다항정리

수학에서 다항 정리는 그 합에 있는 용어의 힘 측면에서 합계의 힘을 확장하는 방법을 기술한다.이항에서 다항까지 이항 정리를 일반화한 것이다.

정리

임의의 양의 정수 m과 음이 아닌 정수 n의 경우, 다항식은 임의의 검정력 n:

{\displaystyle(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n\ k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m}\geq 0}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}\prod _{t=1}^{m}x_{t}^{k_{t}}\,,}

어디에

{n \선택 k_{1},k_{2},\ldots,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}

다항 계수다.이 합계는 모든 k의_i 합이 n이 되도록 k에서₁ k까지의_m 비음수 정수 지수의 모든 조합을 인수한다.즉, 확장의 각 항에 대해 x의_i 지수는 n에 더해져야 한다.또한 이항 정리처럼 나타나는 x형식의⁰ 수량은 1(x가 0인 경우에도)과 같다.

사례 m = 2에서 이 문장은 이항 정리의 문장으로 감소한다.

예

삼원 a + b + c의 세 번째 힘은 다음과 같이 주어진다.

{\displaystyle(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+c^{3a^{2}b+3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}a+3c^{2}b+6abc.}

이것은 덧셈보다 곱셈의 분포 특성을 이용하여 손으로 계산할 수 있지만, 다항 정리로도 (아마도 더 쉽게) 할 수 있다.다항계수식을 사용하여 항에서 다항계수를 "읽을" 수 있다.예를 들면 다음과 같다.

a^{2}b^{0}c^{1}

a^{2}b^{0}c^{1}

a^{2}b^{0}c^{1}

0

a^{2}b^{0}c^{1}

a^{2}b^{0}c^{1}

{\

a

^{2}b^{

{3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3.

}

{3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3.

^{0}

c^{

1}:{1}:{1}:{1}:{1

}:{

1}에

a^{2}b^{0}c^{1}

계수

(3 2, 0,

{3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3.

1

{3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3.

)

{3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3.

=

{3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3.

⋅ 0

{3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3.

{3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3.

{3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3.

=

{3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3.

{3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3.

{3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3.

{3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3.

{3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3.

= 3

{\displaystystyle {

3

\e

2,

0,1}={\frac {3!

}}{2!\cdot 0!\cdot 1!

}}}={\frac{6}{2\cdot 1\cdot 1}}}}}}=3.

}

a^{1}b^{1}c^{1}

a^{1}b^{1}c^{1}

a^{1}b^{1}c^{1}

a^{1}b^{1}c^{1}

a^{1}b^{1}c^{1}

a^{1}b^{1}c^{1}

{\

a

^{1}b^{

1}b^{1}

c^{

1}:{1}:{1

}:{

1}에

a^{1}b^{1}c^{1}

계수

{3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6.

3

{3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6.

,

{3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6.

, 1,

{3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6.

)

{3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6.

=

{3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6.

{3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6.

{3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6.

{3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6.

{3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6.

=

{3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6.

{3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6.

{3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6.

{3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6.

⋅

{3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6.

{3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6.

= 6. {\

displaystystyle

{3

\1 \1,1}={\frac {3!

}{1!\cdot 1!\cdot 1!

}}}={\frac{

}

대체식

정리문은 다음과 같은 여러 지수를 사용하여 간결하게 작성할 수 있다.

{\displaystyle(x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{ \sum =n}{n \n \선택 \x^{\message }}}}}

어디에

{\displaystyle \property =(\displaysty \protects _{1}\properties _{m}})

, 그리고

x^{\cHB{}}=x_{1}^{1}\^{1}{1}^{1}{1}{1}^{1}:{1}:{1}:{1}}}\cdots x_{m}^{m}}}}}}}

증명

다항 정리의 이 증거는 m에 이항 정리와 유도를 사용한다.

첫째, m = 1의 경우, 합계에 k₁ = n이라는 용어가 하나뿐이기 때문에 양쪽 모두₁ⁿ x와 같다.유도 단계의 경우 다항 정리가 m을 유지한다고 가정한다.그러면

{\m}+x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m+1}^{n}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +(x_{m}+x_{m+1})+{m+1}+{m+1}})^{n}\\[6pt]={}&\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}(x_{m}+x_{m+1})^{K}\end{aigned}

유도 가설로마지막 인자에 이항 정리를 적용하면

=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}\sum _{k_{m}+k_{m+1}=K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}

=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+k_{m}+k_{m+1}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}

인덕션을 완성하는 거야때문에 마지막 단계가 뒤따른다.

{n \선택 k_{1},k_{m-1},\ldots,k_{m-1},K}{K}{K \선택 k_{m+1}={n \n \선택 k_{1},k_{m-1},k_{m+1},},},},

다음과 같이 요인을 사용하여 세 가지 계수를 쓰면 쉽게 알 수 있다.

디스플레이 스타일 {\frac {n!}}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m-1}!K!}{\frac{K!}}{k_{m}!k_{m+1}!}}}={\frac{n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m+1}!}}.}

다항 계수

숫자

{n \선택 k_{1},k_{2},\ldots,k_{m}

정리에 나타나는 것은 다항계수다.이항계수의 산물 또는 요인 등 다양한 방법으로 표현할 수 있다.

