페티스 적분

수학에서, 이스라엘 M. Gelfand와 빌리 제임스 페티스의 이름을 딴 Pettis integrity 또는 Gelfand-Pettis integrity는 이중성을 이용하여 측정 공간의 벡터 값 함수에 통합된 Lebesgue의 정의를 확장한다. 그 적분은 측정 공간이 르베그 측도와의 간격인 경우에 대해 겔판드가 도입했다. 이 적분은 강한 적분인 보치너 적분과는 대조적으로 약한 적분이라고도 불린다.

정의

Let ${\displaystyle f:X\to V}$ where ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ is a measure space and ${\displaystyle V}$ is a topological vector space (TVS) with a continuous dual space ${\displaystyle V'}$ that separates points (i.e. if ${\displaystyle x\in V}$is nonzero then there is s$오메{\displaystyle }$ $l{\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ l(x)\neq 0$}$과 같이 $l{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\$$displaystyle$ $l(x)\neq$0}이$($가) 표준화된 공간이거나$$ (더 일반적으로$)$ Hausdorff 로컬 볼록 TV이다. 기능 평가는 이중성 쌍으로 작성할 수 있다.

$\displaystyle \langle \varphi ,x\angle =\varphi [x].}$

지도 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f:X\to V}$은(는) 약하게 측정할 수 있는 것으로 불리며, 만약 모든 ${\displaystyle {}^{}}$′ V ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ $\$$varphi \$$circ$ f$},$스칼라 값 지도 $\phi {\displaystyle f}$ f ${\displaysty$ \$varphi$\cir $f}$이 측정 가능한 맵이다. A weakly measurable map ${\displaystyle f:X\to V}$ is said to be weakly integrable on ${\displaystyle X}$ if there exists some ${\displaystyle e\in V}$ such that for all ${\displaystyle \varphi \in V'}$, the scalar-valued map ${\displaystyle \varphi \circ f}$ is Lebesgue integrable (즉, $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 1 ${\displaystyle {}^{}X}$, ${\displaystyle \mathrm{\mu }}$ ,${\displaystyle \mu }$) ${\$ 및

${\d}\varphi(e)=\int _{A}\varphi(f(x)\,\operatorname {d}\mu(x).}$

The map ${\displaystyle f:X\to V}$ is said to be Pettis integrable if ${\displaystyle \varphi \circ f\in L^{1}\left(X,\Sigma ,\mu \right)}$ for all ${\displaystyle \varphi \in V^{\prime }}$ and also for every ${\displaystyle A\in \Sigma }$ there exists a vector $$${\displaystyle e_{$${\displaystyle {}^{}}$$$\ ${\displaystyle \in }$ V ${\displaystyle {\prime }^{}}$, ${\displaystyle \varphi \in V',}$과 같은 A}\\$in V}$

${\displaystyle \langle \varphi ,e_{A}\angle =\int_{A}\langle \varphi ,f(x)\angle \,\mathrm {d} \mu (x)}$

이 경우에는 e ${\displaystyle A_{}}$를 ${\$$A$$}$ ${\displaystyle$ A$.}$에 있는 f ${\displaystyle f}$의 Pettis $적분{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ A ${\$$A}$은(는) 다음을$$ 포함한다.

${\displaystyle \int _{A}f\,\mathrm {d} \mu ,\qquad \int _{A}f(x)\,\mathrm {d} \mu(x),\quad {\text{and, 만약 그렇다면}~!A=X~{\text{is understand,}}\quad \mu[f]}$

To understand the motivation behind the definition of "weakly integrable", consider the special case where ${\displaystyle V}$ is the underlying scalar field; that is, where ${\displaystyle V=\mathbb {R} }$ or ${\displaystyle V=\mathbb {C} .}$ In this case, every linear functional ${\displaystyle \varphi$$$$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 ${}$은(는) 일부 $스칼라{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle (y}$ ${\displaystyle )}$= $sy}$ 형식이고$$ $}$ V ${\displaystyle$ s$\\in$ V$}($$즉$, $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi}$은 상수에 의한 스칼라 곱셈일 뿐임), 조건

${\displaystyle \varphi(e)=\int _{A}\varphi(f(x))\\mathrm {d}\mu(x)\quad {\text{ally}~\varphi \in V',}$

로 단순화하다.

