파스칼 피라미드

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수학에서 파스칼의 피라미드는 삼원수의 3차원 배열로 삼원수 확장과 삼원수 분포의 계수다.^[1] 파스칼의 피라미드는 2차원 파스칼 삼각형의 3차원 아날로그로, 이항수를 포함하고 있으며 이항 팽창과 이항 분포와 관련이 있다. 이항 및 삼항수, 계수, 팽창 및 분포는 동일한 이름을 가진 다항구조의 하위 집합이다.

사면체 구조

사면체는 3차원 물체로 종이에 표시하기 때문에 컴퓨터 화면이나 다른 2차원 매체가 어렵다. 사면체를 여러 레벨, 바닥, 슬라이스 또는 레이어로 나눈다고 가정해 보십시오. 상단 층(정점)은 "0층"으로 표시된다. 다른 레이어들은 이전 레이어들이 제거된 4면체의 오버헤드 뷰라고 생각할 수 있다. 처음 6개 층은 다음과 같다.

레이어 0 1 레이어 1 1 1 1 2층 1 2 1 2 2 1 3층 1 3 3 1 3 6 3 3 3 1 4층 1 4 6 4 1 4 12 12 4 6 12 6 4 4 1 5층 1 5 10 10 5 1 5 20 30 20 5 10 30 30 10 10 20 10 5 5 1

사면체의 층들은 파스칼의 삼각형과 개별적으로 혼동되지 않도록 일부러 점을 내린 상태에서 표시해 놓았다.

사면체 개요

• 각 층에 있는 숫자의 3원 대칭이 있다.
• n^th 레이어의 항 수는 (n+1) ^th삼각수:${\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{n}{}}$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$) ${\displaystyle \frac{\times }{}}$(${\displaystyle \frac{n}{}}$+ ${\displaystyle \frac{2}{}}$)${\displaystyle \frac{}{\mathrm{}}}$ ${\$
• n층^th 숫자 값의 합은 3이다ⁿ.
• 어떤 계층에서든 각각의 숫자는 위의 계층에서 세 개의 인접한 숫자의 합이다.
• 어떤 계층에서든 각각의 숫자는 동일한 계층에 인접한 숫자의 단순한 정수 비율이다.
• 어떤 계층의 각 숫자는 삼원 분포와 삼원 확장의 계수다. 이러한 비선형 배열을 통해 다음을 쉽게 할 수 있다.
  • 일관성 있는 방식으로 삼원 확장 표시
  • 삼원 분포의 계수를 계산한다.
  • 4면체 층의 수를 계산한다.
• n층의^th 세 개의 가장자리를 따라가는 숫자는 파스칼 삼각형의^th n행의 숫자다. 그리고 위에 열거된 거의 모든 성질은 파스칼의 삼각형 및 다항계수와 평행한다.

삼원 확장 연결

사면체의 수는 삼면체 팽창에서 유래한다. n^th 레이어는 삼원 식(예::: A^th + B + C)를 n 전원으로 올린다. 삼원체의 n번째 힘은 삼원체를 그 자체로 반복적으로 곱하여 확장된다.

첫 번째 표현식의 각 항에 두 번째 표현식의 각 항을 곱한 다음, 유사 항의 계수(동일한 변수 및 지수)를 함께 추가한다. 다음은 (A + B + C)의 확장이다.⁴

이러한 비선형적인 방법으로 확장을 쓰는 것은 그 확장을 보다 이해할 수 있는 방법으로 보여준다. 또한 4층 계수와 일치하는 4면체와의 연관성을 명확히 한다. 일반적으로 기록되지 않는 모든 암묵적 계수, 변수, 지수도 사면체와의 다른 관계를 예시하고 있다.(보통 "1A"는 "A", "B¹"는 "B", "C⁰"는 "1" 등) 각 항의 지수는 이 경우 도면층 번호(n) 또는 4를 합한 값이다. 더 유의하게, 각 항의 계수 값은 지수에서 직접 계산할 수 있다. 공식은 다음과 같다: (x + y + z)! / (x! × y! × z!). 여기서 x, y, z는 각각 A, B, C의 지수이며, "!!"는 요인(예: n! = 1 × 2 × × × × × × n)을 의미한다. 네 번째 도면층에 대한 지수 공식은 다음과 같다.

각 팽창 항의 지수를 명확히 볼 수 있으며, 이러한 공식은 4층의 팽창 계수와 4면체 계수로 단순화된다.