{n \선택 k_{1},k_{2},\ldots,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}={k_{1} \k_{1}:{k_{1}+k_{2} 선택 \k_{2}}\cdots {k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m} 선택 \k_{m}} 선택 \k_{m}}}}

모든 다항계수의 합계

다항 정리에서 모든 i에 대한_i x = 1의 치환

\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}}

라는 것을 즉시 알리다

\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \선택 k_{1}k_{2},\ldots ,k_{m}}=m^{n}.

다항 계수 수

다항 합계의 항 개수 _n,m#는 변수 x₁, …, x_m:

\#_{n,m}={n+m-1 \선택 m-1}

카운트는 별과 막대기로 쉽게 수행할 수 있다.

다항계수 평가

다항 계수를 나누는 $p$ prime $p$ 의 최대 파워는 쿠메르의 정리를 일반화하여 계산할 수 있다.

해석

물체를 쓰레기통에 넣는 방법

다항 계수는 첫 번째 빈에 k개₁, 두 번째 빈에 k개₂, 두 번째 빈에 k개 등으로 구별되는 개체 n개를 m 구별되는 빈에 넣는 방법의 개수로서 직접적인 결합 해석을 가지고 있다.^[1]

분포에 따른 선택 방법 수

통계 역학과 결합학에서 라벨의 숫자 분포를 가진 경우 다항 계수는 이항 계수에서 자연적으로 발생한다.N개의 총 항목 집합에 대한 숫자 분포 {n_i}이(가) 주어지는 n은_i 라벨 i를 나타내는 항목 수를 나타낸다(통계 역학에서 i는 에너지 상태의 라벨이다).

약정 횟수는 다음과 같다.

라벨이 1로 표시될 총 N 중 n을₁ 선택한다.이 작업을 수행할 $N \choose n_{1}$ $N \choose n_{1}$ ( $N \choose n_{1}$ n $N \choose n_{1}$ 1 $N \choose n_{1}$ {\ $displaystyle N$ \선택 $n_$ }.
나머지 N - n₁ 항목에서 n을₂ 선택하여 2에 레이블을 붙인다.이 작업을 수행할 수 있다 $N-n_{1} \choose n_{2}$ - $N-n_{1} \choose n_{2}$ $N-n_{1} \choose n_{2}$ $N-n_{1} \choose n_{2}$ ) ${\$ \{1} $\n_$ 2}} $가지$ 방법을 $선택$ 하십시오.
나머지 N - n₁ 항목에서₂ n을₃ 선택하여 3에 레이블을 붙인다.다시, 이 작업을 수행할 수 있다 $N-n_{1}-n_{2} \choose n_{3}$ - $N-n_{1}-n_{2} \choose n_{3}$ $N-n_{1}-n_{2} \choose n_{3}$ - n $N-n_{1}-n_{2} \choose n_{3}$ $N-n_{1}-n_{2} \choose n_{3}$ ) ${\$ $n_{3}).$

각 단계의 선택 횟수를 곱하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

{n_{1}:{N-n_{1} \선택 n_{1}:{2}}:{{N-n_{1}-n_{2} \선택 n_{3}\cdots ={\frac {N!}{{{{{{N!}!}{{{{{1}!}!}!}!}를 선택하십시오!}}}\cdot {\frac {(N-n_{1})!}}{{{{{1}-n_{2}!n_{2}!n_{2}!}}}\cdot {\frac {(N-n_{1}-n_{2})!}}{{{{N-n_{1}-n_{2}-n_{3}!n_{3}!}}}\cdots .

취소 결과는 위에 제시된 공식으로 나타난다.

단어의 고유 순열 수

이항계수의 산물로서 다항계수로서 미시시피 문자의 순열을 계산한다.

다항 계수 ${\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{m}}}$ n ${\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{m}}}$ ${\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{m}}}$ , ${\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{m}}}$ … ${\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{m}}}$ , ${\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{m}}}$ m ${\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{m}}}$ ) ${\$ { $n}{k_{1},\ldots, k_{m}}}}}$ 은 n 원소의 다중 집합을 허용하는 고유한 방법의 수입니다 ${\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{m}}}$ . 여기서 k는_i 각 ith 원소의 다중성이다.예를 들어, 1 M, 4 Is, 4 S, 2 Ps를 가지는 Missississippi 단어의 구별되는 순열의 수는 다음과 같다.

{11 \ 1,4,4,2}={\frac {11!}{1!\,4!\,4!\,2!}}=34650.

일반화 파스칼의 삼각형

다항 정리를 이용하여 파스칼의 삼각형이나 파스칼의 피라미드를 파스칼의 심플렉스까지 일반화할 수 있다.이것은 다항계수에 대한 조회표를 빠르게 생성할 수 있는 방법을 제공한다.

참고 항목

참조

^ National Institute of Standards and Technology (May 11, 2010). "NIST Digital Library of Mathematical Functions". Section 26.4. Retrieved August 30, 2010.

[1] National Institute of Standards and Technology (May 11, 2010). "NIST Digital Library of Mathematical Functions". Section 26.4. Retrieved August 30, 2010.

[1]

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