${\displaystyle se=\int _{A}sf(x)\,\mathrm {d} \mu(x)\quad{\text{모든 스칼라}~s.}$

특히 이 특수한 경우, F ${\displaystyle f}$이(가) Lebesgue 통합$$ 가능한 경우에만$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 약하게 통합할 수 있다$$.

특성.

• 정의의 즉각적인 결과는 Pettis 통합이 연속적이고 선형적인 연산자와 호환된다는 것이다. If ${\displaystyle \Phi :V_{1}\to V_{2}}$ is and linear and continuous and ${\displaystyle f:X\to V_{1}}$ is Pettis integrable, then ${\displaystyle \Phi \circ f}$ is Pettis integrable as well and:
  $${\displaystyle \int _{X}\Phi(f(x)\,d\mu(x)=\Phi \왼쪽(\int _{X}f(x)\,d\mu(x)\오른쪽).}$$

  
• 표준 추정치
  $${\displaystyle \left \int _{X}f(x)\,d\mu(x)\오른쪽 \leq \int _{X}f(x) \,d\mu(x)}$$

  
  Pettis 통합에 대해 다음과 같은 의미로 Pettis 통합에 일반화하는 실제 및 복합 값 함수의 경우: 모든 연속 세미노름의 $경우{\displaystyle }$:${\displaystyle V}$ → ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$$V\to \mathb {R}$및$$ 모든 Pettis 통합 가능 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ V ${\displaystyle f:X\to V$
  $${\displaystyle p\f(\int_{X}f(x)\,d\mu(x)\오른쪽)\leq {\underline {\int_{X}p(f(x)\,d\mu(x)}$$

  
  holds. 오른쪽은${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,\infit ]}$ -값$$ 함수의 하단 르베그 적분이다.
  $${\displaystyle {\underline {\int_{X}g\,d\mu :=\sup \left\{\\왼쪽.\int _{X}h\,d\mu \\right \;h:X\to [0,\infit ]{\text{{\text}는 측정 가능하고 }}}{0\leq h\leq h\leq g\rig\rig\}.}$$

  
  통합 및 p${\displaystyle }p{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p\circule f}$은(는) 측정할 수 없기 때문에$$ 낮은 Lebesgue 적분을 취하는 것이 필요하다. This follows from the Hahn-Banach theorem because for every vector ${\displaystyle v\in V}$ there must be a continuous functional ${\displaystyle \varphi \in V^{\ast }}$ such that ${\displaystyle \varphi (v)=p(v)}$ and for all ${\displaystyle w\in V}$,${\displaystyle \phi (w)\le p(w)}$${\displaystyle \varphi (w) \leq$ p$(w$ $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {}_{}}$ X ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle$ v$:=\int _{X}f\,d\mu }$에 적용하면$$ 결과가 나온다.

평균값 정리

중요한 특성은 유한한 측도와 관련하여 통합된 페티스가 통합 영역의 측정에 의해 크기가 조정된 값의 볼록 선체의 폐쇄에 포함되어 있다는 것이다.

$\displaystyle \mu(A)\int _{A}f\,d\mu \in \mu \cdot {\overline {co(f(A)))}}}$

이는 한-바나흐 정리의 결과로서, 실제 가치 함수의 통합에 대한 평균값 정리를 일반화한다. $V{\displaystyle }$= ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ V$=\mathb {R}$$}$인 경우 닫힌 볼록 세트는 ${\displaystyle \mathrm{단순히}}$ 간격이며 $f{\displaystyle }$: X${\displaystyle }$→${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle f:X\to [a,b]}$에 대한 불평등이다$.$

$\displaystyle \mu \a\leq \int _{A}f\,d\mu \leq \mu \mu \mu \mu \mu \mu \mu \mu$

들고 있다

존재

• $V{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$ V$=\mathb {R} ^{n}}$이(가$$) 유한 치수인 경우, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의$$각 좌표가 Lebesgue 통합 가능한 경우에만 F {\displaystyf} 통합이 가능하다$$.
• $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) Pettis 통합 가능하고 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$ ${\displaystyle A\in \Sigma }$이(가) X ${\displaystyle$X$\}$의 측정 가능한 부분 집합인 경우, 정의에 ${\displaystyle {따라}_{}}$f :${\displaystyle A}$ → V$${\$displaystystylease f_{$ A$:$$A\to V}$ 및$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ 1 ${\displaystyle A_{}}$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f\cdot 1_{A}:$$X\to V}$도 Pettis 통합 가능