삼분배 연결부

사면체의 숫자는 삼면체 분포에서도 찾을 수 있다. 이것은 세 가지 가능한 결과, 즉 사건이 발생할 수 있는 방법의 수에 사건이 발생할 확률을 곱하는 세 가지 결과가 주어진 경우에 어떤 조합이 발생할 가능성을 결정하는 데 사용되는 이산 확률 분포다. 삼원 분포의 공식은 다음과 같다.

[ n! / ( x! × y! × z!) ] × [ (P_A)^x × (P_B)^y × (P) × (P_C)]^z

여기서 x, y, z는 세 가지 결과가 각각 발생하는 횟수, n은 시행 횟수, x+y+z의 합, P_A, P는_BC 세 가지 사건이 각각 발생할 수 있는 확률이다.

예를 들어, 3자 선거에서, 후보자들은 A, 16%, B, 30%, C, 54%의 표를 얻었다. 무작위로 선정된 4인 포커스 그룹이 A의 1, B의 1, C의 2인 유권자를 포함할 가능성은 얼마나 될까? 답은 다음과 같다.

[ 4! / ( 1! × 1! × 2!) ] × [ (16%)¹ × (30%)¹ × (54%)²] = 12 × 0.0140 = 17%

숫자 12는 이 확률의 계수이며 이 "112" 초점 그룹을 채울 수 있는 조합의 수입니다. 선택할 수 있는 4인 포커스 그룹의 배열은 15가지가 있다. 이러한 계수 15개에 대한 식은 모두 다음과 같다.

$\displaystyle \textstyle {4! \over 4!\cHB 0!\cHB 0!}\ {4! \over 3!\cHB 0!\cHB 1!}\ {4! \over 2!\cHB 0!\cHB 2!}\ {4! \over 1!\cHB 0!\cHB 3!}\ {4! \over 0!\cHB 0!\cHB 4!}}$

$\displaystyle \textstyle {4! \over 3!\cHB 1!\cHB 0!}\ {4! \over 2!\cHB 1!\cHB 1!}\ {4! \over 1!\cHB 1!\cHB 2!}\ {4! \over 0!\cHB 1!\cHB 3!}}$

$\displaystyle \textstyle {4! \over 2!\cHB 2!\cHB 0!}\ {4! \over 1\back 2!\back 1!}\ {4! \over 0!\cHB 2!\cHB 2!}}$

$\displaystyle \textstyle {4! \over 1!\cHB 3!\cHB 0!}\ {4! \over 0!\cHB 3!\cHB 1!}}$

$\displaystyle \textstyle {4! \over 0!\cHB 4!\cHB 0!}}$

이러한 분수의 분자(선 위)는 모든 식에 대해 동일하다. 표본 크기인 4인 그룹이며, 이러한 배열의 계수는 4면체 층 4에서 찾을 수 있음을 나타낸다. 분모의 세 숫자(선 아래)는 각각 A, B, C에게 투표한 포커스 그룹 멤버의 숫자다.

속기는 보통 다음과 같은 "선택" 형식("4 select 4, 0, 0" 등으로 읽음)으로 조합함수를 표현하는 데 사용된다.

${\displaystyle \textstyle {4 \copy 4,0,0}\ {4 \선택 3,0,1}\ {4 \선택 2,0,2}\ {4 \선택 1,0,3}\ {4 \선택 0,4}}}$

${\displaystyle \textstyle {4 \ 3,1,0}\ {4 \ 선택 2,1,1}\ {4 \ 선택 1,1,2}\ {4 \ 선택 01,3}$

${\displaystyle \textstyle {4 \선택 2,2,0}\ {4 \선택 1,2,1}\ {4 \선택 0,2,2}}:$

${\displaystyle \textstyle {4 \선택 1,3,0}\ {4 \선택 0,3,1}$

${\displaystyle \textstyle {4 \0,0} 선택$

그러나 이러한 식의 값은 여전히 사면체 4층의 계수와 동일하다. 그리고 표본 크기(n)를 변경하여 모든 도면층에 일반화할 수 있다.

이 표기법은 레이어 n:의 모든 계수의 합을 쉽게 표현할 수 있는 방법을 만든다.

${\displaystyle \sum _{}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$, ${\displaystyle \underset{}{y}}$, ${\displaystyle \underset{}{z}}$ ${\displaystyle \underset{}{}\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}$ x${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$, ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{y}{}}$, ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{z}{}}$) ${\$\n \$선택$ x$,y,z}}}$ = 3ⁿ.

