과(와) 공분산 행렬의 N차원 랜덤 벡터가 되도록 한다.

${\displaystyle V=\operatorname {E}[(X-\mu )(X-\mu )^{T}]\,}$

V ${\displaystyle V}$이(가) 양수-확정 인 경우 > 0 ${\displaystyle t>0$

${\displaystyle \Pr \left({\sqrt {(X-\mu )^{T}V^{-1}(X-\mu )}}}}>t\right)\leq {\frac {N}{t^{2}}:$

증명

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$은(는) 양의 정의가 있으므로 $V{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ V$^{-1}$. 랜덤 변수를 정의하십시오.

$[\displaystyle y=(X-\mu )^{T}V^{-1}(X-\mu )}$

$y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$이(가) 양성이므로$$ 마르코프의 불평등은 다음과 같다.

${\displaystyle \Pr \left({\sqrt {(X-\mu )^{T}V^{{{1}(X-\mu )}}}}{t\right)=\Pr({\sqrt{y}}}}=\Pr(y>t^{2})\Prq {\frac {\operatorname {E}{t^{2}}.}$

마지막으로

${\displaystyle {\begin}\operatorname {E}[y]&=\operatorname {E}[(X-\mu )^{T}V^{-1}(X-\mu )]\\[6pt]&=\operatorname {E}[\operatorname {trace}(V^{-1}(X-\mu )(X-\mu )^{T}]\\[6pt]&=\operatorname {trace}(V^{-1}V)=N\end{arged}}.}$

무한치수

체비셰프의 불평등 벡터 버전을 무한 차원 설정으로 직접 확장하는 것이 있다.X는 프레셰트 $공간{\displaystyle \mathcal{}}$ X ${\${\$mathcal{X}}($ 세미노름 ⋅ 포함)_α에서 값을 가져오는 랜덤 변수가 되도록 하라.여기에는 벡터 값 랜덤 변수의 가장 일반적인 설정이 포함된다. 예를 들어, $X{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) Banach 공간(단일 규범 장착), Hilbert 공간 또는 위에서 설명한 유한 차원 설정인 경우.

X가 "강력한 순서 2"라고 가정하자.

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\ X\ _{\alpha }^{2}\오른쪽)<\infully }$

모든 세미몬 ⋅에 대하여. 이것은 X가 유한 분산을 가지고 있다는 요건의 일반화로서, 무한한 차원에서 체비셰프의 불평등의 이 강력한 형태를 위해 필요하다._α'강력한 질서 2'라는 용어는 바카니아 때문이다.^[1]

$\mu {\displaystyle }$ ${\$을(를) X의 Pettis 적분(즉, 평균 벡터 일반화)이$$ 되게 하고,

$\displaystyle \sigma _{a:={\sqrt {\operatorname {E}\ X-\mu \ _{\alpha }^{2}}:$

세미노름 ⋅에 관한 표준 편차._α 이 설정에서 우리는 다음과 같이 진술할 수 있다.

체비셰프 불평등의 일반 버전. ${\displaystyle \fall k>0:\quad \Pr \left(\ X-\mu \ \ _{\alpha }\geq k\sigma _{\alpha }\rigma _{\frac {1}{k^{2}}.}$

증명. 그 증거는 간단하고 본질적으로 미세한 버전과 동일하다.만약_α = = 0이라면 X는 거의 확실히 일정하므로(그리고 μ와 같음) 불평등은 사소한 것이다.

만약

${\displaystyle \ X-\mu \ _{\alpha \}\geq k\sigma _{\alpha }^{2}}$

then X − μ _α > 0, so we may safely divide by X − μ _α. The crucial trick in Chebyshev's inequality is to recognize that ${\displaystyle 1={\tfrac {\ X-\mu \ _{\alpha }^{2}}{\ X-\mu \ _{\alpha }^{2}}}}$.

다음과 같은 계산이 증거를 완성한다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\Pr \left()X-\mu)_{\alpha}\geq k\sigma_{\alpha}\right)&,=\int _{\Omega}\mathbf{1}_{)X-\mu)_{\alpha}\geq k\sigma _{\alpha}}\,\mathrm{d}\Pr \\&,=\int _ᆰ\left({\frac{)X-\mu)_{\alpha}^{2}}{)X-\mu)_{\alpha}^{2}}}\right)\cdot \mathbf{1}_{)X-\mu)_{\alpha}\geq k\sigma _{\alpha}}\,.\mathrm{d}\Pr \\[6pt]&, \leq \int _ᆬ\left({\frac{)X-\mu)_{\alpha}^{2}}{(k\sigma_{\alpha})^{2}}}\right)\cdot \mathbf{1}_{)X-\mu)_{\alpha}\geq k\sigma _{\alpha}}\,\mathrm{d}\Pr \\[6pt]&,\leq{\frac{1}{k^{2}\sigma _{\alpha}^{2}}}\int _{\Omega}\ X-\mu)_{\alpha}^{2}\,\mathrm{d}\Pr&&{1}\mathbf_{)X-\mu)_{\alpha.}\geq k\sigma_{\\alpha }}\leq 1\\[6pt]&={\frac {1}{k^{2}\sigma _{\alpha }^{2}}}\왼쪽(\operatorname {E}\\ X-\mu \{\{\alpha }{2}\right)\\\\\\\[6pt]&={\frac {1}{k^{2}\probma _{\probma _{\probma _{\pretma _{}^{2}\right)\\\\[6pt]&={\frac {1}{k^{2}}\end{aigned}}}}}$

참조