  ${\d 디스플레이 스타일 \int _{A}f_{A}\,d\mu =\int _{X}f\cdot 1_{A}\,d\mu .}$

• If ${\displaystyle X}$ is a topological space, ${\displaystyle \Sigma ={\mathfrak {B}}_{X}}$ its Borel-${\displaystyle \sigma }$-algebra, ${\displaystyle \mu }$ a Borel measure that assigns finite values to compact subsets, ${\displaystyle V}$ is quasi-complete (i.e. every bounded Cauchy net con$verge{\displaystyle }$) 및 f ${\displaystyle f}$이(가) 콤팩트한 지지로 연속적인 경우$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) Pettis 통합이 가능하다$$.
• More generally: If ${\displaystyle f}$ is weakly measurable and there exists a compact, convex ${\displaystyle C\subseteq V}$ and a null set ${\displaystyle N\subseteq X}$ such that ${\displaystyle f(X\setminus N)\subseteq C}$, then ${\displaystyle f}$ is Pettis-integrable.

Pettis 통합형 랜덤 변수에 대한 대수의 법칙

$({\displaystyle \mathrm{\Omega }}$, ${\displaystyle \mathrm{F}}$, P${\displaystyle }$) ${\displaystyle (\Oomega ,{\mathcal {F},\operatorname {P})}$은 확률공간으로$$, $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$은 점을 구분하는 이중공간이 있는 위상 벡터공간으로 한다$$. Let ${\displaystyle v_{n}\colon \Omega \to V}$ be a sequence of Pettis-integrable random variables, and write ${\displaystyle \operatorname {E} [v_{n}]}$ for the Pettis integral of ${\displaystyle v_{n}}$ (over ${\displaystyle X}$). $E{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \operatorname {E}[v_{n}]}$은$($는) $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 (비랜덤) 벡터이며$$ 스칼라 값이 아니라는 점에 유의하십시오.

내버려두다

${\displaystyle {\bar}{v}_{N}}={\frac {1}{{N}\sum _{n=1}^{N}v_{n}}}}}}}$

표본 평균을 나타내다 선형성 기준으로 $v{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\{}}_{}}$의 N ${\$은(는) Pettis 통합이 가능하며$$,

${\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}_{N}]={\frac {1}{N}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E}[v_{n}]\in V.}$

부분적인 합을 가정해 보자.

${\displaystyle {\frac {1}{N}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E}[{\bar {v}_{n}]}$

합계의 모든 재배열이 단일 벡터 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lambda$ \$in V}$에 수렴한다는 의미에서 V ${\displaystyle$ \lambda \in V$}$의 토폴로지에 절대적으로 수렴한다$.$ The weak law of large numbers implies that ${\displaystyle \langle \varphi ,\operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]-\lambda \rangle \to 0}$ for every functional ${\displaystyle \varphi \in V^{*}}$. Consequently, ${\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}$${$$N}]\$$to$ \$lambda$ $}($X {\displaystyle $X$의 약한 위상.

추가적인 가정 없이 $E{\displaystyle \mathrm{}[{\stackrel{\text{'}\text{'}}{}N}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \operatorname {E}[{\bar{v}_{N}]}$이(가) $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$에 수렴하지 않을$$ 수 있다$.$^{[citation needed]} 강한 수렴을 얻으려면 더 많은 가정이 필요하다.^{[citation needed]}

참고 항목

• Bochner 측정 가능한 기능
• 보크너 일체형
• Bochner 공간 – 수학적 개념
• 벡터 측정
• 약하게 측정할 수 있는 함수

참조

• 제임스 K. 브룩스, Banach 공간의 약하고 강력한 통합의 표현, 미국 국립과학원 절차 63, 1969, 266–270. 전체 텍스트MR0274697
• 이스라엘 M. 겔판드, 수르 운 레므 데 라 테오리는 라인업자들, 코뮌. 인스트 사이언스 수학 등 메칸, 유니브 하르코프 등. 수학. 하르코프, 1936년 4월 13일, 35–40 Zbl 0014.16202
• Michel Talagrand, Pettis 적분 및 측정 이론, AMS No. 307 (1984) MR0756174
• Sobolev, V. I. (2001) [1994], "Pettis integral", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press