도면층 간 계수 추가

4면체의 모든 층(n)에 있는 숫자는 층(n-1)의 "위"에 있는 세 개의 인접한 숫자의 합이다. 이 관계는 층을 섞지 않고서는 오히려 보기 어렵다. 아래는 굵게 표시된 레이어 4 번호 사이에 있는 기울임꼴 레이어 3 번호:

1		4		6		4		1
	1		3		3		1
	4		12		12		4
		3		6		3
		6		12		6
			3		3
			4		4
				1
				1

그 관계는 4층 하단의 중앙 번호 12로 설명된다. 세 번째 층의 세 숫자로 "주변"이 된다: "북쪽"에 6, "남서쪽"에 3, "동남쪽"에 3이다. (가장자리를 따라 있는 숫자는 "위" 층에 2개의 인접 번호만 있고, 3개의 모서리 번호는 위의 층에 인접 번호가 하나뿐이므로 항상 "1"이다. 누락된 숫자는 "0"으로 가정할 수 있으므로 일반성의 손실은 없다.) 인접한 층들 사이의 이러한 관계는 마법 같은 우연이 아니다. 오히려 2단계 삼원 확장 과정을 통해 나온다.

이 예를 계속하여 1단계에서 (A + B + C)³의 각 항에 (A + B + C)의 각 항을 곱한다.¹ 이 예에서는 이러한 승수 중 오직 3개만 관심을 가진다.

레이어 3 용어	곱하기:	제품기간
6A1B1C1	1B1	6A1B2C1
3A1B2C0	1C1	3A1B2C1
3A0B2C1	1A1	3A1B2C1

(유사한 변수의 곱셈은 지수를 더하는 원인이 된다. 예: D¹ × D² = D³.)

그런 다음, 2단계에서 유사 항(동일한 변수 및 지수)의 합계를 통해 (A + B + C)⁴의 ¹²¹용어인 12ABC와 12는 사면체 4층 계수가 된다.

상징적으로 가법관계는 다음과 같이 표현할 수 있다.

C(x,y,z) = C(x−1,y,z) + C(x,y−1,z) + C(x,y,z−1)

여기서 C(x,y,z)는 지수 x, y, z $및{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$+ y${\displaystyle }$+ ${\displaystyle z}$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x+y+z=n}$을(를) 갖는 항의 계수다.

이 관계는 "삼원 확장 연결"의 절에 묘사된 바와 같이 3원 팽창이 비선형적 방식으로 전개되어야만 효과가 있을 것이다.

동일층계수간비

4면체의 각 층에서 숫자는 인접한 숫자의 단순한 정수 비율이다. 이 관계는 네 번째 층의 수평으로 인접한 쌍에 대해 다음과 같이 설명된다.

사면체는 3원 대칭을 가지기 때문에, 비율관계는 대각선 쌍(양방향)뿐만 아니라 표시된 수평 쌍에 대해서도 유지된다.

비율은 삼원 팽창의 해당 인접 항들의 지수에 의해 제어된다. 예를 들어 위의 그림에서 한 가지 비율은 다음과 같다.

4 ⟨1:3⟩ 12

3원 팽창의 해당 조건은 다음과 같다.

삼원 팽창의 모든 인접한 항 쌍의 계수에 적용되는 규칙은 다음과 같다.

• 변수 중 하나의 지수는 변경되지 않으며(이 경우 B) 무시될 수 있다.
• 나머지 두 변수의 경우 하나의 지수가 1씩 증가하고 하나의 지수가 1만큼 감소한다.
  • A의 지수는 3과 2이다(왼쪽 용어에서 더 큰 존재).
  • C의 지수는 0과 1이다(올바른 항에서 더 큰 존재).
• 계수와 큰 지수는 다음과 관련이 있다.
  • 4 × 3 = 12 × 1
  • 4 / 12 = 1 / 3
• 이 방정식은 "1:3"의 비율을 산출한다.

규칙은 모든 수평 쌍과 대각선 쌍에 대해 동일하다. 변수 A, B, C가 바뀔 것이다.

이 비율 관계는 사면체 계수를 계산하는 또 다른(어떤 복잡한) 방법을 제공한다.

인접 항의 계수는 감소 변수의 전류-기간 지수를 증가 변수의 인접 기간 지수로 나눈 값이다.

인접한 계수의 비율은 상징적으로 표현했을 때 조금 더 명확할 수 있다. 각 항은 최대 6개의 인접 항을 가질 수 있다.

x = 0: C(x,y,z-1) = C(x,y-1,z) × z / y C(x,y-1,z) = C(x,y,z-1) × y / z

y = 0: C(x-1,y,z) = C(x,y,z-1) x / z C(x,y,z-1) = C(x-1,y,z) × z / x

z = 0: C(x,y-1,z) = C(x-1,y,z) x y / x C(x-1,y,z) = C(x,y-1,z) x / y

여기서 C(x,y,z)는 계수, x, y, z는 지수다. 포켓 계산기와 개인용 컴퓨터 이전 시대에, 이 접근법은 지루한 대수적 팽창이나 서투른 요인 계산 없이 이항확장을 작성하기 위해 남학생용 쇼트컷으로 사용되었다.

이 관계는 "삼원 확장 연결"의 절에 묘사된 바와 같이 3원 팽창이 비선형적 방식으로 전개되어야만 효과가 있을 것이다.

파스칼 삼각관계

사면체 n^th 레이어의 바깥쪽 가장자리 세 개를 따라가는 숫자가^th 파스칼의 n 라인 삼각형과 같은 숫자라는 것은 잘 알려져 있다. 그러나, 사실 그 연결은 단지 한 줄의 숫자보다 훨씬 더 광범위하다. 이 관계는 파스칼의 삼각형을 4라인으로 내려간 것과 사면체의 4계층을 비교해 보면 가장 잘 나타난다.

파스칼 삼각형의 각 선에 n^th 선까지의 숫자를 n 선에^th 곱하면 4면체의 n 레이어가^th 생성된다. 다음 예에서 파스칼 삼각형의 선은 이탤릭체 글꼴로 하고 사면체의 행은 굵은 글꼴로 한다.^[2]

승수(1 4 6 4 1)는 파스칼 삼각형의 4선을 구성한다.

이 관계는 4면체의 어떤 층에 대한 숫자를 계산하는 가장 빠르고 쉬운 방법을 보여주는데, 이것은 곧 엄청난 숫자가 된다. (확장 정밀 계산기는 4면체 층 200을 넘어 매우 느리게 된다.)

파스칼 삼각형의 계수를 C(i,j)로 표시하고 4면체의 계수를 C(n,i,j)로 표시하면 여기서 n은 4면체의 층이고, 나는 행이고, j는 열이면 다음과 같이 관계를 상징적으로 표현할 수 있다.

C(i,j) × C(n,i) = C(n,i,j) i = 0~n, j = 0~i

[여기서는 i, j, n이 지수가 아니라 단지 순차적 라벨링 지수라는 것을 이해하는 것이 중요하다.]

파스칼의 삼각형 및 다항계수에 대한 병렬

이 표에는 삼원 확장 및 삼원 분포의 특성이 요약되어 있으며, 이를 이항 및 다원 확장 및 분포와 비교한다.

다항식 유형	쌍항식의	삼항식의	다항식의
다항식순번	2	3	m
다항식 예제	$(\displaystyle A+B}$	$(\displaystyle A+B+C}$	${\displaystyle A+B+C+\cdots +M}$
기하학적 구조[1]	삼각형의	사면체	m-제곱스
요소 구조	선을 긋다	층을 이루다	무리를 짓다
원소의 대칭	쌍방2길	3길	m웨이
요소당 항 수	n+1	(n+1) × (n+2) / 2	(n+1) × (n+2) ×...× (n+m-1) / ((m-1)! 또는 (n+m-1)! / (n! × (m-1)!
원소당 계수의 합계	2n	3n	mn
항의 예	AxBy	AxByCz	AxByCz...Mm
지수 합, 모든 항	n	n	n
계수 방정식[2]	n! / (x! × y!)	n! / (x! × y! × z!)	n! / (x1! x2! x! x3! x! ×...× xm!)
계수 합계 "위"	2	3	m
인접 계수 비율	2	6	m × (m−1)

• ^1 심플렉스(simplex)는 어떤 차원에서도 존재하는 가장 단순한 선형 기하학적 형태다. 테트라헤드라와 삼각형은 각각 3차원, 2차원이다.
• ^2 이항계수의 공식은 보통 n! / (x! × (n-x)!로 표현된다.; 여기서 n-x = y.

기타 속성

지수구축

임의 레이어 n은 다음 공식을 사용하여 한 번에 얻을 수 있다.

${\displaystyle \left(b^{d\left(n+1\right)}+b^{d}+1\right)^{n}}}$

여기서 b는 radix이고 d는 중심 다항계수의 자릿수, 즉

${\displaystyle \textstyle d=1+\왼쪽\lfloor \log_{b}{n \k_{1}k_{2},k_{3}\right\bloor ,\\\\sum _{i=1}^{3} 선택}}{k_{i}}=n,\\좌측\lprac {n}{3}\우측\loor \leq k_{i}\leq \lecloor \좌측\lcessil {\frac{n}}}}\우측\rceil ,}$

그런 다음 결과의 자릿수를 d(n+1)로 감싸고, d로 간격을 두고 선행 0을 제거한다.

임의의 차원으로 일반화된 이 방법은 파스칼의 심플렉스 조각을 얻기 위해 사용될 수 있다.

예

radix b = 10, n = 5, d = 2:

${\displaystyle \textstyle \left(10^{12}+10^{2}+1\오른쪽)^{5}}}}$

= 10000000001015 = 1000000000505000000102010000010303010000520302005010510100501                1                     1                     1    000000000505     00 00 00 00 05 05     .. .. .. .. .5 .5    000000102010     00 00 00 10 20 10     .. .. .. 10 20 10 ~  000010303010  ~  00 00 10 30 30 10  ~  .. .. 10 30 30 10    000520302005     00 05 20 30 20 05 .. .5 30 20 20 .5 010510100501 05 10 05 .05 10 01 .5 10 .5 .1 d(n+1)로 싸서 d(n+1)을 제거했다. 

radix b = 10, n = 20, d = 9:

${\displaystyle \textstyle \left(10^{filename}+10^{9}+1\오른쪽)^{20}}$

행별 도면층 계수 합계

파스칼 피라미드의 층 n의 각 행에 있는 숫자들을 합치면

${\displaystyle \left(b^{d}+2\right)^{n}}$

여기서 b는 radix이고 d는 '중앙' 행의 합(합이 가장 큰 행)의 자릿수다.

radix b = 10:

 1 ~ 1    \ 1  ~ 1      \ 1   ~ 1          \ 1    ~  1               \ 1     ~  1 ---      1 \ 1 ~ 02  \ 2 \ 2  ~ 04      \ 3 \ 3   ~ 06            \ 4 \ 4    ~ 08  1       -----      1 \ 2 \ 1 ~ 04   \ 3 \ 6 \ 3  ~ 12         \ 6 \12 \ 6   ~ 24          1  02      ---------       1 \ 3 \ 3 \ 1 ~ 08      \ 4 \12 \12 \ 4  ~ 32                     1  04  04       -------------          1 \ 4 \ 6 \ 4 \ 1 ~ 16                                     1  06  12  08         ------------------                                                            1  08  24  32  16  1020      1021        1022               1023                     1024 

열 기준 도면층의 계수 합계

파스칼 피라미드의 층 n의 각 열에 있는 숫자들을 합치면

${\displaystyle \left(b^{2d}+b^{d}+1\오른쪽)^{n}}}$

여기서 b는 radix이고 d는 '중앙' 열(합이 가장 큰 열)의 합계의 자릿수다.

radix b = 10:

 1      1         1              1                        1                                 1  ---   1   1     2   2          3   3                   4     4                           5     5   1    -----   1   2   1      3   6   3              6    12     6                    10    20    10        1 1 1   ---------    1   3   3   1         4    12    12     4              10    30    30    10                1 2 3 2 1    -------------      1     4     6     4     1         5    20    30    20     5                             1 3 6 7 6 3 1     --------------------------      1     5    10    10     5     1                                               1 04 10 16 19 16 10 04 01     --------------------------------                                                                              1 05 15 30 45 51 45 30 15 05 01  1110   1111      1112           1113                    101014                             101015 

사용법

유전학에서는 파스칼의 피라미드를 사용하여 같은 교차점에서 서로 다른 유전자형의 비율을 알아내는 것이 일반적이다. 이것은 표현형(유형+1)의 개수에 해당하는 선을 확인함으로써 이루어진다. 그 선은 비례가 될 것이다.^{[further explanation needed]}

참고 항목

• 다항정리
• 삼원 팽창
• 파스칼 삼각형
• 파스칼의 심플렉스

참조

외부 링크

• 플랫랜드를 넘어서: 21세기의 기하학. 제1부: 파스칼 4면체
• 파스칼의 피라미드 아니면 파스칼의 4면체?
• 파스칼의 단순화